量子力学教程答案（第二版）.pdf

<p>第1章 波函数与Schrodinger方程L1设质量为市的粒子在势场M（，）中运动.（a）证明粒子的能量平均值为E=Jwd厂，式中tr2,W=S 鼻U欧十5*%（能量密度）2 m（b）证明能量守恒公式3W 八-上=（）入s=-（能流密度）证明（a）粒子能量平均值为（设3已归一化）E=1欧*（一 V2-F V）欧矛r T+V=V3d3r（势能平均值）T=J5*-受）阿3r（动能平均值）:一要（5*VQ）（%，）.（V）d3r 2mJ其中第一项可化为面积分,对于归一化的波函数，可以证明此面积分为零（见量 力学教程,18页脚注），所以T=J*3r（b）按能量密度W和能流密度s的定义=*V5+w ）+*7*十W*vJ i-=-$+i 方j*0 1 玄%*=-V*因此dW cF V-s=0 3t1.2考虑单粒子的Schrddingcr方程i 方/)=一 V2 i(r,z)十Vi(r)+i V2(r)J 0(r,z)dt 2mVi与V2为实函数.(a)证明粒子的概率(粒子数)不守恒；(b)证明粒子在空间体积r内的概率随时间的变化为 cPR欧二-(*%一 物中*)dS+最 jjj%(r)d3厂“*力证明由 Schrodinger 方程a-*-2i 方=一 o-欧+%+i V2 d L ZfH取复共轲a 方2_j 方歹步*=-&amp;*F Vi-iV2l*(2)dt 2m(l)x*(2)xw 得i 方(g3 头 V 2 2 欧*)4-21 V2 5POt Zm r-jt-2=-V (/)*7*-忸中)+2i匕欧*欧积分，利用Stokes定理=-口 ds(中欧)+系卜%3*3 对于可归二化波函数，当r：8,上式第一项(面积分)为0,而上wo,所以、卜呻“不为0,即粒子数不守恒.L3对于一维自由粒子，1 j 2 y-2 _p(a)设波函数为办(a)，试用Hanilton算符H-(一丁对，2兀.2利 2 m dr-以()运算，验证H为(i)=卢必(1);说明动量本征态以(一)是Hamillcn量(能 4 ffl2量)本征态，能量本征值为E=p2/2m(b)设粒子在初始(f=0)时刻，x,0)=%(工),求3(彳)；(c)设波函数为-1)=飘)=je&amp;d人=二二b7。，可以看成无/2tcJ、/2n方穷多个平面波e的舂加，即无穷多个动量本征态小的叠力口.试问WG)=3(z)是否是能量本征态？(d)设粒子在二0时刻3(z,0)=5(i),求一彳“).解(a)容易计算出照-2m修尽号 2阳所以动量本征态小(1)是Hamilton量(能量)的本征态,能量本征值为E=/2机；(b)必.T，0)=/。1其Fcurier变换为1 r+oo _中(力)(2 穴 fl 6(P-Po)/2AJ 8由于人心0)是能量本征态，按量子力学教程L2节，(37)式，t)=700，石空(力,加)位出所=所-值-2丁方(c)对于自由粒子，动量木征态，亦即能量本征态.由于3(1)是无穷多个动量本征态3%的叠加，所以W(i)=BG)不是能量本征态.(d)因为弧0)=旗工)，按奥子力学教程1.2节,(教式中(力)=-,I j)e=(2穴方)2 v/27tZiJ/所以以“，)=土/加片d/=|*e 修)%抄二/一号e嗡2冗万J-g 27rkJ-8 2冗方i计算中利用了积分公式r+oo r+oo _ 82cos针d=sin铲dg=，兀/2,或 e,f df=&amp;严.所以J OO J8 J OCI WO）I2m27r京1-4设一维自由粒子的初态为一个Gauss波包,欧（金,=elpox/7r（冗屋1(1)证明初始时刻,1=0,=户0,3 F-工二（x-xr=a/v2r-it/2 r.力=（P P）?=方/J2aj：，力=方/2（2）计算t时刻的波函数.解（1）初始时刻+8,48 1 2 2jc 3；I 力 12d=t er 4 dr=0J 8 J/2=342按量子力学教程1.2节，(18)式之逆变换叭p)=/_J$&amp;(x,O)e-iArd.z1+8 1 2 2=(/4)1/%/(一%2/谭I 0 时的波函数”（孙）-看exp圉一舞加=q。+写exp(Pot (r-Pt/m)2 m I 2a2(1+i 方/ma?).4 I队工，t）2(z-pt/mY CT+方22/w2a2.4女）叱/、a h2t2m1/2 aJ2 wa(r f 8)X（t=0）=三二 10 15m 72-z、方 300000 x 365 x 24 x 60 x 60 一、42 X 0.001 x/2 x w15可见随时间的增加，波包逐渐扩散,振幅逐渐减小，而其宽度Am逐渐增大.15设一维自由粒子的初态为必;八0）.