必修2第三章直线与方程测试题.doc

第三章 直线与方程测试题（一）
一．选择题（每小题5分，共12小题，共60分）
1．若直线过点且倾斜角为，则该直线的方程为（ ）
A. B. C. D.

2. 如果、、，在同一直线上，那么的值是（ ）。
A. B. C. D.

3. 如果直线经过直线与直线的交点，那么等于（ ）.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

4. 直线的倾斜角是，则的值为（ ）。
A.2 B. 3 C. －3 D. －2

5.两条直线和的位置关系是( )
A.平行 B.相交 C.重合 D.与有关

*6．到直线的距离为的点的集合是( )
A.直线 B.直线
C.直线或直线 D.直线或直线

7直线与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于１，那么的取值范围是（ ）
Ａ．　　 Ｂ．　
Ｃ．　　　　 　 Ｄ．

*8．若直线与两直线，分别交于，两点，且的中点是，则直线的斜率是（　　）
A． 　 　B．　　　 　C．　　　　 D．

9．两平行线，之间的距离为，则的值是( )
A .±1 B. 1 C. -1 D . 2

10．直线关于直线对称的直线方程是（　　）
A．　　　　 B．　　　
C．　　　 D．

**11．点到点和直线的距离相等，且到直线的距离等于，这样的点共有　　（　　）
A．1个　　　　 B．2个　　　　 C．3个　　　 　D．4个

*12．若的图象与直线，有两个不同交点，则的取值范围是　（　）
A．0　　　　　　B．　　
C．且　　　 　D．

二．填空题（每小题5分，共4小题，共20分）
13. 经过点，在轴、轴上截距相等的直线方程是 ；
或 。

*14. 直线方程为，若直线不过第二象限，则的取值范围是 。

15. 在直线上求一点，使它到原点的距离和到直线的距离相等，则此点的坐标为 .

*16. 若方程表示的图形是 。

三．解答题（共6小题，共70分）
17．（10分）在中，边上的高所在直线方程为：，的平分线所在直线方程为：，若点的坐标为，求点和的坐标.

*18．（12分）已知直线.
（1）求证：无论为何值，直线总过第一象限；
（2）为使这条直线不过第二象限，求的取值范围.

19．（12分）已知实数，满足，当时，求的最值.

20．（12分）已知点.
（1）求过点与原点距离为2的直线的方程；
（2）求过点与原点距离最大的直线的方程，最大距离是多少？
（3）是否存在过点与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.

**21．（12分）已知集合，，求为何值时，.

**22．（12分）有一个附近有进出水管的容器，每单位时间进出的水量是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水，不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间()分与水量(升)之间的关系如图所示，若40分钟后只放水不进水，求与的函数关系.
y
O　　　　　　　x
·

·

·

·

10 20 30 40

30

20

A

B

·
·
·

10

第三章直线与方程测试题答案与提示（一）
一、选择题
1—4 CDDB 5—8 BDCA 9—12 ADCB
提示：
1. 据直线的点斜式该直线的方程为，整理即得。
2. 由得D
3. 直线与直线的交点坐标为，代入直线，得
4. 由题意知，所以，所以或（舍去）
5. 第一条直线的斜率为，第二条直线的斜率为，所以.
6. 设此点坐标为,则，整理即得。
7. 令，得，令，，所以所求三角形面积为，且，
，所以，所以.
8. 由题意，可设直线l的方程为，分别与，，联立解得
，，又因为的中点是，所以由中点坐标公式得.

9. 由题意，，，则可化为.
由两平行线距离得，得或，.

10. 关于直线的交点为，点关于的对称点为也在所求直线上，∴所求直线方程为，即，或所求直线与直线的斜率互为相反数，亦可得解.
11.由题意知：，且，
所以　①或　②，解得，①有两根，②有一根.

12..如图，要使的图象与直线有两个不同的交点，则.
y
y＝a｜x｜
y＝x－a
O　　　　x

二、填空题
13．或； 14．； 15．或；
16．两条直线.
提示：
13.注意经过原点的直线在x轴、y轴上的截距均为零

14.直线在y轴上的截距为-8，直线不过第二象限，画图可知，直线的斜率为正或0，即，所以.
15.设此点坐标，由题意，可得

16. ，
所以表示两条直线，.

