3静力学第三章习题答案.doc

第三章 部分习题解答

3-10 AB,AC和DE三杆连接如图所示。杆DE上有一插销H套在杆AC的导槽内。试求在水平杆DE的一端有一铅垂力作用时，杆AB所受的力。设，杆重不计。
FCx
FCy
FBx
FBy
解：
假设杆AB，DE长为2a。取整体为研究对象，受力如右图所示，列平衡方程：

取杆DE为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：
FDx
FDy
FHy

取杆AB为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：
FBx
FBy
FDy
FDx
FAx
FAy
(与假设方向相反)

(与假设方向相反)

(与假设方向相反)

FCx
FCy
FD
3-12和四杆连接如图所示。在水平杆AB上作用有铅垂向下的力。接触面和各铰链均为光滑的，杆重不计，试求证不论力的位置如何，杆AC总是受到大小等于的压力。
解：
取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：

FABx
FABy
FB
取杆AB为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：

FEx
FEy
FAC
FB
杆AB为二力杆，假设其受压。取杆AB和AD构成的组合体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：

解得，命题得证。
注意：销钉A和C联接三个物体。

3-14两块相同的长方板由铰链C彼此相连接，且由铰链A及B固定，如图所示，在每一平板内都作用一力偶矩为的力偶。如，忽略板重，试求铰链支座A及B的约束力。
解：
FA
FB
取整体为研究对象，由于平衡条件可知该力系对任一点之矩为零，因此有：

即必过A点，同理可得必过B点。也就是和是大小相等，方向相反且共线的一对力，如图所示。
取板AC为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：
FCx
FCy

解得：(方向如图所示)

3-20如图所示结构由横梁和三根支承杆组成，载荷及尺寸如图所示。试求A处的约束力及杆1，2，3所受的力。
FBx
FBy
F3
解：
支撑杆1，2，3为二力杆，假设各杆均受压。选梁BC为研究对象，受力如图所示。其中均布载荷可以向梁的中点简化为一个集中力，大小为2qa，作用在BC杆中点。列平衡方程：
D
F3
F2
F1
x
y

(受压)
选支撑杆销钉D为研究对象，受力如右图所示。列平衡方程：

(受压)
(受拉)
FAx
FAy
F3
F2
MA

选梁AB和BC为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：
(与假设方向相反)

(逆时针)

3-21二层三铰拱由和四部分组成，彼此间用铰链连接，所受载荷如图所示。试求支座的约束力。
FAx
FAy
FBx
FBy
解：
选整体为研究对象，受力如右图所示。列平衡方程：

(1)
由题可知杆DG为二力杆，选GE为研究对象，作用于其上的力汇交于点G，受力如图所示，画出力的FE
FBx
FBy
FCx
FCy
三角形，由几何关系可得：。
FE
FG

FE
FG
F

取CEB为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：

代入公式(1)可得：

3-24均质杆AB可绕水平轴A转动，并搁在半径为的光滑圆柱上，圆柱放在光滑的水平面上，用不可伸长的绳子AC拉在销钉A上，杆重16N，。试求绳的拉力和杆AB对销钉A的作用力。
P
FAx
FAy
N1
N2
N1
T

解：
取杆AB为研究对象，设杆重为P，受力如图所示。列平衡方程：

取圆柱C为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：

注意：由于绳子也拴在销钉上，因此以整体为研究对象求得的A处的约束力不是杆AB对销钉的作用力。

3-27均质杆AB和BC完全相同，A和B为铰链连接，C端靠在粗糙的墙上，如图所示。设静摩擦因数。试求平衡时角的范围。
解：
取整体为研究对象，设杆长为L，重为P，受力如图所示。列平衡方程：
(1)
取杆BC为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：
(2)
FAx
FAy
FN
Fs
P
P
FBx
FBy
FN
Fs
P

补充方程：，
将(1)式和(2)式代入有：，即。

3-29不计重量的杆AB搁在一圆柱上，一端A用铰链固定，一端B作用一与杆相垂直的力，如图所示。试：
（1） 不计圆柱重量，求证各接触面的摩擦角大于时，不论多大，圆柱不会被挤出，而处于自锁状态。
（2） 设圆柱重为P，则圆柱自锁条件为：