证明在足够长时间后，9）=J.exp-ior/4-p需平署）式中叭k）-政（,0）e一.d、r2/8是族（才）的Fourier变换.提示利用 皿户铲飞-=次w）q3 y 几证明根据自由粒子的动量（能量）本征态随时间变化的规律展”一泌“一人，式中3=/=加2/2加，所以时刻/的波函数为奴N）-尹（4 3五屋”切匕女当时间足够长后（-8）,利用积分公式lim J e仇ew=XQt）a ar、0上式被积函数中指数函数具有B函数的性质,即t2工/2冷一叫取向-等.公蜉）5 1.6按照粒子密度分布p和粒子流密度分布j的表示式(L2方式(13),(14)p(r,t)=3(r-r,工)trj(r.t)(r9t)Vip(r j)-M，,f)少(，)2 m定义粒子的速度分布安_/_ i 方 .(r,)V.(r)p 2/3(r,)二证明X p=0.设想tr描述一个速度场，则,为一个无旋场.证明按照上述七的定义，可知i 方以 r,)V0 x(ru)l,=_-2mL 欧(，)=-普丁.)-Vin*(r9t)i 方 Vi 2（r，）“亚 MwjVX t,=-*Wn 九（-上。2m,t）1.7处于势场V(r)中的粒子，在坐标表象中的能量本征方程表示成-V2+V(r)砂(r)-E状r)L 2 m 试在动量表象中写出相应的能量本征方程.解利用5(r)的Fourier变换LtK h)可知一52+v,二(一叫V(,)岛迈卜门绚。,6 即(2而必.2m+ViTf-j-E卜5)凹“3。=0所以在动量表象中相应的能量本征方程为+V(呜限p)-E(jp(p)7 第2章一维势场中的粒子2.1设粒子限制在矩形匣子中运动，即j0,0 x a,0 y A,0 2r c V（jc,y,wI 8,其余区域求粒子的能量本征值和本征波函数.如a=b=c，讨论能级的简并度.解在匣子内方2一 丁 金=W 2m即（厂2+/）“二0,其中归=内后片.采用直角坐标系，方程的解可以分离变量.再考虑到边条件做/=0=0,2=0）=0,能量本征函数可表示为也（.丁，了，2）二 AsinEwsinE3tysin氏/再考虑到=a,1y=b,z=c）=0,可以求出k 才=n i穴/a,kv-几 2n/6,h 二 nyit/c 3】，2,九 3 粒子的能量本征值为潴*二 E 7f=-w 匕 5+5 I1 2 3 2m a2 bz c2）而归一化的能量本征函数为仇严2%（？，丁）=2/2./九2宽 舞3匹sin-jc sin y sin-za b、c对于方用子a-b-c,E严 2%2maE汇2能级的简并度为满足彳+分状=条件的正整数（刈，23）解的个数（参阅:量子力学，卷n,pp.420421,练习2.）2.2 设粒子处于一维无限深方势阱中,V(.r)=0,0 J,6Z8 X a 8 证明处于能量本征态期（工）的粒子，,r=a/2,（1一I）?=一讨论8的情况，并与经典力学计算结果比较.证明设粒子处于第九个本征态,其本征函数为在经典情况下，在区域（0,0）中粒子处于di范围中的概率为三，所以 a当力-8,量子力学的结果与经典力学计算值一致.2.3 设粒子处于一维无限深方势阱中V（T）=0,I j；1 a/2,处于基态痂=1,见2.2节式（12），求粒子的动量分布,解基态波函数?（户）=-俘匕9 二焉 HU8s5+小卜+“1：-l.Hdr_ 1 1/2cos（仅/2 方）+2cos（仅/2 方）47。2 it/a 4 p/书 n/a 一 力/方/1 2（n/a）cos（pa/2 ft）!1一 I .，几彘（式/）2-（/）/方）2测量粒子的动量的概率分布为历（力）|2.（参阅:量子力学，卷pp.8788,练习4和练习5.）2.4 设粒子处于无限深方势阱T“、10,0 jc a,V（上）=8,r a中,粒子波函数为3（1）=Az（-工）,4为归一化常数.（a）求A;（b）求测得粒子处于能量本征态以=仔sin型笠的概率Pn,特别是Pj;（c）作图，比较 y a a叭力与弧（工）曲线.从p匕（kWi）来说明两条曲线非常相似，即几乎与 基态弧（?）完全相同.解（a）根据归一化条件r+B Ca、J I 0（r）l2djr=JoAr（a-#）2dl=1可得人二套,所以Pn=I C2一（一 1 尸2只当=1,3,5,时，P,才不为6特别是匕二技七0.999,非常接近于1.