椭圆常结论及其结论(完全版).doc

2椭圆常用结论
一、椭圆的第二定义:
一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率（点与线成对出现，左对左，右对右）
对于，左准线；右准线
对于，下准线；上准线
椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称
焦点到准线的距离（焦参数）
x
O
F1
F2
P
y
A2
A1
B1
B2

二、焦半径
圆锥曲线上任意一点与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径。
椭圆的焦半径公式：
焦点在轴（左焦半径）,（右焦半径）,其中是离心率
焦点在y轴 其中分别是椭圆的下上焦点 焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为：左加右减，上减下加
推导：以焦点在轴为例
如上图，设椭圆上一点，在y轴左边.
根据椭圆第二定义，，
则
同理可得
三、通径：
圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦，以焦点在轴为例，
弦
坐标：，
弦长度：
四、若是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为 .
推导：如图
根据余弦定理，得
=
=
=
=
得
===

x
O
F1
F2
P
y
A2
A1
B1
B2

五、弦长公式
直线与圆锥曲线相交所得的弦长
直线具有斜率,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为,则它的弦长
注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为，运用韦达定理来进行计算.
当直线斜率不存在是,则.
六、圆锥曲线的中点弦问题：
(1)椭圆中点弦的斜率公式：
设为椭圆弦（不平行轴）的中点，则有：
证明：设，，则有， 两式相减得：整理得：，即，因为是弦的中点，所以，所以

(2)遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。
在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=－；
由（1）得

七、椭圆的参数方程
八、共离心率的椭圆系的方程：
椭圆的离心率是，方程是大于的参数，的离心率也是 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.
例1、已知椭圆上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为____

例2、如果椭圆弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是

例3、已知直线与椭圆相交于、两点，且线段的中点在直线：上，则此椭圆的离心率为_______

例4、是椭圆的右焦点，为椭圆内一定点，为椭圆上一动点。
（1）的最小值为
（2）的最小值为
分析：为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径或准线作出来考虑问题。
解：（1） 设另一焦点为，则(-1,0)连,

当是的延长线与椭圆的交点时, 取得最小值为4-。
（2）作出右准线l，作交于，因，，， 所以，，.
∴
∴
当、、三点共线时，其和最小，最小值为
例5、求椭圆上的点到直线的距离的最小值．

例6、椭圆顶点A（a，0），B（0，b），若右焦点F到直线AB的距离等于，则椭圆的离心率e=（　　）

A．

B．

C．

D．

例7、在椭圆中，F1，F2分别是其左右焦点，若|PF1|=2|PF2|，则该椭圆离心率的取值范围是（　　）

A．

B．

C．

D．