FRD
FRC

FND
FSD
o
FAx
FAy
证明：（1）不计圆柱重量

法1：
取圆柱为研究对象，圆柱在C点和D点分别受到法向约束力和摩擦力的作用，分别以全约束力来表示，如图所示。如圆柱不被挤出而处于平衡状态，则等值，反向，共线。由几何关系可知，与接触点C，D处法线方向的夹角都是，因此只要接触面的摩擦角大于，不论F多大，圆柱不会挤出，而处于自锁状态。

法2（解析法）：
首先取整体为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：

再取杆AB为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：

FNC
FSC
FNC
FSC
FND
FSD
o

取圆柱为研究对象，受力如图所示。假设圆柱半径为R，列平衡方程：

由补充方程：，可得如果：

则不论F多大，圆柱都不被挤出，而处于自锁状态。

证明：（2）圆柱重量P时
取圆柱为研究对象，此时作用在圆柱上的力有重力P，C点和D点处的全约束力。如果圆柱保持平衡，则三力必汇交于D点（如图所示）。全约束力与C点处法线方向的夹角仍为，因此如果圆柱自锁在C点必须满足：
(1)
该结果与不计圆柱重量时相同。只满足(1)式时C点无相对滑动，但在D点有可能滑动(圆柱作纯滚动)。
再选杆AB为研究对象，对A点取矩可得，由几何关系可得：
(2)
法1（几何法）：
P
φ

FRD
FRC
P
φ
FRD
FRC

圆柱保持平衡，则作用在其上的三个力构成封闭得力三角形，如图所示。由几何关系可知：
将(2)式代入可得：
因此如果圆柱自锁在D点必须满足： (3)
即当同时满足(1)式和(3)式时，圆柱自锁，命题得证。

FNC
FSC
FND
FSD
P
法2（解析法）：
取圆柱为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：

解得：，
代入补充方程：，
可得如果圆柱自锁在D点必须满足： (3)
即当同时满足(1)式和(3)式时，圆柱自锁，命题得证。

3-30如图所示机构中，已知两轮半径量，各重，杆AC和BC重量不计。轮与地面间的静摩擦因数，滚动摩擦系数。今在BC杆中点加一垂直力。试求：
（1） 平衡时的最大值；
当时，两轮在D和E点所受到的滑动摩擦力和滚动摩擦力偶矩。
解：
取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：

由题可知，杆AC为二力杆。作用在杆BC上的力有主动力，以及B和C处的约束力和，由三力平衡汇交，可确定约束力和的方向如图所示，其中：，杆AC受压。
FND
FNE
FSD
FSE
ME
MD
FB
FAC
θ

取轮A为研究对象，受力如图所示，设的作用线与水平面交于F点，列平衡方程：
FAC
FND
FSD
MD
F

取轮B为研究对象，受力如图所示，设的作用线与水平面交于G点，列平衡方程：
FNE
FSE
ME
FB
G

解以上六个方程，可得：
， ，
，
若结构保持平衡，则必须同时满足：
，，，
即：，
因此平衡时的最大值，此时：
，

3-35试用简捷的方法计算图中所示桁架1，2，3杆的内力。
解：
由图可见杆桁架结构中杆CF，FG，EH为零力杆。用剖面SS将该结构分为两部分，取上面部分为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：
F2
F3
F1
S
FG
FH
θ
S

(受拉)
(受拉)
(受压)

3-38如图所示桁架中，ABCDEG为正八角形的一半，各杆相交但不连接。试求杆BC的内力。

解：假设各杆均受压。取三角形BCG为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：
FG
FEG

FAB
θ
C
FBC
FCD
FCG
(受压)

取节点C为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：

其中：，解以上两个方程可得：(受压)

3-40试求图中所示桁架中杆1和2的内力。
解：
取整体为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：
A
B
C
3
4
5
FAy
FAx
FB
S
S
F1
F3
F4
F5
F2

用截面S-S将桁架结构分为两部分，假设各杆件受拉，取右边部分为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：
(受拉)
(受拉)
C3-11