相似三角形知识点归纳全.doc

?相似三角形?知识点归纳
知识点1 有关相似形的概念
(1)形状一样的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.
(2)如果两个边数一样的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多
边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．
知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质
〔1〕定义： 在四条线段中，如果的比等于的比，则这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
注：①比例线段是有顺序的，如果说是的第四比例项，则应得比例式为：．
② 核心内容：
〔2〕黄金分割：把线段分成两条线段，且使是的比例中项，即，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，其中≈．即 简记为：
注：①黄金三角形：顶角是360的等腰三角形
②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形
〔3〕合、分比性质：．

注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间
发生同样和差变化比例仍成立．如：等等．

（4） 等比性质：如果，
则．
知识点3 比例线段的有关定理
平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.
AD∥BE∥CF,
可得等.
特别在三角形中：
由DE∥BC可得：
知识点4 相似三角形的概念
〔1〕定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽〞表示，读作“相似于〞 ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．

注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上
②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．
③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．
④全等三角形是相似比为1的相似三角形．

〔2〕三角形相似的判定方法
1、平行法：〔图上〕平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.
2、判定定理1：简述为：两角对应相等，两三角形相似． AA
3、判定定理2：简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．SAS
4、判定定理3：简述为：三边对应成比例，两三角形相似．SSS
5、判定定理4：直角三角形中，“HL〞
全等与相似的比拟：
三角形全等
三角形相似
两角夹一边对应相等(ASA)
两角一对边对应相等(AAS)
两边及夹角对应相等(SAS)
三边对应相等(SSS)、(HL〕
两角对应相等
两边对应成比例，且夹角相等
三边对应成比例
“HL〞
〔3〕射影定理：
如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，
则 ∽ ＝＝＞ AD2=BD·DC，
∽ ＝＝＞ AB2=BD·BC ，
∽ ＝＝＞ AC2=CD·BC .

知识点5 相似三角形的性质
(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．
(2)相似三角形周长的比等于相似比．
(3)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．

知识点6 相似三角形的几种根本图形：
（1） 如图：称为“平行线型〞的相似三角形〔有“A型〞与“X型〞图〕

(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型〞的相似三角形。〔有“反A共角型〞、
“反A共角共边型〞、 “蝶型〞〕

(3)一线三等角的变形:

知识点7 等积式证明题常用方法归纳：
(1)总体思路:“等积〞变“比例〞，“比例〞找“相似〞
(2)找相似：通过“横找〞“竖看〞寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.
(3)找中间比：假设没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进展“转移〞(或“替换〞)，常用的“替换〞方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.
即：找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。
(4) 添加辅助线：假设上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成
比例.
注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。平面直角坐标系中通常是作垂线〔即得平行线〕构造相似三角形或比例线段。
知识点8 相似多边形的性质
(1)相似多边形周长比，对应对角线的比都等于相似比．
(2)相似多边形中对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比．
(3)相似多边形面积比等于相似比的平方．
注意：相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决，因此，熟练掌握相似三角形知识是根底和关键．
知识点9 位似图形有关的概念与性质
〔1〕 位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点.
〔2〕 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形.
〔3〕 位似图形的对应边互相平行或共线.
〔4〕位似图形具有相似图形的所有性质.

位似图形的性质：
 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
‚在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，则位似图形对应点的坐标比等于k或-k.〔假设位似中心不是原点，则向坐标轴作垂直构造直角三角形，利用相似解决或是先平移到原点，求出对应点的坐标再平移回去〕