考虑 7T到归一化条件，N 1金2=匕=1,可知2MW1）概率几乎为0,即以）与=1 71-110 必（/）概率几乎完全相同.（C）M（上）=72/a sin（肾）（实线）r(a-*)(虚线)25同上题.设粒子处于基态（冗=DjEj=7?方2/2以2设子=。时刻阱宽 突然变为2a,粒子波函数来不及改变，即（1，0）=如（=）=2.XT sin a a试问:对手加宽了的无限深方势阱.0,0 T 2aVjc）=八0,x 2a欧（2,0）是否还是能量本征态？求测得粒子处于能量本征值%的概率.解对于加宽了的无限深方势阱，能量本征值和能量本征态分别为Mlt2 方28,也2 0 J：a10,x 2a可见以巧0）不再是它的能量本征态.由于势阱突然变宽，粒子波函数和能量来不方2及改变，粒子能量仍保持为Ei=2,而W（n0）可以按展开，2ma欧（,0）=、8 Ca flaCn-p(x)0(T,O)dx=,0)clr+*(1)5(n0)drrJ-oc J 0 J a 11 经过计算可得（工）可上,0）diC2a AT.以竟/2.冗H I=a-sin A(sindx JoV a a y a a J?所以粒子处于S,即能量仍为E1=的概率为I。212=1/2.2.6 设粒子（能量上）0）从左入射,碰到下图所示的势阱，求透射系数与反 射系数.参见量子力学卷I,108页,有详细解答.答案透射系数为丁 Ah/h一（1+k/k/）2反射系数为二（1-卜/忆/（I+其中k=yflrnE卜二，2.（E+Vn）/7r 不难验证概率守恒关系式R4T不1.2.7 利用Hermite多项式的递推关系（附录A3,式（13）,证明谐振子波函数 满足下列关系：耙（=）=:以_i（z）5+j（i），a=/嬴7方a l Y/V Z 文26（*-）=nn-l）n_2（）+（2n+1）内（？）+7(n+l)(n+2)+2()J 12 并由此证明，在以态下#=O,0=E/2.证明已知H十(工)-2jcH(h)+(工)=01a=Vn2nn!14Q以川=2 2”，、e3/2HLl 氏 2口+1)L/a以 i(G-Q_、9一1(-1)!2 2 2八.e/2HL所以卫”式jc)=-M a12nn12 2 2orHK立),(M=心E“4e“r/2)4,M岛)2(yHrt+i(aj：)+乩一 i(az)=M a_12*T(乩一1（皿）+M a2（：+1）!）2/乩.1（皿）=1 叽T（）以“（工）.利用本征函数的正交性，可得元=0.i叽（*）=他3-i（JC）+J用W”+（X）=TaP-J）+J 枭二我（一二1）圾-2+（2冗+1）色+VTn+1）（k+力以十2】2a同样,利用本征函数的正交归一性，可得T7 1 2 f r*2 r i 1 2 2k+1 1/1 他 后打Y=-ma）2科工队&amp;r-彳加 2=彳（+5）方s=彳nj z 2a 乙 l z 13 2-8同上题,利用Hermite多项式的求导公式（附录A3,式（14）,证明 森=山会1J/kl.小 屋_ _值2%（2）=.晨-1）丸-2-（2 九+1）6+1）（n+2）必.2并由此证明，在色态下证明利用HH）-2九H1（w）二iW 汩式向（.15-d,后阳一）Li（O.r）.1，、a 2 _ 2 2.=I/K11ML M（a，）所以r I1d a 2 22 八 e,八一，一、丁四工 厂一.2所儿一管一“2-a2Jc（利用2.7题）=2a/|以+4号5+./W+1,_ W 2n Zf-ki.利用本征函数的正交性归一性，可知力二一 i方（四（），昌四（）=0类似,利用本征函数的正交归一性，可得 14p2=必卜方2 sM di=号-（2+1）J-8 djr j Z所以T=p2/2m=；（+卜3二&amp;/22.9 谐振子处于态下，计算r-i/2-11/2 z=（工一 了）2，力工（力一力）2，才力解 1按2.7题，在5n态下在=0,M=晨工（2门+1）,所以2a i=（7?1/2=GT?）=十户尹一 晨方2按28题，在色态下j=0小2=勺.（2笈+1）,所以7-7511/2 3/2n+1 户=（户 _/）2=户2 户2=Q而 J _因而=（Z7+1/2）左2.10 荷电q的谐振子，受到外电场有的作用，V（jt）=thu）2jc2 q&amp;x求能量本征值和本征函数.（提示:对VG）进行配方，V（1）二2（1 一）2 一:j=吟，相当于谐振子势的平衡点不在工二0,而在工二打点.）2 met）解答参见量子力学习题精选与剖析上,74页,3.7题.