三．解答题
17．解：由， ，又，轴为的平分线，
故，，∵BC边上的高的方程为： ，，
∴BC：，即：，由 ，解得。

18.解：（1）将方程整理得，对任意实数，直线恒过，
与的交点，
∴直线系恒过第一象限内的定点，即无论为何值，直线总过第一象限.
（2）当时，直线为，不过第二象限；当时，直线方程化为，不过第二象限的充要条件为，，综上时直线不过第二象限.

19.思路点拨：本题可先作出函数的图象，
y
O　　　　　　　x
·

·

·

·

1 2 3 4

·
·
·
·

4

3

2

1

A

P

B

·

把看成过点和原点的直线的斜率进行求解.
解析：如图，设点，因为，满足，
且，所以点在线段上移动，并且，
两点的坐标分别是，.
因为的几何意义是直线OP的斜率，且，，
所以的最大值为2，最小值为.

20.解：（1）过点的直线l与原点距离为2，而点坐标为，可见，过垂直于x轴的直线满足条件.
此时l的斜率不存在，其方程为.
若斜率存在，设l的方程为，即.
由已知，得，解得.
此时l的方程为，综所，可得直线l的方程为或.
（2）作图可证过点与原点O距离最大的是过点且与垂直的直线，由，
得，所以，由直线方程的点斜式得，
即.
即直线是过点且与原点O距离最大的直线，最大距离为.
（3）由（2）可知，过点不存在到原点距离超过的直线，因此不存在过点点且到原点距离为6的直线.

21.思路点拨：先化简集体，，再根据，求的值.
自主解答：集合，分别为xOy平面上的点集；直线：，
：，
由，解得.
② 时，显然有，所以；
②当时，集合为直线，
集合为直线，两直线平行，所以；
③由可知，当时，即，
可得或，此时.综上所述，当时，.

22.解：当时，直线过点，；，所以此时直线方程为；
当时，直线过点，，此时，所以此时的直线方程为，即；
当时，由题意知，直线的斜率就是相应放水的速度，设进水的速度为，放水的速度为，在OA段时是进水过程，所以，在段是既进水又放水的过程，由物理知识可知，此时的速度为，，∴，所以当时，.
又过点，所以此时的方程为，令，，此时到放水完毕，综合上述：。

题序
星级
考查知识点
考查能力
1

点斜式该直线的方程
应用、计算能力
2

三点共线
公式应用、计算能力
3

直线交点
应用、计算能力
4

直线的倾斜角
计算、综合能力
5

两直线的位置关系
计算、判断能力
6
*
点到直线的距离、点的集合
综合应用能力
7

直线的截距、三角形的面积
理解能力、运算求解不等式能力
8
*
直线的交点、中点坐标公式
理解、计算能力
9

两平行线的斜率、截距关系及距离等知识
转化与计算能力
10

直线的对称
理解、计算能力
11
**
点到直线的距离
应用、计算等综合能力
12
**
直线的交点
利用数学方法（数形结合）解题能力
13

直线方程
利用数学方法（分类讨论）解题能力
14
*
点点直线、点线距离
分析问题、解决问题能力
15

点线距离
应用能力、计算能力
16
*
直线方程
化简、转化能力
17

直线的交点、直线方程、对称问题
理解能力、转化能力、运算求解能力
18
*
直线的方程、直线过定点问题
理解能力、转化能力、运算求解能力
19

直线的方程、直线的斜率
转化能力、运算求解能力
20

直线的方程、点到线的距离
转化能力、运算求解能力、实际应用能力
21
**
集合的运算、直线方程
综合应用、理解与运算能力
22
**
直线方程、实际应用
分析转化能力、运算求解能力、实际应用能力

必修2第三章测验题（二）
一、选择题
1．若直线过点，则此直线的倾斜角是(　　)
A．　　　B． C． D．

2．若三点，，在同一直线上，则实数等于(　　)
A．2　　 　 B．3　 　　 C．9　 　　 D．－9

3．过点，且倾斜角为的直线方程是(　　)
A． B．
C. D.

