2022-2023学年广东省广州市黄埔区七年级（下）期末数学试卷（含答案）.docx

2
022-2023 学年广东省广州市黄埔区七年级（下）期末数学试卷（A 卷）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一一项是符
合题目要求的）
1
2
3
．（3 分）下列各数是无理数的是（ꢀꢀ）
A． B．
．（3 分）已知 a＜b，下列不等式变形中正确的是（ꢀꢀ）
A．a﹣2＜b﹣2 B．﹣2a＜﹣2b C．3a+1＞3b+1
．（3 分）如图，∠1 和∠2 不是同位角的是（ꢀꢀ）
C．0
D．
D．
A．
B．
C．
D．
4
5
．（3 分）下列各方程是二元一次方程的是（ꢀꢀ）
A．a+ab＝10 B．2xy＝3 C．x﹣y＝22
．（3 分）下面调查方式中，合适的是（ꢀꢀ）
D．
A．调查你所在班级同学的身高，采用抽样调查方式
B．调查长江的水质情况，采用抽样调查的方式
C．调查某栏目的收视率，采用全面调查的方式
D．要了解全市初中学生的业余爱好，采用全面调查的方式
6
7
．（3 分）已知点 A 在第二象限，它到 x 轴的距离是 3，到 y 轴的距离是 2，则点 A 的坐标为（ꢀꢀ）
A．（﹣3，2）
B．（﹣2，3）
C．（3，﹣2）
D．（2，﹣3）
．（3 分）方程组
的解为
，则被遮盖的两个数⊗、△分别是（ꢀꢀ）
A．2，1
B．2，3
C．5，1
D．5，4
第 1 页（共 20 页）

8
9
．（3 分）下列计算中正确的是（ꢀꢀ）
A． B．
．（3 分）如图，AB∥CD，OE 平分∠BOC，OF 平分∠BOD，OP⊥CD，则下列结论：
C．
D．
①
②
③
④
⑤
∠BPO＝90°；
OF⊥OE；
∠BOE＝2∠BOD；
∠POE＝∠BOF；
∠ABO＝2∠POE．
其中正确结论有（ꢀꢀ）
A．5 个
0．（3 分）如图，动点 P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点 O 运动到点 P1
1，1），第二次从点 P 运动到点 P （2，0），第三次从点 P 运动到点 P （3，﹣2），…，按这样的运
B．4 个
C．3 个
D．2 个
1
（
1
2
2
3
动 规 律 ， 第 2023 次 从 点 P2022 运 动 到 点 P2023 后 ， 此 时 点 P2023 的 坐 标 是 （ ꢀ ꢀ ） .
A．（2023，1）
B．（2023，2）
C．（2023，﹣2）
D．（2023，0）
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分.）
1
1
1．（3 分）121 的平方根是ꢀ
ꢀ．
2．（3 分）如图，若∠1＝∠2，∠3＝44 度，则∠4＝ꢀ
ꢀ度．
第 2 页（共 20 页）

1
3．（3 分）如图为某天参观文化馆的学生人数统计图，则图中代表小学生的扇形圆心角度数是 ꢀ
ꢀ
度．
1
4．（3 分）已知关于 x，y 的二元一次方程组
5．（3 分）若不等式（a﹣3）x＞a﹣3 可以变形为 x＜1，则 a 的取值范围是 ꢀ
6．（3 分）[a]表示不大于 a 的最大整数，例如[﹣2.3]＝﹣3，[2.5]＝2，[3]＝3，那么方程[2x+1]＝3x﹣1 的
解是 ꢀ ꢀ．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
，则 x+y＝ꢀ
ꢀ．
1
1
ꢀ．
1
7．（4 分）解方程组：
；
1
1
8．（4 分）计算：
．
9．（6 分）已知△ABC 三个顶点的坐标是 A（﹣1，2），B（﹣3，1），C（0，﹣1），将△ABC 先向右平移
个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，得到△A'B'C'．
3
（
（
1）请画出平移后的图形△A'B'C'；
2）请直接写出点 A′，B′，C′的坐标．
第 3 页（共 20 页）

