数学建模与实验.pdf

教学建模与实验第一章第四节、第五节、第一章教学建模简介第四节教学建模实例第五节教学建模过程第六节教学建模论文写作要点1.4教学建模实例例1.地面上的方桌 在起伏不平的地面上能不能让桌子的四个脚同时着地？假设：L方桌的四条腿等长,8脚连线呈平面正方形ABCD。2.地面的超优是连续变化的。模型:1.如何用教学语言描述“桌子的四个脚同时着 地”？Xa：A与地面的距寓，xB.XC XD正方形ABCD 绕O点旋转2.如何用教学的语言描述让桌子的四脚着地？定住：中心。住于生标原点 移动：桌子围绕中心转动。9：AC与X轴的发 角。/三 e 三 90+90=9p Xa(8)表示在住置。时，桌脚A与地面的距离。同样 Xb(0),xc(0),xD(0).令 f(0)=xA(O)+xc(O)5g(O)=xB(O)+xD(O)则有 f（e）,g（e）连续且 f（e）g（e）三o.桌子在住置e*四脚落地,则有f re*尸o,g(e*)=o.若 f(0o)=O5 g(Oo)O9 则有 f(6i)O,g(0 i)=O 令 h(0)=f(0)-g(0)9 则有 h(0)连续且 h(Oo)0,则根据介值定理,必有0 使得h（e）=o.得证。思考问题：将例1的假设1次为“方案的四条腿等 长，四脚连线呈平面长方形”，我构造教学模型证实结论同样成立0例2管道包扎 问题：用带子包扎管道，使带子全部包 住管道，而用料最堵。假设：1.直圆管,粗细致。2.带子等宽，无弹性。3.带宽小于圆管截面周长。4.为酒工，包扎时不剪断带子.参量、变量：W：带宽，C：截面周长，0：倾斜角 模型（倾斜角模型）SiL O=-U 讨论：1.实用么？2.深刻么？模型（糊口模型）应讨论E 1.实用性E 2.深入分析例 题已知：管长L,管粗C,带宽W,求 带长M?LC I 2 2A4=-+C WwE 若 L=30 m,C=50 cm,W=30 cm血则有M=(30 X 0.5/0 3)+0.4=50.4(m)问题的深入分析 若有带长Mi=51m缠绕包扎上面的管道。多余的60 cm带子不打算裁掉。缠绕时允 许带子互相重叠一部分。应该如何包扎这个管道？（计算结果精确到0.0 0 1）例3：人员疏散建模分析意外事件发生时建筑物内的人员 疏散所用的时间。彳院设 1.单排教室，直走道，个出口。2.人员撤离时，单行、有序、间隔均匀、匀速 地撤出。3.忽略列队的时间和第一个人到达教室门口的 时间。参数人数心教室距寓LkJ1宽D.速度v,间隔d,疏散时间Tk副反印但爱。鱼给包命鱼看的曹r J，模型的建立 丁产(1-1)d+LJ/v T2=(n2-1)d+L1+L2+D)/v T12=(n2-1)d+L1+L2+D)/v,(L2+D)n1d(、+n2-1 Jd+LJ/v,(L2+D)n1d讨 论 1.模型分析：T=(n-l)d+L)/v,v/,则T;d/,贝I TZ.2.多行行进 3.d ,则T.令d=0,贝|有丁=!7丫。疏散时间与人数无关！假设中忽唯了人体的厚度!！修女假设 1.单排教室,直走道，个出口。2.人员撤离时,单行、有序、间隔均匀、匀 速地撤出。3.忽唯列队的时间和第一个人到达教室门口 的时间。4.人体厚度相同w继续讨论 LT=(n-l)d+L)/v,v/5 则T;d/5 则 T/,(n 人).2.多行行进 3.令d=0,则有T=L/v,疏散时间与人数无关！假设中忽嗪了人体的厚度!！4.考虑厚度的影响T=(n-1)d+nw+L)/v?若v-v*,d=O,则 T*=(nw+L)/v*最短 合理吗？%办&星号保爱。畲给包命鱼看的曹,一 一-一-_ 一一 二二二二 _-*CT*一 一 一一 一，一-一 一,继续修改假设 1.单排教室直走道,个出口。2.人员撤离时，单行、有序、间隔均匀、匀速地 撤出。3.忽喙列队的时间和第一个人到达教室门口的时 间。4.人体厚度相同 5.速度与密度有关v=v(dj模型 T=(n-l)d+L)/v(d),其中 v=v(d)应满足 d/，则v/;若 doo,贝1v=v*.