答案 能量本征值,后=（笈+：）方3-g1=0,1,2一能量本征函数，外（）=以（-10）,这里饱（文）是谐振子势V（jc）=5加小/中粒子的能量本征函数（见量子力学教程49页,（14）式）.2.11设粒子在下列势阱中运动，求粒子的能级,（8,Jr 0 15解Schrodinger 方程为方2 d?1-17-丁；3（%）+ma22（x）=E中（况）,w 0（1）27n dz，2此即Hermite多项式所满足的微分方程,但要求力（力满足中（叉）=0,B 0（2）要保证+8,欧（）-0.则必须入二2几十1,（见量子力学教程,49页，（11）式）,方程（1）的解为色（力=八/一我/2乩（皿），（4,为归一化常数），相应能量 本征值为总（冗+1/2）&amp;.但根据工=0点的边界条件（0）=0,%只能取奇数（n=2m寸1,7九=0,1,2,）.因此能量本征值只能取E舞=（2m+3/2）方卬，m=0,1,2一即只包含量子力学教程2.4节中给出的谐振子解中的奇宇称解.对于奇宇称解 欧（一）=一八了）,自动保证 必0）=0.2.12 维无限深方势阱中的粒子，设初始时刻（=0）处于$&amp;（x,0）=-工）+如（工）由（1）与的（戈）分别为基态和第一激发态.求（a）了）甲（比）二（以）奴HE”（b）能量平均值方;（c）能量平方 平均值评;（d）能量的涨落（H-H）2产2；体系的特征时间,计算E 九解（a）按量子力学教程21页上的讨论（见21页，（34）式和（37）式），可知“（工）=，（我（i）e尚，+欧2（工%-卢所以=（我才卬+5群2乂少2卬+中20拓2,）=X=2I 曲|2 十 I 的|2+2必32cos号(E1-E2)i(b)H-|C1|2El+(c)/=igHeIC2|2E2=y(E1+E2)(d)=(H-H)21=正一中后=(匕E2)16(e)由可以求出周期p.(Ei-E2)r=2tt,r=式-n 匕1 一22特征时间3二瓦所以E 1二世方2A3设粒子处于半壁无限高的势场中产，X 0,V（r）=1jV（）,0 X a,求粒子能量本征值，以及至少存在一条束缚能级的条件.解答 参见量子力学，卷I,9497页，例1,有详细解答.,2.14求不对称势阱（见下图）中粒子的能量本征值.解（以下限于）讨论离散能级，即EV2情况,这时,Schrddingcr方程为2m(V(x)-E)考虑到束缚态才)的边条件 8,-0,以工)可表示为($/2(VT-E)4一产，z0,k-卡-0 Asin(船r+6),0 jt a 9 k2=-奉-由.在1=0和a处的连续条件,得出k=kcolS,卜？二 一 ket(ka+B)（1）式等价于sin台Kk/（,sin（初十台）=林/12力匕 从（2）式中的两式消去3得ka 二 虱穴一arcsin5V2mV：arcsin=1,2,3,当V2f匕时，并不是任何条件下都有束缚态,由（3）式可知，仅当 a J2m/方 n/2-arcsinAV/Vi时才有束缚态解,如能从（3）式求出k的可能取值七，则相应的能量本征值为En=铲氏孑/2/w此题的详细讨论和解答，可以参阅Landau&amp;Lifshitz,Quantum Mechanics,Non-relativistic Theory 22,pp6566*2.15设谐振子初态为与基态相同的Gauss波包，但波包中心不在工=0 点,而是在=No点，（1，0）=5（工-N0）=乜已一。2c=J mo）/五7T计算Mm）；（2）讨论波包中心的运动规律，与经典谐振子比较，考虑波包形状（波包宽度 1）是否随时间改变？试与自由粒子的Gauss波包随时间的演化比较.此题的详细讨论和解答可以在量子力学，卷U,128131页中找到.答案“（1工）=噌+生*1!*应谈）式中-=azoI欧（彳,）在=ea 为也4）/tt这是一随时间振荡的波包，在振荡过程中波包不扩散，波形不变，只是波包中 心随时间作周期性振荡.*2.16对于一维粒子，证明:使坐标勺动量不确定度之积取最小值力=方/2的波包必为Gauss型波包中（工）8寸“,详细证明见,L.L Schiff,Quantum Mechanics，（第 3 版）61 62 页.18 第3章 力学量用算符表达3.1设A与B为厄米算符，则(AB+期)和3AB 一期)也是厄米算符 2 21由此证明:任何一个算符F均可分解为F=F.