2
0．（6 分）某校为调查七年级学生一分钟踢毽子的水平，在七年级随机抽取了若干名学生并统计他们一分
钟踢毽子的次数，调查结果记录如下（单位：次）：
4
4
5
6
5，20，23，52，38，37，36，39，11，45
9，41，88，42，43，46，50，52，53，53
8，70，57，57，22，60，67，68，68，61
9，69，57，71，76，79，42，87，83，91
（
（
1）如图是根据上述数据绘制的不完整的频数分布直方图，请补全直方图：
2）若规定一分钟踢毽子 60 次以上（不含 60 次）为优秀，该校七年级总人数为 320 人，请你估计该
年级有多少学生一分钟踢毽子的次数达到优秀水平．
2
1．（8 分）已知：如图，BCE 和 AFE 是直线，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AD∥BE．
证明：∵AB∥CD，
∴
∵
∴
∵
∠4＝∠ꢀ
∠3＝∠4，
∠3＝ꢀ
ꢀ（ ꢀ
ꢀ）．
ꢀ（ ꢀ
ꢀ）．
∠1＝∠2，
第 4 页（共 20 页）

∴
∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF（ ꢀ
即∠BAF＝∠ꢀ ꢀ．
ꢀ．
ꢀ），
∴
∴
∠3＝∠ꢀ
AD∥BE（ ꢀ
ꢀ）．
2
2
2．（10 分）某商店销售一批跑步机，第一个月以 5000 元/台的价格售出 20 台，第二个月起降价，以 4500
元/台的价格将这批跑步机全部售出销售总额超过 35 万元．这批跑步机最少有多少台？
3．（10 分）如图，在直角坐标系中，将线段 OC 平移至 AB，已知 A（3，0），B（4，3），连接 CB，点 D
在射线 OA 上移动（不与点 O、A 重合）．
（
（
1）直接写出点 C 的坐标；
2）点 D 在运动过程中，是否存在△ABD 的面积等于 3．
2
4．（12 分）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人 1
台，乙型机器人 2 台，共需 7 万元；购买甲型机器人 2 台，乙型机器人 3 台，共需 12 万元．
（
（
1）甲，乙两种型号机器人的单价各多少万元？
2）已知 1 台甲型和 1 台乙型机器人每小时分拣快递的数量分别是 1400 件和 1200 件，该公司计划最
多用 16 万元购买 6 台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人 2 台，如何购买才能使每小时的分
拣量最大？
2
5．（12 分）已知直线 EF 与直线 AB、CD 分别交于 E、F 两点，∠BEF 和∠DFE 的角平分线交于点 P，
且∠BEP+∠DFP＝90°．
第 5 页（共 20 页）

（
（
（
1）求证：AB∥CD；
2）如图 2，∠PEF 和∠PFM 的角平分线交于点 Q，求∠Q 的度数；
3）如图 3，若∠BEP＝60°，延长线段 EP 得射线 EP ，延长线段 FP 得射线 FP ，射线 EP 绕点 E
1
2
1
以每秒 15°的速度逆时针旋转 360°后停止，射线 FP2 绕点 F 以每秒 3°的速度顺时针旋转 180°以后
停止．设它们同时开始旋转，当射线 EP ∥FP 时，求满足条件的 t 的值为多少．
1
2
第 6 页（共 20 页）

2
022-2023 学年广东省广州市黄埔区七年级（下）期末数学试卷（A 卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一一项是符
合题目要求的）
1
．（3 分）下列各数是无理数的是（ꢀꢀ）
A． B．
C．0
D．
【
解答】解：A．
是无理数，故此选项符合题意；
B．
是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；
C．0 是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
D．
，是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
故选：A．
2
．（3 分）已知 a＜b，下列不等式变形中正确的是（ꢀꢀ）
A．a﹣2＜b﹣2 B．﹣2a＜﹣2b C．3a+1＞3b+1
解答】解：A、∵a＜b，
a﹣2＜b﹣2，
D．
【
∴
故 A 符合题意；
B、∵a＜b，
∴
﹣2a＞﹣2b，
故 B 不符合题意；
C、∵a＜b，
∴
∴
3a＜3b，
3a+1＜3b+1，
故 C 不符合题意；
D、∵a＜b，
∴
＜
，
故 D 不符合题意；
故选：A．
3
．（3 分）如图，∠1 和∠2 不是同位角的是（ꢀꢀ）
第 7 页（共 20 页）