4．直线与直线的位置关系是(　　)
A．相交 B．平行 C．重合 D．异面

5．直线经过一定点，则该定点的坐标为(　　)
A． B． C． D．

6．已知，，则直线通过(　　)
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限

7．点到直线的距离d等于(　　)
A． B.
C. D.

8．与直线平行，且与直线交于轴上的同一点的直线方程是(　　)
A． B．
C． D．

9．两条直线与互相垂直，则等于(　　)
A．2　　　B．1　　　C．0　　　D．

10．已知等腰直角三角形的斜边所在的直线是，直角顶点是，则两条直角边，的方程是(　　)
A．， B．，
C．， D．，

11．设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是(　　)
A．或 B．
C． D．以上都不对

12．在坐标平面内，与点距离为1，且与点距离为2的直线共有(　　)
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

二、填空题
13．已知点，，则等于________．

14．平行直线：与：的距离等于________．

15．若直线经过点且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线的方程为________或________．

16．若直线被两平行线：与：所截得的线段的长为，则的倾斜角可以是①；　②；　③；　④；　⑤，其中正确答案的序号是________．(写出所有正确答案的序号)

三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．求经过点，的直线的两点式方程，并把它化成点斜式，斜截式和截距式．

18．(1)当为何值时，直线：与直线：平行？
(2)当为何值时，直线：与直线：垂直？

19．在中，已知点，，且边的中点在轴上，边的中点在轴上，求：
(1)顶点的坐标；
(2)直线的方程．

20．过点作一直线，使它夹在两直线：2x－y－2＝0和：x＋y＋3＝0之间的线段恰被点平分，求此直线方程．

21．已知的三个顶点，，，求
(1) 边上的高所在直线方程；
(2) 边的垂直平分线所在直线方程；
(3) 边的中线的方程．

22．当为何值时，直线.
(1)倾斜角为；(2)在轴上的截距为1.