+IF-,F十二J(F+F+),F_=(尸一 F*),2 21F+与F_均为厄米算符，证明因为A+=A,B+=B,所以-1(AB+BA)+弓(B3+A)=(BA+A8)=；(AB+BA)1 1+1 1 1(AB-a4)+-L 21 Zi 2j 2i郎:(AB+BA)和白(AB-BA)均为厄米算符.2 2iF F 1 1F=y+y=y(F+)+(F-F+)=Ft+LF-而F+与F_显然均为厄米算符.3.2已知粒子的坐标r和动量p为厄米算符,判断下列算符是否为厄米算 符:1=rXp,lp,p x/,r x I.如果不是，试构造相应的厄米算符.解对于，=r X p,有4=ypz 一 叭，；=(必 一 Np)卜=/；之+)=(pj 力产)=N _ Zpy-iX 同理广=L 广=l 所以二rxp=l+是厄米算符.对于rp,有(r p)+=(工Px+ypy+肛=/柒+力;？十力;第十 19=力丁+Pyy+P遥 W 血+ypy+zpz所以rp不是厄米算符.而（r，p）p，r=pb+%y+/户=Gp.、-i 无）+ypy-i 方十（n九-i 方）二 rp-3i方相应的厄米算符为：,p+pr=rp-3i方/2.类似有（p X D =-（，X P）,本身非厄米算符,但可以构造相应的厄米算符如下:pX/）-（Exp）=pXET 初（参见 3.8 题）（,x 1）+=一（I x,本身也非厄米算符,但可以构造相应的厄米算符如下；（rX，）-（X，）l=/Xj-i 方r3.3设F(i,2)是1和力的整函数，证明1 a -I aF=-i 方丁 F,x,F=i7TF or dp整函数是指F(na)可以展开成ooFG*)=S CnPTn,rt 0证明利用，/=mi笈制一1,w,=刀方T8 oaH=、Ce(-i 方)n=0 03 Cy d=-i方丁 L Cm/附=-i左丁9d.T m“=o ox类似可证明 x,F=iF.3.4 定义反对易式A,B十三A8+BA.证明AB,C=AB,C+-A,C.B,A,BC1=A,川,C-BA,CL 证明AB,C=ABC-CABAE,C+-A,C+B=ARC+ACB-ACB-CAB=ABC-CAB 所以AB-十一 类似A,HC：=ABC-BCA 20 A,B.C-B A,C+=ABC+BAC-BAC-BCA 二 ABC-BCA所以 4BC=A,B+C-BA,C+3.5 设A、B、C为矢量算符,A和8的标积和矢积定义为A*B-XAA，(A X 月3a 中a甲、7分别取为1、y、n,*为Levi-Civita符号.试验证A (B X C)=(A X E)C=及Cy咐A x(B x C)L=A(从C)-(A B)Cq(A XB)x=A (BOC)-4(5 C)证明见量子力学习题精选与剖析上,4.1题.3.6 设A与B为矢量算符,F为标量算符.证明F,AB=F,AB+F,A X5=F,AXB+A xF,m 证明见量子力学习题精选与剖析上,4.2题.3.7 设F是由r与p的整函数算符,证明 HF HFI,F =i 7T x p i 方r X 丁dp 3r证明见量子力学习题精选与剖析上,4.3题.3.8 证明 px+xp=2i 初i 五(pX-Xp)=产,口 证明见量子力学习题精选与剖析上,4.6题.3.9 计算户解利用代数恒等式4,。=4，5,。+,。,4,可得 立夕“/,/】二*十炉,户“工小户X 2=5/，汽v 2=jclymzr22-V2r2=(r2V2-V2r2)(OTzn)-x(r2V2-V2r2)+户工2ym 2zn 2(/(/l)y2z2+m(m-l)x2z2+(九一 l)x2,y2)21/丹2,2-/二勺好(相工+十)-2jclymzn(2l+2m+2n+3)少”(9小+/弋+TA)-4*t2r2Tlymzn(-+吗+二?)一 fy%？2rr d y oy z f+W(6+4(工十捺+z给+户 Lx2m 2 2m 2按不确定度关系所以(Ar)2*(dp)?2-1一方一8m（Ax尸+mo2(Zkr)2/r.22.它取极小值的条件为由此得出（A%）2=-（4）2ma）用此值代人（3）式，可知-1 E-no）所以谐振子基态能量3.12证明在离散的能量本征态下动量平均值为零.证明体系的Hamilton量为H 二4+V（r）Lmr,H=iVfEL 2m J m 即P=对于束缚态,能量本征值是离散的，本征波函数中满足班工 E3,并且可以归一化,（明”）=1,所以p=（5，W）/（3,5）=（一屈）=-学=一 半（力HW）-（3,HR）=一平（出田3）-（“3皿）=半Er-r=03.13证明力学量工与F（力）的不确定度关系V（Aj;）2（）5|-|2|叶工以Hamilton量H=+V（r）为例，结合3.12题进行讨论.