若d=0,则v=0.这时存在唯的间隔d*和相应的速度v*,使 得疏散的时间最短.%办&星号保爱。畲给包命鱼看的曹,一 一-一-_ 一一 二二二二 _-*CT*一 一 一一 一，一-一 一,scatterplot72 r-V-0 100 200 300 400 500distance(cm)curve fs-ng?-c=。1。2。0 3。0 4。5。0 6。disfanceom)J 一rJL11V H a d/(b+c d)问题 在上面的讨论中,证明：如果疏散队伍的速度是队列间隔的增函数，则存在有唯一的间隔d*和速度v*,使得疏散的时间最短。如果有n=40 0,L=30 m,w=0.2m5求最优 疏散 万案。%办&星号保爱。畲给包命鱼看的曹,一 一-一-_ _ 一一 二二二二 _-*CT*一 一 一一 一，一-一 一,1.5教学建模过程 问题的叙述：原始、粗糙、不规范。问题的假设：问题的研究手段。问题的分析：正确的推理，对实际的理解。问题的标准：接受实践的检验、与实际差异不大。问题的答案：不确定、不封闭。人人都能做到：哥伦布与鸡蛋 1492年，哥伦布从西班牙出发，历尽千辛万苦发现了美 洲新大陆。1493年，他返回西班牙后，受到了群次的欢 迎和王室的优待，也招致些贵族大臣的妒忌。在一次 宴会上，有人大声宣称：“到那个地方去，没有什么了 不起，只要有船，谁都能去。哥伦布随手在餐桌上拿 起一个熟鸡蛋说：“谁能把鸡蛋竖起来？”许多人试了 又试，都说不可能。哥伦布将鸡蛋壳在桌子上轻轻地能 破了一点，就竖了起来。于是又有人说：“这谁不会？哥伦布说：“在别人没有做之ih 谁都不知怎么做，一 旦别人做了之后，却又认为谁都可以做。”人人都能做到：哥伦布与鸡蛋 这个故事有很深刻的寓意:没有成功，那么 CU仿效别人(2)一次次套试(3)停下来思考4q果(次第次副星部保爱。建模过程流程以人的体重W和身高L：叫JR；帆W(kg)1217223548546675L(cin)86108116135155167178185L、(l/3c/3)6361260156024603724465756406332W/30.01890.01350.01410.01420.01290.01160.01170.0118副反印保爱。可以确信,在相似的几何体中，相应部位的面积与相应部住长度的平方 呈正比；相应部位的体彳只与相应部住长度的立方 呈正比；相应部位的体彳只与相应部住面积的3/2次 方呈正比；Sj=kiLj2,Vi=k2Lj3,结合以上结论，可以有更多的量的比例关余副星即四爱。畲给包命鱼看的曹例4雨谪问题 雨靖越大，打在身上越盛吗？雨靖打在人身上的速度与质量的关系。模型准备：雨的形成，水蒸汽在高空冷却形成 小液谪，组成云，多个小液靖形成 雨谪从云层下落。八(a 1 弋 g HELj 经验中的毛毛细雨和倾盆大雨，一般雨滴 质量越大速度越大。雨谪在空中主要受到两个作用力，重力和空完阻力。根据物理学知识，在同样的重力加速度条件下，重力正比于质量，而空 军阻力正比于物体的表面积和运动递度的tUjj3星印保装。畲给包命畲-工-一，1 4-.t _ *，-二 _，KT _-厂 t dr t称这个极F艮值为t对r的灵敏度，记为S(tj)。对于我们的问题,有 时间与价格的关系t=(7-50 0 r)/(25r)在r=0.0 1附近，t关于r的灵敏度为 S(tj)=(dt/dr)(r/t)=(-280 0)(0.0 1/8)=-3.5 价格变化率降低1%将导致时间延长3.5%时间与增重量的关条t=5(13g-49)/(2g)在g=5附近,t关于g的灵敏度为 S(t,g)=(dt/dg)(g/t)=(4.9)(5/8)=3.0 6增重率增加1%将导致出售时间延长3%2.模型的稳健性一个教学模型称为是稳健的，是指即使这个 模型不完全精确，但其结果仍是可信的。虽然教学模型力求完美，但这是不可能达到 的。一个更确切的说法是教学模型力求接近完美。一个好的教学模型有较好的稳健性，是指虽然它给出的答案并不是完全精确的，但是足够近似的从而可以在实际问题中应用。