A．
B．
C．
D．
【
解答】解：A、∠1 和∠2 是同位角，故此选项不符合题意；
B、∠1 和∠2 是同位角，故此选项不符合题意；
C、∠1 和∠2 是同位角，故此选项不符合题意；
D、∠1 和∠2 不是同位角，故此选项符合题意；
故选：D．
4
．（3 分）下列各方程是二元一次方程的是（ꢀꢀ）
A．a+ab＝10
B．2xy＝3
C．x﹣y＝22
D．
【
解答】解：A．方程是二元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B．方程是二元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
C．x﹣y＝22，
x﹣y＝4，方程是二元一次方程，故本选项符合题意；
D．方程是分式方程，不是整式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
5
．（3 分）下面调查方式中，合适的是（ꢀꢀ）
A．调查你所在班级同学的身高，采用抽样调查方式
B．调查长江的水质情况，采用抽样调查的方式
C．调查某栏目的收视率，采用全面调查的方式
D．要了解全市初中学生的业余爱好，采用全面调查的方式
【
解答】解：A、调查你所在班级同学的身高，宜采用普查，故 A 不符合题意；
B、调查湘江的水质情况，宜采用抽样调查的方式，故 B 符合题意；
C、调查某栏目的收视率，宜采用抽样调查，故 C 不符合题意；
第 8 页（共 20 页）

D、要了解全市初中学生的业余爱好，宜采用抽样调查，故 D 不符合题意；
故选：B．
6
．（3 分）已知点 A 在第二象限，它到 x 轴的距离是 3，到 y 轴的距离是 2，则点 A 的坐标为（ꢀꢀ）
A．（﹣3，2）
B．（﹣2，3）
C．（3，﹣2）
D．（2，﹣3）
【
∴
∴
解答】解：∵点 A 在第二象限，到 x 轴的距离是 3，到 y 轴的距离是 2，
点 A 的横坐标是﹣2，纵坐标是 3，
点 A 的坐标为（﹣2，3）．
故选：B．
7
．（3 分）方程组
的解为
，则被遮盖的两个数⊗、△分别是（ꢀꢀ）
A．2，1
B．2，3
C．5，1
D．5，4
【
解答】解：把 x＝2 代入 x+y＝3 中得，y＝1，
把 x＝2，y＝1 代入 2x+y 中得，2×2+1＝5，
⊗表示的数是 5，△表示的数是 1，
∴
故选：C．
8
．（3 分）下列计算中正确的是（ꢀꢀ）
A．
B．
C．
D．
【
∴
解答】解：∵
＝4，
A 选项的运算不正确，不符合题意；
∵
＝|﹣3|＝3，
∴
∵
∴
B 选项的运算不正确，不符合题意；
无意义，
C 选项的运算不正确，不符合题意；
∵
∴
＝﹣
，
D 选项的运算正确，符合题意．
故选：D．
．（3 分）如图，AB∥CD，OE 平分∠BOC，OF 平分∠BOD，OP⊥CD，则下列结论：
9
①∠BPO＝90°；
②OF⊥OE；
第 9 页（共 20 页）

③
④
⑤
∠BOE＝2∠BOD；
∠POE＝∠BOF；
∠ABO＝2∠POE．
其中正确结论有（ꢀꢀ）
A．5 个
B．4 个
C．3 个
D．2 个
【
∴
∴
解答】解：∵OP⊥CD，AB∥CD，
OP⊥AB，
∠OPB＝90°，
故①符合题意；
∵
∴
OE 平分∠BOC，OF 平分∠BOD，
∠BOE＝ ∠BOC，∠BOF＝ ∠BOD，
∵
∴
∠BOC+∠BOD＝180°，
∠EOF＝∠BOE+∠BOF＝ （∠BOC+∠BOD）＝90°，
∴
OE⊥OF，
故②符合题意；
∵
∴
OE 平分∠BOC，
∠COE＝∠BOE，
若∠BOE＝2∠BOD，
∵
∴
∠BOC+∠BOD＝180°，
∠BOD＝36°，
但∠BOD 不一定等于 36°，
∠BOE 不一定等于 2∠BOD，
故③不符合题意；
∴
∵
∴
∴
OP⊥CD，
∠POD＝90°，
∠EOF＝∠POD＝90°，
第 10 页（共 20 页）