证明按量子力学教程3.3节,不确定度关系（8）,并利用（参见3.3题）23 w,F=i 方第 dPx可以得出3.14证明在lz的本征态下乙=4=0.证明假设必是心的本征态，相应的本征值是m K,1M=m月%,根据角动量的 对易关系,lylz-lzly=i方心可得7r=2Jz-ly）巾md工=卜火珈丘-卜打必总工=jl w*Zmdx-J（lz（pm）*l）m dx J=rnnly _ q=01 fl类似，利用/&amp;-/=1方仆，可以证明占=0.3.15设粒子处于Y晶状态下，求西*和，醺汽解Y 1m(6,喻是尸及的本征函数，即尸Y版(九中)=2(2+1)方2丫加“，),3(4)由此可求出其本征值和本征态如下：2方，五,0,一方，2方1、1111，210-1-27布1，201 71-,/为，1，20，7石2-10-1-2、1,、一L、1 11，Yzo态按这5个本征态展开的系数分别为-布/4,0,-，2/8,0/6/4.所以在c2Y20态下，测量I工得2万，万，0,-方，-2方的概率分别为2|c2fSo,&amp;匕0,8 4d|C2|2.而在0=QYn+C2丫加态下测量得Zr的可能值和概率分别为 oI工 2五，五,0,一2方概率心巴1lcj2+|ci|2,4cli 1心产 o 4 Z 4 4 o3.17 算符 A 与B 不对易，A,B=C,但C,A=C,B=0.证明eA+B=eAeBe2C=eBeAe2C（Baker-Hausdorff 公式）（对于A与8对易情况，即。=0,显然/”=eA 阴=n）证明见量子力学习题精选与剖析下,3.7题.3.18 设A与B是两个不对易的算符,。为一个参数，证明2efv 一 一一 qa,B+A/4,*+证明见量子力学习题精选与剖析下,3.5题.26 第4章 力学量随时间的演化与对称性4.1判断下列提法的正误：(正确O,错误x)(a)在非定态下,力学量的平均值随时间变化“X)(b)设体系处于定态，则不含时力学量的测值的概率分布不随时间变化;(O)(c)设Hamilton量为守恒量，则体系处于定态；(X)(d)中心力场中的粒子，处于定态,则角动量取确定值;(X)(e)自由粒子处于定态，则动量取确定值;(X)(f)一维粒子的能量本征态无简并;(x)(g)中心力场中的粒子能级的简并度至少为(2/+1),=0,1,2,.(O)4.2 设体系有两个粒子，每个粒子可处于三个单粒子态中1 中3中的任何 一个态.试求体系可能态的数目，分三种情况讨论:3)两个全同Bo次子；(b)两个 全同Fermi子；(c)两个不同粒子.解答与分析见量子力学习题精选与剖析下.1题.4.3 设体系由3个粒子组成，每个粒子可能处于3个单粒子态(白，心和 p3)中任何一个态,分析体系的可能态的数目，分三种情况：(a)不计及波函数的交换对称性；(b)要求波函数对于交换是反对称；(c)要求波函数对于交换是对称.试问：对称态和反对称态的总数为多少？与(a)的结果是否相同？对此做出说 明.解(a)不计及波函数的交换对称性，其可能态的数目为33=27；(b)要求波函数对于交换是反对称的，其可能态的数目为1;(c)要求波函数对于交换是对称的，其可能态的数目为1+6+3=10(参见量 子力学教程4.5.4节,94页的例题).对称态和反对称态的总数=10+1=11,而不计及交换对称性的量子态的数目27（即（a）的结果）为27,两者并不相同.原因在于全同粒子的交换对称性对量子态的 限制所造成.4.4 设力学量A不显含上，H为体系的Hamilton量，证明一方证明对于不显含的力学量A,有考-A=A,H上式两边再对2求导，则有崇万二 V/方if Wa,h,h=-表A 即4.5 设力学量A不显含Z,证明在束缚定态下证明定态0是能量本征态，满足 叫=3.对于束缚态，是可以归一化的，即（取有限值.而对于不显含t的力学量A,峪一步仄 因此=（氏4H）-（”,HA族）/（欧，3）=一（H3，A3）/（3,5）=黄r4-A/（wM=028-4.6 Dr（a）=exp-品=exp-泣九布表示沿x方向平移距离。的算符.证明下列形式波函数（Bloch波函数）：“（卫）=户外（2），队（%+a）=做工）是。式a）的本征态，相应本征值为6一.