高中数学公式柯西不等式.doc

第一课时 3.1 二维形式的柯西不等式（一）
2. 练习：已知a、b、c、d为实数，求证
① 提出定理1：若a、b、c、d为实数，则.
证法一：（比较法）=….=
证法二：（综合法）
. （要点：展开→配方）
证法三：（向量法）设向量，，则，.
∵ ，且，则. ∴ …..
证法四：（函数法）设，则
≥0恒成立.
∴ ≤0，即…..
③二维形式的柯西不等式的一些变式：
或 或.
④ 提出定理2：设是两个向量，则.
即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ）
→ 讨论：上面时候等号成立？（是零向量，或者共线）
⑤ 练习：已知a、b、c、d为实数，求证.
证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形）
2. 教学三角不等式：
① 出示定理3：设，则.
分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明
→ 变式：若，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？
3. 小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）

第二课时 3.1 二维形式的柯西不等式（二）
教学过程：
；
3. 如何利用二维柯西不等式求函数的最大值?
要点：利用变式.
二、讲授新课：
1. 教学最大（小）值：
① 出示例1：求函数的最大值？
分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演
→ 变式： → 推广：
② 练习：已知，求的最小值.
解答要点：（凑配法）.
2. 教学不等式的证明：
① 出示例2：若，，求证：.
分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造）
要点：…
讨论：其它证法（利用基本不等式）
② 练习：已知、，求证：.
3. 练习：
① 已知，且，则的最小值.
要点：…. → 其它证法
② 若，且，求的最小值. （要点：利用三维柯西不等式）
变式：若，且，求的最大值.
第三课时 3.2 一般形式的柯西不等式
2. 提问：二维形式的柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？
答案：；
二、讲授新课：
1. 教学一般形式的柯西不等式：
① 提问：由平面向量的柯西不等式，如果得到空间向量的柯西不等式及代数形式？
② 猜想：n维向量的坐标？n维向量的柯西不等式及代数形式？
结论：设，则

讨论：什么时候取等号？（当且仅当时取等号，假设）
联想：设，，，则有，可联想到一些什么？
③ 讨论：如何构造二次函数证明n维形式的柯西不等式？ （注意分类）
要点：令 ，则
.
又，从而结合二次函数的图像可知，
≤0
即有要证明的结论成立. （注意：分析什么时候等号成立.）
④ 变式：. （讨论如何证明）
2. 教学柯西不等式的应用：
① 出示例1：已知，求的最小值.
分析：如何变形后构造柯西不等式？ → 板演 → 变式：
② 练习：若，且，求的最小值.
③ 出示例2：若>>，求证：.
要点：
② 提出排序不等式（即排序原理）：
设有两个有序实数组:···;···.···是，···的任一排列,则有
···+ (同序和)
+···+ (乱序和)
+···+ (反序和)
当且仅当···=或···=时，反序和等于同序和.
（要点：理解其思想，记住其形式）
2. 教学排序不等式的应用：
① 出示例1：设是n个互不相同的正整数，求证：
.
分析：如何构造有序排列？ 如何运用套用排序不等式？
证明过程：
设是的一个排列，且，则.
又，由排序不等式，得
…
小结：分析目标，构造有序排列.
② 练习：
已知为正数，求证：.
解答要点：由对称性，假设，则，
于是 ，，
两式相加即得.