第十讲-圆锥曲线专题.doc

第十讲 圆锥曲线专题
第十讲 圆锥曲线
（一）椭 圆
考点点睛：
1. 椭圆的定义与其标准方程、性质；
2. 椭圆性质、特征与其应用。

1.（2012年海淀二模）已知点是椭圆的两个焦点，点是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（ ）
A． B. C. D.
2.（2012年东城）若是和的等比中项，则圆锥曲线的离心率为（ ）
A． B. C.或 D.或
3. （2012年高考（课标））设,是椭圆:=1(>>0)的左、右焦点,为直
线上一点,△是底角为的等腰三角形,则的离心率为（　　）
A． B． C． D．
4. （2012年高考（江西文））椭圆的左、右顶点分别是A,B,左、右
焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
5. （2011海淀二模理）若椭圆：（）和椭圆：（）的焦点相同且.给出如下四个结论：
① 椭圆和椭圆一定没有公共点； ②；
③ ； ④.
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．②③④ B. ①③④ C．①②④ D. ①②③
6.（2012年丰台二模理）已知椭圆上一点M到两个焦点的距离分
别是5和3，则该椭圆的离心率为______．

y
x
A
F
O
B
7.（2012东城期末）如图，已知椭圆的左
顶点为，左焦点为，上顶点为，若，
则该椭圆的离心率是 .
8.（ 2011石景山一模文). 已知椭圆的焦点为，，在长轴上任取一
点，过作垂直于的直线交椭圆于点，则使得的点的概率
为 。
9. （2011北京高考）曲线是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹，给出下列三个结论：
① 曲线过坐标原点；
② 曲线关于坐标原点对称；
③ 若点在曲线上，则的面积不大于；
其中，所有正确结论的序号是 。
10.（ 2012海淀高三上学期期末）已知椭圆:的右焦点为，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程与左顶点的坐标；
（Ⅱ）设过点的直线交椭圆于两点，若的面积为，求直线的方程.

11. （2012北京高考文科）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个顶点为A （2,0），离心率为， 直线y=k(x-1)与椭圆C交与不同的两点M,N
（Ⅰ）求椭圆C的方程
（Ⅱ）当△AMN的面积为时，求的值。

12. （2012年石景山一模理）已知椭圆（）右顶点与右焦点的距离为，短轴长为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过左焦点的直线与椭圆分别交于、两点，若三角形的面积为，求直线的方程．

13. （2012高考模拟文科）已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为。
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知动直线与椭圆相交于、两点。
①若线段中点的横坐标为，求斜率的值；
②已知点，求证：为定值。

14.（2012北京高考）已知曲线
（Ⅰ）.若曲线C是焦点在轴点上的椭圆，求的取值范围；
(Ⅱ).设，曲线与轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线与
曲线交于不同的两点M、N,直线与直线BM交于点G.求证：A，G，N三点共线。

（二）双曲线
考点点睛：
1.双曲线的定义与其标准方程、性质；
2.双曲线性质、特征与其应用.

1．若，则方程表示焦点在轴上的双曲线的充要条件是（ ）
A． B． C．或 D．
2.（2012年朝阳二模理）已知双曲线（）的右焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3 ．（2012年高考（山东理））已知椭圆的离心率为.双曲线
的渐近线与椭圆有四个交点,以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16,则椭
圆的方程为（　　）
A． B． C． D．
4. （2011东城二模理）已知双曲线，过其右焦点且垂直于实轴
的直线与双曲线交于两点，为坐标原点.若，则双曲线的离心率为（ ）
A. 　 B. 　 C. 　　 D.
5. 双曲线一条渐近线的倾斜角为，离心率为e，则的最小
值为（ ）
A． B． C． D．
6.（2011朝阳一模理）如图，双曲线的中心在坐标原点分别是双曲线虚轴的上、下顶点，是双曲线的左顶点，为双曲线的左焦点，直线与相交于点.若双曲线的离心率为2，则的余弦值是（ ）
A. B. C. D.

7.（2012年海淀一模理）过双曲线的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 .
8．（2012年丰台一模理）已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是______．
9．（2012年密云一模理）若双曲线的两个焦点为，P为
双曲线上一点，且，则该双曲线离心率的取值范围是________．
10.（2012年朝阳一模理）已知双曲线的方程为，则此双曲线的离心率为 ，其焦点到渐近线的距离为 .
11. 如图，在以点为圆心，为直径的半圆中，，是半圆弧上一点，，曲线是满足为定值的动点的轨迹，且曲线过点.
（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线的方程；
（Ⅱ）设过点的直线与曲线相交于不同的两点、.
若△的面积等于，求直线的方程。.
12. 已知动点与两定点(-1, 0),N(1,0)连线的斜率之积等于常数.
(I).求动点P的轨迹C的方程；
(II).试根据的取值情况讨论轨迹的形状;
(III).当=时，过定点F(0,1)的直线l与轨迹C交于A、b两点，求的面积的最大值.

（三）抛物线
考点点睛：
1.抛物线的定义与其标准方程、性质；
2.抛物线的性质、特征与其应用.