∴
∴
∵
∴
∠POE＝90°﹣∠POF，∠DOF＝90°﹣∠POF，
∠POE＝∠DOF，
∠BOF＝∠DOF，
∠POE＝∠BOF；
故④符合题意；
∵
∴
∵
∴
∵
∴
AB∥CD，
∠ABO＝∠BOD
OF 平分∠BOD，
∠BOD＝2∠BOF，
∠POE＝∠BOF，
∠ABO＝2∠POE，
故⑤符合题意．
∴
正确的有 4 个．
故选：B．
1
0．（3 分）如图，动点 P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点 O 运动到点 P1
（
1，1），第二次从点 P 运动到点 P （2，0），第三次从点 P 运动到点 P （3，﹣2），…，按这样的运
1
2
2
3
动 规 律 ， 第 2023 次 从 点 P2022 运 动 到 点 P2023 后 ， 此 时 点 P2023 的 坐 标 是 （ ꢀ ꢀ ） .
A．（2023，1）
B．（2023，2）
C．（2023，﹣2）
D．（2023，0）
【
解答】解：观察图象，动点 P 第一次从原点 O 运动到点 P （1，1），第二次运动到点 P （2，0），第
1
2
三次运动到 P （3，﹣2），第四次运动到 P （4，0），第五次运动到 P （5，2），第六次运动到 P （6，
3
4
5
6
第 11 页（共 20 页）

0
），…，结合运动后的点的坐标特点，
可知由图象可得纵坐标每 6 次运动组成一个循环：1，0，﹣2，0，2，0；
∵
∴
2023÷6＝337……1，
经过第 2023 次运动后，动点 P 的横坐标为 2023，纵坐标是 1，
即：P2023（2023，1），
故选：A．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分.）
1
1．（3 分）121 的平方根是ꢀ±11ꢀ．
【
∴
解答】解：∵（±11）2＝121，
121 的平方根是±11．
故答案为：±11．
1
2．（3 分）如图，若∠1＝∠2，∠3＝44 度，则∠4＝ꢀ136ꢀ度．
【
解答】解：如图：
∵
∴
∴
∵
∴
∠1＝∠2，
a∥b，
∠3+∠4＝180°，
∠3＝44°，
∠4＝180°﹣∠3＝136°，
故答案为：136．
第 12 页（共 20 页）

1
3．（3 分）如图为某天参观文化馆的学生人数统计图，则图中代表小学生的扇形圆心角度数是 ꢀ126ꢀ
度．
【
解答】解：图中代表小学生的扇形圆心角度数是：360°×35%＝126°，
故答案为：126．
1
4．（3 分）已知关于 x，y 的二元一次方程组
，则 x+y＝ꢀ1ꢀ．
【
解答】解：
+②得：4x+4y＝4，
，
①
则 x+y＝1．
故答案为：1．
1
5．（3 分）若不等式（a﹣3）x＞a﹣3 可以变形为 x＜1，则 a 的取值范围是 ꢀa＜3ꢀ．
【
∴
解答】解：∵不等式（a﹣3）x＞a﹣3 可以变形为 x＜1，
a﹣3＜0，
解得：a＜3，
故答案为：a＜3．
1
6．（3 分）[a]表示不大于 a 的最大整数，例如[﹣2.3]＝﹣3，[2.5]＝2，[3]＝3，那么方程[2x+1]＝3x﹣1 的
解是 ꢀx＝ 或 x＝ 或 x＝2ꢀ．
【
∴
∴
∵
∴
解答】解：∵[a]表示不大于 a 的最大整数，
a﹣1＜[a]≤a，
2x＜[2x+1]≤2x+1，
[2x+1]＝3x﹣1，
2x＜3x﹣1≤2x+1，
解得 1＜x≤2，
∴
∵
3＜3x≤6，
[2x+1]表示整数，
第 13 页（共 20 页）