必修2第三章测验题答案（二）
一、选择题
1、A 　斜率k＝＝，∴倾斜角为30°.
2、 D 由条件知kBC＝kAC，∴＝，∴b＝－9.
3、C 由直线方程的点斜式得y－2＝tan30°(x－1)，
整理得x－3y＋6－＝0.
4、A ∵A1B2－A2B1＝3×3－1×(－2)＝11≠0，∴这两条直线相交．
5、A 直线变形为m(x＋2)－(y－1)＝0，故无论m取何值，点(－2,1) 都在此直线上。
6、A ∵ab<0，bc<0，∴a，b，c均不为零，在直线方程ax＋by＋c＝0中，令x＝0得，y＝－>0，令y＝0得x＝－，∵ab<0，bc<0，∴ab2c>0，∴ac>0，∴－<0，∴直线通过第一、二、三象限。
7、B 直线方程y＝－x化为一般式x＋y＝0，
则d＝.
8、C 直线y＝－2x＋3的斜率为－2，则所求直线斜率k＝－2，直线方程y＝3x＋4中，令y＝0，则x＝－，即所求直线与x轴交点坐标为(－，0)．故所求直线方程为y＝－2(x＋)，即y＝－2x－.
9、D∵两线互相垂直，∴a·(a＋2)＝－1，∴a2＋2a＋1＝0，∴a＝－1.
10、　B∵两条直角边互相垂直，∴其斜率k1，k2应满足k1k2＝－1，排除A、C、D，故选B.
11、A　kPA＝－4，kPB＝，画图观察可知k≥或k≤－4.
12、　B 由平面几何知，与A距离为1的点的轨迹是以A为圆心，以1为半径的⊙A，与B距离为2的点的轨迹是半径为2的⊙B，显然⊙A和⊙B相交，符合条件的直线为它们的公切线有2条．
二、填空题
13、. 5 |AB|＝＝5.
14、　 直线l2的方程可化为x－y＋＝0，则d＝＝.
15、 x＋y－5＝0　x－y＋1＝0
设直线l的方程为＋＝1，则解得a＝5，b＝5或a＝－1，b＝1，即直线l的方程为＋＝1或＋＝1，即x＋y－5＝0或x－y＋1＝0.
16、　①⑤ 两平行线间的距离为d＝＝，由图知直线m与l1的夹角为30°，l1的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.
三、解答题
17、过AB两点的直线方程是＝.
点斜式为y＋1＝－(x－4) 斜截式为y＝－x＋ 截距式为＋＝1.
18、(1)直线l1的斜率k1＝－1，直线l2的斜率k2＝a2－2，因为l1∥l2，所以a2－2＝－1且2a≠2，解得：a＝－1.所以当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行．
(2)直线l1的斜率k1＝2a－1，l2的斜率k2＝4，因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即4(2a－1)＝－1，解得a＝.所以当a＝时，直线l1：y
＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直．
19、(1)设C(x，y)，由AC的中点M在y轴上得，＝0，即x＝－5.
由BC中点N在x轴上，得＝0，∴y＝－3，∴C(－5，－3)
(2)由A、C两点坐标得M(0，－)．由B、C两点坐标得N(1,0)．
∴直线MN的方程为x＋＝1.即5x－2y－5＝0.
20、设点A的坐标为(x1，y1)，因为点P是AB中点，则点B坐标为(6－x1，－y1)，因为点A、B分别在直线l1和l2上，有
解得,由两点式求得直线方程为8x－y－24＝0.
21、　(1)直线AC的斜率kAC＝＝－2
即：7x＋y＋3＝0(－1≤x≤0)． ∴直线BD的斜率kBD＝，
∴直线BD的方程为y＝(x＋4)，即x－2y＋4＝0
(2)直线BC的斜率kBC＝＝ ∴EF的斜率kEF＝－
线段BC的中点坐标为(－，2) ∴EF的方程为y－2＝－(x＋)
即6x＋8y－1＝0.
(3)AB的中点M(0，－3)，∴直线CM的方程为：＝，
22、(1)倾斜角为45°，则斜率为1 ∴－＝1，解得m＝－1，m＝1(舍去) 直线方程为2x－2y－5＝0符合题意，∴m＝－1
(2)当y＝0时，x＝＝1，解得m＝－，或m＝2
当m＝－，m＝2时都符合题意，∴m＝－或2.
第三章直线与方程[基础训练A组]
一、选择题
1．设直线的倾斜角为，且，则满足（ ）
A． B． C． D．
2．过点且垂直于直线 的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知过点和的直线与直线平行，则的值为（　　）
A． B． C． D．
4．已知，则直线通过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
5．直线的倾斜角和斜率分别是（ ）
A． B． C．，不存在 D．，不存在
6．若方程表示一条直线，则实数满足（ ）
A． B．
C． D．，，
二、填空题
1．点 到直线的距离是________________.
2．已知直线若与关于轴对称，则的方程为__________;若与关于轴对称，则的方程为_________;若与关于对称，则的方程为___________;
3． 若原点在直线上的射影为，则的方程为____________________。
4．点在直线上，则的最小值是________________.
5．直线过原点且平分的面积，若平行四边形的两个顶点为，则直线的方程为________________。
三、解答题
1．已知直线，
（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线；
（2）系数满足什么关系时与坐标轴都相交；
（3）系数满足什么条件时只与x轴相交；
（4）系数满足什么条件时是x轴；
（5）设为直线上一点，证明：这条直线的方程可以写成．

2．求经过直线的交点且平行于直线的直线方程。

3．经过点并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程。

4．过点作一直线，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为．

第三章直线与方程[综合训练B组]
一、选择题
1．已知点，则线段的垂直平分线的方程是（ ）
A． B．
C． D．

2．若三点共线 则的值为（　　）
Ａ．　　 Ｂ．　　Ｃ．　　Ｄ．

3．直线在轴上的截距是（ ）
A． B． C． D．

4．直线，当变动时，所有直线都通过定点（ ）
A． B． C． D．

5．直线与的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．斜交 D．与的值有关

6．两直线与平行，则它们之间的距离为（ ）
A． B． C． D．

7．已知点，若直线过点与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．

二、填空题
1．方程所表示的图形的面积为_________。

2．与直线平行，并且距离等于的直线方程是____________。

3．已知点在直线上，则的最小值为

4．将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，且点与点重合，则的值是___________________。