1.（2012高考仿真文科）设抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则
的值为（ ）
A.-4 B.4 C．-8 D.8
2.（2012房山一模文科）已知双曲线与抛物线的一个交点为，为抛物线的焦点，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
3.点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到直线的距离和的最小值是 ( )
A. B. C.2 D.
4．（2012年门头沟一模理）已知点在抛物线上，则点到直线的距离和到直线 的距离之和的最小值为（ ）
A. B. C. D.
5.（2011西城二模文）已知点与抛物线，若抛物线上点满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
6.（2011东城一模理）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线分
别交于，两点（点在轴上方）， ．
7.（2012门头沟一模文科） 过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，是坐标原点．则= ；若该抛物线上有两点M、N，满足，则直线MN必过定点 ．
8.（2012年昌平二模理）已知双曲线的方程为，则其渐近线的方程为____________,若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则.
9.已知点M是抛物线y=4x的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C:(x-4)+(y-1)=1上，则的最小值为_______.
10. （2011海淀二模理）在平面直角坐标系中，设点，以线段为直径的圆经过原点.
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过点的直线与轨迹交于两点，点关于轴的对称点为，试判断直线是否恒过一定点，并证明你的结论.

11. （2012年西城二模理）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点．
（Ⅰ）若，求直线的斜率；
（Ⅱ）设点在线段上运动，原点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值．

12. （2011丰台二模 ）已知抛物线：)．
（Ⅰ）若抛物线上点到焦点F的距离为．
（ⅰ）求抛物线的方程；
（ⅱ）设抛物线的准线与y轴的交点为E，过E作抛物线的切线，求此切线方程；
（Ⅱ）设过焦点F的动直线交抛物线于A，B两点，连接，并延长分别交抛物
线的准线于C，D两点，求证：以CD为直径的圆过焦点F．

13. （2011东城二模）在平面直角坐标系中，动点到定点的距离比点到轴的距离大，设动点的轨迹为曲线，直线交曲线于两点，是线段的中点，过点作轴的垂线交曲线于点．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）证明：曲线在点处的切线与平行；
（Ⅲ）若曲线上存在关于直线对称的两点，求的取值范围．

（四）直线与圆锥曲线综合
考点点睛：
1. 轨迹方程问题；
2. 直线与圆锥曲线的位置关系问题；
3. 最值问题；
4. 参数取值范围问题；
5. 定值、定点问题。
6. 利用平面向量、平面几何特征求解相关问题。
1. （2012.1西城期末）已知椭圆的一个焦点是，且离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设经过点的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线交轴于点
，求的取值范围.

2. （2012年朝阳二模理）在平面直角坐标系中，已知点，，为动点，且直线与直线的斜率之积为.
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）设过点的直线与曲线相交于不同的两点，.若点在轴上，且
，求点的纵坐标的取值范围.

3.（2012年海淀一模理）在平面直角坐标系中，椭圆的中心为坐标原点，左焦点为， 为椭圆的上顶点，且.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）已知直线：与椭圆交于，两点，直线：（）与椭圆交于，两点，且，如图所示.
（ⅰ）证明：;
（ⅱ）求四边形的面积的最大值.

4. （2012.1东城）已知椭圆的右焦点为，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且△是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在直线交椭圆于，两点， 且使点为△的垂心（垂心：三角形三边高线的交点）？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

5. （2012.1海淀高三期末）已知焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为,为椭圆的左顶点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）已知过点的直线与椭圆交于，两点.
（ⅰ）若直线垂直于轴，求的大小;
（ⅱ）若直线与轴不垂直，是否存在直线使得为等腰三角形？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由.

6. （2012年西城一模理）已知椭圆的离心率为，定点，椭圆短轴的端点是，，且.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点且斜率不为的直线交椭圆于，两点.试问轴上是否存在定
点，使平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

7. （2012年东城一模理）已知椭圆：的左、右顶点分别为，，为短轴的端点，△的面积为，离心率是．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若点是椭圆上异于，的任意一点，直线，与直线分别交于，两点，证明：以为直径的圆与直线相切于点 (为椭圆的右焦点)．

8. （2012年丰台一模理）已知椭圆C：的离心率为，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设直线l：与椭圆C相交于，两点，连接MA，MB并延
长交直线x=4于P，Q两点，设yP，yQ分别为点P，Q的纵坐标，且．
求证：直线过定点．

9. （2012年海淀二模理）已知椭圆:的右焦点为，且
点在椭圆上.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）已知动直线过点，且与椭圆交于，两点.试问轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

10. （2012年东城二模理）已知抛物线：，为直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为,.
（Ⅰ）当的坐标为时，求过三点的圆的方程；
（Ⅱ）证明：以为直径的圆恒过点.

11. （2012年昌平二模理）如图，已知椭圆M:,离心率,椭圆与x正半轴交于点A，直线l过椭圆中心O ，且与椭圆交于B、C两点，B (1,1).

(Ⅰ) 求椭圆M的方程；
（Ⅱ）如果椭圆上有两点,使的角平分线垂直于，问是否存在实数使得成立？

12.（2012年朝阳一模理）已知椭圆的两个焦点分别为，.点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点的坐标为，点的坐标为.过点任作直线与椭圆
相交于，两点，设直线，，的斜率分别为，，，若，
试求满足的关系式.

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