证明利用exp-a 等;政（工）=-G）可得D（a）（p（x）-exp-a 欧（工）=叭工-a）而对于形式为“（G=Q%（i）M（x+a）=5MZ）的波函数-a）-泗，-“，队（1-a）=,一屹亡限为（卫）-e-,Aa0（r）所以QG”（G=e一血奴了），即做工）是&amp;（a）的本征态,相应本征值为e S4.7 设体系的束缚能级和归一化能量本征态分别为和羽为标记包含 Hamilton量H在内的力学量完全集的本征态的一组好量子数.设H含有一个参 数入，证明符川部）此即 Feynman-Hellmann 定理.证明见量子力学习题精选与剖析下,5.1题.4,8 设包含Hamilton量H在内的一组守恒量完全集的共同本征态和本征 值分别为露和E71H为一组完备好量子数.证明，力学量（算符）F随时间的变 化，在此能量表象中裹示为（笑）加，=is Fs，3肃=（E 一 E.）/方，证明见量子力学习题精选与剖析下,2.1题.4.9 设Hamilton量H=铲&amp;l+V（r）,证明下列求和规则：一 Em）|l皿|2 二方2工是r的一个分量，2是对一切能量本征态求和,七是相应于态的能量本征 R值，29 H|n）=En.提示 计算*J,*,并求（自求证明见量子力学习题精选与剖析下,2.2题.4.10 设F（r,p）为厄米算符，证明在能量表象中的求和规则（J-项）I F.I2=（k I尸k）证明见填城力学习题精选与剖析下24题.-30.第5章中心力场5.1利用量子力学教程5.1.3节中式（17）,（18）,证明下列关系:相对动量P=二卷（m2Pl-啊口2）总动量 P-MR=pi+p2总轨道角动量 L=!+12=QMpi+r2Xp2=RxP+，Xp总动能t=L+.更L=L+叱心到1 2切i 2切2 2M 2反之，有r1=R+-仁r,r2 R-r m、m 2PLP+P，P2 二匹 P-P以上各式中，54=帆1+m2，M=承1根2/（加1+加2）证明利用R二-舞/=2,以及M和的定义，可得出._ 加1啊/.、_-2（-L）一 根1（=2：2）_ m必 一 HP2加1+m2 门 2 M MP=倔=M”土著“/】十 m2r2=pi+P2R x P 卜rxp=r阳口+加 2/2/、/、1/、X（P1+P2）+（F 一2）X 而（m2Pl-7几 1P2）=（5 1+7n2）口 X Pl+（W+rn2）r2 X p2=rt X pt 1-r2 X p2所以L=/i+/2=ri x p2+r2 x P2=RxP+rXP_fL+/=（Pi+Pz）.2M 2M 2（啊+m2）+机2 1/、2可荷丁高1嬴/_2Pl 一 2）12（m 卜7町）产-产M+（勺周 31 因而-pL+-pL 2m i 2m2Pl.P2 P?p2-+11 -1-2m 2m2 2M 2q mxr+m2r2 mxm2/K+=-+-7-7-TS 一 万)二 口m 1 m 1 4 m2 mm+m2)a mm2,、1/、+p=-2（啊十百（小+2）+四+一（|叫2）=pi类似有_ u aR-r=r2,P-p=02m2 m所以r=R+-r,Pl：P+P，m2P2=P-my5.2 同上题，求坐标表象中p、P和L的算符表示式p=-i 方 V-P=-r,L=R xP+rX p解-i方 i方(粤Vr 十 r)=一 i方N r-r dr ri dr 2/L m 1 m?2 J,J m?吗 1 d _-21 m+m2 啊+m2 r2/MI M P2-&amp;=一1为。+，2)=1方母。+7=Pl+P2=PL=RxP+rXp=R x+r X(-i7TVr)a a=-i 方R X-i 方，X JR dr5.3 利用氢原子能级公式，讨论下列体系的能谱：（a）电子偶素（positronium,指e-e-束缚体系）；（b）m原子（muonic atom）,指平常原子中有一个电子被一个厂粒子代替;（c）产子偶索（muonium,指丛十平一束缚体系）.32 解(a)由于正负电子的质量均为m电子偶素的约化质量为1二一十一 二工明此体系的能谱为6=后几=-同T=-f基T=T&amp;1,2,3,乙。n n n 4 7?n(b)K原子中子质量为%,207型已,原子核的质量为M,而约化质量为mflM 207 mu I M 1+207me/M r 七体系的能谱为口 二，2 _ 1 _ 理 4 1七一%-2a M 2产几(c)设丛子质量为根心则日子偶素的约化质量为=/相仪体系的能谱为F=E _上工=_俾4上=_小尸不上 二123 匕 k 2a n2 2 方2 M 4方2 川1，3,概括起来,如采用自然单位(能量自然单位是 声片2),则这几个体系的能级 公式都与氢原子相同,即玛=-1Z2M,但每个体系的约化质量不同.