５．设，则直线恒过定点 ．
三、解答题
1．求经过点并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是的直线方程。

2．一直线被两直线截得线段的中点是点，当点分别为，时，求此直线方程。

3． 函数在及之间的一段图象近似地看作直线，设，证明：的近似值是：．

4．直线和轴，轴分别交于点，在线段为边在第一象限内作等边△，如果在第一象限内有一点使得△和△的面积相等，求的值。

第三章直线与方程[提高训练C组]
一、选择题
1．如果直线沿轴负方向平移个单位再沿轴正方向平移个单位后，又回到原来的位置，那么直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．

2．若都在直线上，则用表示为（ ）
A． B． C． D．

3．直线与两直线和分别交于两点，若线段的中点为 ，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．

4．△中，点,的中点为,重心为，则边的长为（ ）
A． B． C． D．

5．下列说法的正确的是 （ ）
A．经过定点的直线都可以用方程表示
B．经过定点的直线都可以用方程表示
C．不经过原点的直线都可以用方程表示
D．经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示

6．若动点到点和直线的距离相等，则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．

二、填空题
1．已知直线与关于直线对称，直线⊥，则的斜率是______.

2．直线上一点的横坐标是，若该直线绕点逆时针旋转得直线，则直线的方程是 ．

3．一直线过点，并且在两坐标轴上截距之和为，这条直线方程是____．

4．若方程表示两条直线，则的取值是 ．

5．当时，两条直线、的交点在 象限．

三、解答题
1．经过点的所有直线中距离原点最远的直线方程是什么？

2．求经过点的直线，且使，到它的距离相等的直线方程。

3．已知点，，点在直线上，求取得
最小值时点的坐标。

4．求函数的最小值。

答案第三章直线和方程 [基础训练A组]
一、选择题
1.D
2.A 设又过点，则，即
3.B 4.C
5.C 垂直于轴，倾斜角为，而斜率不存在
6.C 不能同时为
二、填空题
1.
2.
3.
4. 可看成原点到直线上的点的距离的平方，垂直时最短：
5. 平分平行四边形的面积，则直线过的中点
三、解答题
1. 解：（1）把原点代入，得；（2）此时斜率存在且不为零
即且；（3）此时斜率不存在，且不与轴重合，即且；
（4）且
（5）证明：在直线上，，
。
2. 解：由，得，再设，则，
为所求。
3. 解：当截距为时，设，过点，则得，即；
当截距不为时，设或过点，则得，或，即，或，这样的直线有条：，，或。
4. 解：设直线为交轴于点，交轴于点，
，
得，或， 解得或 ，
，或为所求。

答案第三章 直线和方程 [综合训练B组]
一、选择题
1.B 线段的中点为垂直平分线的，
2.A
3.B 令则
4.C 由得对于任何都成立，则
5.B
6.D 把变化为，则
7.C
二、填空题
1. 方程所表示的图形是一个正方形，其边长为
2.，或，
设直线为
3. 的最小值为原点到直线的距离：
4． 点与点关于对称，则点与点
也关于对称，则，得
5. 变化为
对于任何都成立，则
三、解答题
1.解：设直线为交轴于点，交轴于点，

得，或， 解得或
，或为所求。
2.解：由得两直线交于，记为，则直线
垂直于所求直线，即，或，，或，
即，或为所求。
1. 证明：三点共线，，即，
， 即，
的近似值是：
2. 解：由已知可得直线，设的方程为
则，过，
得。

答案第三章直线和方程[提高训练C组]
一、选择题
1.A
2.D
3.D 4.A
5.D 斜率有可能不存在，截距也有可能为
6.B 点在直线上，则过点且垂直于已知直线的直线为所求
二、填空题
1.
2. 的倾斜角为
3.，或，
设，
。
4. 5.二
三、解答题
1. 解：过点且垂直于的直线为所求的直线，即

2. 解：显然符合条件；当，在所求直线同侧时，
，，或
3. 解：设，则
当时，取得最小值，即
4. 解：可看作点
到点和点的距离之和，作点关于轴对称的点

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