∴
∴
∴
3x 也是整数，
3x 可取 4、5、6，
3x＝4 或 3x＝5 或 3x＝6，
解得：x＝ 或 x＝ 或 x＝2，
故答案为：x＝ 或 x＝ 或 x＝2．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
1
7．（4 分）解方程组：
【解答】解：
；
，
①
×2 得：4x﹣2y＝10③，
+③得：5x＝10，
②
解得：x＝2，
把 x＝2 代入①得：4﹣y＝5，
解得：y＝﹣1，
故原方程组的解是：
．
1
8．（4 分）计算：
．
【
＝
＝
＝
解答】解：原式＝5+4﹣9﹣2
9﹣9﹣2
0﹣2
﹣2．
1
9．（6 分）已知△ABC 三个顶点的坐标是 A（﹣1，2），B（﹣3，1），C（0，﹣1），将△ABC 先向右平移
3
个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，得到△A'B'C'．
（
（
1）请画出平移后的图形△A'B'C'；
2）请直接写出点 A′，B′，C′的坐标．
第 14 页（共 20 页）

【
解答】解：（1）如图，△A'B'C'为所作；
（
2）A′（2，0），B′（0，﹣1），C′（3，﹣3）．
2
0．（6 分）某校为调查七年级学生一分钟踢毽子的水平，在七年级随机抽取了若干名学生并统计他们一分
钟踢毽子的次数，调查结果记录如下（单位：次）：
4
4
5
6
5，20，23，52，38，37，36，39，11，45
9，41，88，42，43，46，50，52，53，53
8，70，57，57，22，60，67，68，68，61
9，69，57，71，76，79，42，87，83，91
（
（
1）如图是根据上述数据绘制的不完整的频数分布直方图，请补全直方图：
2）若规定一分钟踢毽子 60 次以上（不含 60 次）为优秀，该校七年级总人数为 320 人，请你估计该
年级有多少学生一分钟踢毽子的次数达到优秀水平．
第 15 页（共 20 页）

【
解答】解：（1）根据给出的数据可得 60.5～80.5 的人数有 10 人，
补全频数分布直方图如下：
（
2）根据题意得：320×
＝112（人），
答：估计该年级有 112 个学生一分钟踢毽子的次数达到优秀水平．
1．（8 分）已知：如图，BCE 和 AFE 是直线，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AD∥BE．
证明：∵AB∥CD，
2
∴
∵
∴
∵
∴
∠4＝∠ꢀBAFꢀ（ ꢀ两直线平行，同位角相等ꢀ）．
∠3＝∠4，
∠3＝ꢀBAFꢀ（ ꢀ等量代换ꢀ）．
∠1＝∠2，
∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF（ ꢀ等式的性质ꢀ），
即∠BAF＝∠ꢀCADꢀ．
∴
∴
∠3＝∠ꢀCADꢀ．
AD∥BE（ ꢀ内错角相等，两直线平行ꢀ）．
第 16 页（共 20 页）

【
∴
∵
∴
∵
∴
解答】证明：∵AB∥CD（已知），
∠4＝∠BAF（两直线平行，同位角相等），
∠3＝∠4（已知），
∠3＝∠BAF（等量代换），
∠1＝∠2（已知），
∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF（等式的性质），
即∠BAF＝∠CAD，
∴
∴
∠3＝∠CAD（等量代换），
AD∥BE（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：BAF；两直线平行，同位角相等；BAF；等量代换；等式的性质；CAD；CAD；内错角相等，
两直线平行．
2
2．（10 分）某商店销售一批跑步机，第一个月以 5000 元/台的价格售出 20 台，第二个月起降价，以 4500
元/台的价格将这批跑步机全部售出销售总额超过 35 万元．这批跑步机最少有多少台？
【
解答】解：设这批跑步机有 x 台，
根据题意得 5000×20+4500（x﹣20）＞350000，
解得 x＞75.6，
∴
这批跑步机最少有 76 台，
答：这批跑步机最少有 76 台．
2
3．（10 分）如图，在直角坐标系中，将线段 OC 平移至 AB，已知 A（3，0），B（4，3），连接 CB，点 D
在射线 OA 上移动（不与点 O、A 重合）．
（
（
1）直接写出点 C 的坐标；
2）点 D 在运动过程中，是否存在△ABD 的面积等于 3．
第 17 页（共 20 页）