按能量自 然单位或按约化质量p的大小，其顺序如下电子偶素 氢原子 R子偶素 R原子1 me J im 207匹2 阳 1+1/1840 匹 2加广13,32 1+207 we/M5 4 对于氢原子基态,计算 最5解氢原子基态波函数为Mop=.考虑到氢原子波函数具有空间旋转和空间反射不变性，必有r=0,p=0而r2=J/x）厂23100dp一%rsinJd&amp;d 督d 厂TtaJ。Jo Jo.33-3a2（a-方2/产2,改如半径）对氢原子（Coulomb势），按位力定理（见量子力学教程,80页，练习题），动 能平均值T=-势能平均值），而对于能量本征态,E=T+，由此可得 T=-E.对于氢原子基态因此由氢原子基态波函数（1=0）的球对称性，有-2 _-2 _ _2 _ i _2 _ 2/_ 不 _ 力2 _ J_ 胃_正所以55 对于氢原子基态,求电子处于经典禁区（厂2）（即E-V0区域）的 概率.解氢原子基态波函数为加二小小a=卞/储是Bohr半径.基态能量E1-线y二-,而V（r）=,2 力 2a r（E1-V）0区域相当于厂2a，此即经典力学所不允许的区域.因此处于经典禁 区的概率为f2jr 兀 凶 1P-do sin8d8 产丁2%尸=13e 4=0.238Jo Jo J 2a na5.6 对子类氢原子（核电荷Ze）的“圆轨道”（指2=0,即/=九-1的轨道）,计算（a）最概然半径；（答:（b）平均半径;（答:厂小=（2fZ2）0/Z）（c）涨落=尸-广）21/2（答:卜毋+q_）a/z）详细计算，见量子力学习题精选与剖析上,5.17题.345.7 按(5.1)节，式(8),中心力场V(厂)中的粒子的径向方程可以写成 H必(r)=功(,)H/+v(r)+Mt；1?左22 dL 2部产利用Feynman-Hdlmann定理(见4.7题)，证明对于处在能量本征态下的三维各向 同性谐振子，有产)即=/+1.(岩)/M=(N+3/2)7t/s 证明，见量子力学，卷I,6.5节,343页，式(24).5.8 对于类氢原子(核电荷为勿)，计算处于束缚态以仙下的电子的厂 和厂之.提示 分别利用位力定理和Feynman-Hei Iman n定理(见习题4.3题).分析与解答见量子力学习题精选与剖析上,5.8题.答案厂 一1=Z/Ma,a=方232(反卜半径)，/一2+1/2)兀32、5.9设碱金属原子中的价电子所受原子实(原子核十满壳电子)的作用近 似表为2 2V(r)=-7-入(0 +1),解出厂1 r Q1/=+”囱一岛72 1答案 能级可表成=一 V一，/=七+r+=.对于乙a n之1,可令/=/+/,七一 A/(Z+1/2)1E，*El(:/可=123,*5,10 设质子(自旋为方/2)处于三维各向同性谐振子势中，能级En=3+3)礴，简并度(计及自旋)条=(+1)。可+2).(a)利用位力定理，求第N壳的质子的厂2的平均值；(b)设质子按Pauli原理从N=0壳开始一直填满第N=K壳,求质子总数以 及户的平均值。2；.35(c)设质子总数为Z,试求与Z的函数关系.分析与解答见量子力学习题精选与剖析下,7.24题.5.11 仿照5.3节,在直角坐标系中求解二维各向同性谐振子的能级和简并 度，与三维各向同性谐振子比较.分析与解答见量子力学习题精选与剖析上,3.9题.答案 En=(N+1)友3,N=%+叼，叼，N=0,1,2,，简并度为=(N+1),二维与三维谐振子的能级都是均匀分布,但简并度不同(三维情况)Jn=y(N+l)(N+2)5.12 二维谐振子势V(x mcojc2+当咏/氏设为/%=12求能级的分布和简并度.能级是否均匀分布？简并度有何规律？分析与解答见量子力学习题精选与剖析下,74题.答案_ 3=彳En=/(N+等)痴0,N=叼+2ny,九 n,九 y 9 N 卬。=3%能级简并度为久工NZ2+l,N=0,2,4(N+1)2N=1,3,5,*5.13 分析二维Coulomb引力势(自然单位)V(p)=-1/p中电子的能级 分布和简并度，与三维情况比较、详细分析及解答见量子力学，卷I,6.6,1节,345347页.答案&amp;=-14层(原子单位)，n=np+m I+1/2 1/2,3/2,5一.如，I m I=0,1,2,</p>