怎样证明一个四边形是梯形.doc

怎样证明一个四边形是梯形？

　　答：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，梯形的定义明确指出，作为一种特殊四边形的梯形，必须具备两个条件，即“一组对边平行”和“另一组对边不平行”，因此判定一个四边形是否是梯形，也必须以是否满足这两个条件为依据，二者缺一不可．
　　证明两线平行的方法比较多，难点是如何判定两线不平行．
　　【例1】已知：如图1在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，A′、B′、C′、D′分别为AO、BO、CO、DO的中点．

　　求证：四边形A′B′C′D′是梯形．
　　分析一：由A′、D′分别是AD、DO的中点，易知A′D′∥AD．
　　由B′、C′分别是BO、CO的中点，易知B′C′∥BC．
　　又AD∥BC，
　　∴A′D′∥B′C′，
　　由A′、B′分别是AO、BO的中点，得A′B′∥AB，
　　由C′、D′分别是CO、DO的中点，得C′D′∥CD，
　　又AB与CD不平行，
　　∴A′B′与C′D′也不平行．
　　综上所述，四边形A′B′C′D是梯形．
　　分析二：本题还可以通过证明A′D′∥B′C′且A′D′≠B′C′来判定四边形A′B′C′D′是梯形，即
　　由A′、D′分别为AO、DO的中点，得

　　由B′，C′分别为BO、CO的中点，得

　　∵AD∥BC且AD≠BC，
　　∴A′D′∥B′C′且A′D′≠B′C′，
　　∴四边形A′B′C′D′是梯形．
　　证明：略．
　　从以上分析中不难看出，证明一个四边形是梯形有两种方法，一种方法是证明四边形的一组对边平行而另一组对边不平行；另一种方法是证明四边形的一组对边平行且不相等，如果在证题过程中忽视了“一组对边不平行”的条件，只由“一组对边平行”来判定四边形是梯形显然是错误的．

　　【例2】 已知：如图2，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，E、F分别为OA、OD的中点．
　　求证：四边形EBCF是等腰梯形．
　　证明：∵E、F分别是OA、OD的中点，
　　∴EF∥AD，
　　又四边形ABCD是矩形，
　　∴AD∥BC，
　　∴EF∥BC，
　　∵E、F分别为OA、OD的中点，

　　又 AD=BC，
　　∴ EF≠BC
　　由 EF∥BC，EF≠BC．得
　　四边形EBCF是梯形，

　　∴ EO=FO，
　　又 ∠1=∠2，BO=OC，
　　∴ △EBO≌△FCO
　　∴ EB=FC，
　　∴ 四边形EBCF是等腰梯形．
　　分析：如果只证明了EF∥BC就判定四边形EBCF是梯形，不符合梯形的定义，应继续证明另一组对边EB与CF不平行，或继续证明EF≠BC都可以判定四边形EBCF是梯形，即
　　证明：略．