【
∴
∴
（
解答】解：（1）∵A（3，0），B（4，3），将线段 OC 平移至 AB，
OA＝3，BC∥OA，BC＝OA，
点 C（1，3）；
2）存在，
当点 D 在线段 OA 上时，
∴
×AD×3＝3，
∴
∴
AD＝2，
点 D（1，0）；
当点 D 在线段 OA 的延长线上时，
∴
×AD×3＝3，
∴
∴
AD＝2，
点 D（5，0）；
综上所述：点 D 坐标为（1，0）或（5，0）．
2
4．（12 分）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人 1
台，乙型机器人 2 台，共需 7 万元；购买甲型机器人 2 台，乙型机器人 3 台，共需 12 万元．
（
（
1）甲，乙两种型号机器人的单价各多少万元？
2）已知 1 台甲型和 1 台乙型机器人每小时分拣快递的数量分别是 1400 件和 1200 件，该公司计划最
多用 16 万元购买 6 台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人 2 台，如何购买才能使每小时的分
拣量最大？
【
解答】解：（1）设甲型机器人的单价是 x 万元，乙型机器人的单价是 y 万元，
依题意得：
解得：
，
．
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答：甲型机器人的单价是 3 万元，乙型机器人的单价是 2 万元．
（2）设购买甲型机器人 m 台，则购买乙型机器人（6﹣m）台，
依题意得：
，
解得：2≤m≤4．
设 6 台机器人每小时的分拣量为 w，则 w＝1400m+1200（6﹣m）＝200m+7200，
∵
∴
∴
∴
200＞0，
w 随 m 的增大而增大，
当 m＝4 时，w 取得最大值，此时 6﹣m＝6﹣4＝2，
购进甲型机器人 4 台，乙型机器人 2 台时，分拣量最大．
2
5．（12 分）已知直线 EF 与直线 AB、CD 分别交于 E、F 两点，∠BEF 和∠DFE 的角平分线交于点 P，
且∠BEP+∠DFP＝90°．
（
（
（
1）求证：AB∥CD；
2）如图 2，∠PEF 和∠PFM 的角平分线交于点 Q，求∠Q 的度数；
3）如图 3，若∠BEP＝60°，延长线段 EP 得射线 EP ，延长线段 FP 得射线 FP ，射线 EP 绕点 E
1
2
1
以每秒 15°的速度逆时针旋转 360°后停止，射线 FP2 绕点 F 以每秒 3°的速度顺时针旋转 180°以后
停止．设它们同时开始旋转，当射线 EP ∥FP 时，求满足条件的 t 的值为多少．
1
2
【
∴
∴
∴
（
∴
解答】解：（1）∵∠BEF 和∠DFE 的角平分线交于点 P，
∠EBF＝2∠BEP，∠DFE＝2∠DFP，
∠EBF+∠DFE＝2（∠BEP+∠DFP）＝2×90°＝180°，
AB∥CD．
2）∵∠BEP+∠DFP＝90°，又 AB∥CD．
∠P＝180﹣（∠PEF+∠PFE）＝180°﹣（∠BEP+∠DFP）＝90°，
由外角性质得：∠Q＝∠MFQ﹣∠MEQ
＝
∠MFP﹣ ∠MEP
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＝
＝
（∠MFP﹣∠MEP）
，
∵
∴
∠P＝90°，
∠Q＝
＝45°．
（
3）当 FP 在 EF 右侧时，EP ∥FP 时，∠P EF+∠EFP ＝180°，
2
1
2
1
2
根据题意可知：∠P1EF＝15t+60°，∠EFP2＝3t+30°，
∴15t+60°+3t+30°＝180，
解得 t＝5．
当 FP 在 EF 左侧时，EP ∥FP 时，∠P EF+∠EFP ＝180°，
2
1
2
1
2
根据题意可知：∠P1EF＝15t﹣60°，∠EFP2＝3t﹣30°，
∴15t﹣60°+3t﹣30°＝180°，
解得 t＝15．
综上分析，t＝5 或 t＝15 时，EP ∥FP ．
1
2
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