因此，在教学模型问题中关于稔健性的讨论是很有必要的。1.参数Jg的变化对净收益P的影响 固定r,令8=4.5和5.5,可得出售时间t为 5.28 和 10.23。分别代入模型 P(t)=(0.65-0.0 1t)(20 0+gt)-0.45t可得最优净收益为131.2,135.8,与最优 值133.2只相差2美元固定g,令r=.0 0 9和.OIL可得出售时间t 为 11.1 和5.5。分别代入模型 P(t)=(0.65-rt)(20 0+5t)-0.45t 可得最优净收益为135.6,131.6与最优值 133.2只相差2美元 净收益值P对参数r,g的变化是稳健的 2.假设对模型的影响 关于猪的重量增加和价格降低是线性身教 的假设不总是成反的。以这些数据（wo=2OO,w7=5,p0=0.65,p=0.0 1 J为依据确定何时售出时,要注意到在未来的几周内w/和p/可能不会保 持常教，因此也不会是时间的线性函数。这时，净收益的增长率P/=w/p+wp/-0.45 其中W/p+wp/代表猪价的增长率。第一项代表由于猪增重而增加的。第二项代 表因价格下降而旗失的价值。模型告诉我们，只要猪价比饲养的费用增长 快，就应暂不卖出，继续饲养。另一方面，只要时间不长，在这段时期 内W，和p/的变化就不会太大。由于假设它们是线性的而导致的误差就 不太 这时，板照前面的数据所得到的8天出售 的结果对净收益值P来说也是稳健的。不难算出，在3夭到13夭之间出售的净收 益的数值都在132美元之上，与最优的收益只演失了不到2美元。在今后的几天内，如果猪的增重量 降低10%或者出售价格增加了 10%（出售时间将会提前）在第8天出售时净收益的强失量也是 稳健的，不会超过1美元0版laa。殷卷年尊心公舄瑙profit(dollars)_2 2 2 3 3 36 8 0 2 4Oi-1-1-tc-1-g&JHObl gH4.5JHOo1 g&JHOoll 结论 我们现在能说的只是至少要等8天再出售。对较小的p/（接近0）,模型建议我们等校长的时 间再出售。但我们的模型对较长的时间不再有效。因此，解决这个问题的最好的方法是 将猪再饲养一周的时间，然后重新估计Wo,w，Po和 p再用模型重新讨算。课后思考问题 问题1.在售猪问题中，对每天的饲养花费 做灵敏度分析。分别考虑对最佳售猪时间和相应收益的影 响O 如果有新的饲养方式每天的饲养花费为 60美分，会使猪按7磅/夭增重。那么是否值得改变饲养方式？求出使饲养方式值得改变的最小的增重率。问题2.假设 p(t0.65-0.0 1t+0.0 0 0 0 4t2.表示t天后猪的价格(美元/磅)O 1.也图表示p(t)及我们原来的价格函数。解 衿为什么原来的价格函数可以作为p(t)在接 近零时的近仞。2.求最佳的售猪时间。3.参数0.0 0 0 0 4表示价格的平稳率。对这个参 教求其灵敏度。分别考虑最佳的售猪时间和 相应的收益O 4.对2中的结果和例题中所得的最优解进行 比较。讨论我们关于价格的假设的稳健性。1.6数学建掇论丈写作要点一、论文板块 摘要 关键词 问题重述 模型假设 符号说明 问题分析 模型的建立 模型的求解 模型的推广和评价 参考文故 附录二、模型描述 1.建模分析：思路清晰，语言简练，流畅；2,模型建立：模型明确、突出；3.模型求解：(1)推理的严密性，清楚阐述求解步骤(2)软件求解(软件名称、版本)C3J结果应放在显 要住置；4.模型解将：(1)实用性(2)普遍性，推广和改进(3)创新性，有创意的模型即使未解出，也要反映在 文章中C4J优缺点，张扬优点，适当提出缺点。三、全国评阅标准假设的合理性，建模的创造性，结果的正确性，表述的清晰性。合理性：关键假设；不欣赏罗列大量无关紧要的假设 创造性：特别欣赏独树一帜、标新立异，但要合理正确性：不强调与“参考答案”的一致性和结果的精 好方法的结果一般比较好；但不一定是最好的请晰性：摘要应理解为详细摘要，提纲挈领 表达严谨、简捷，思路清新 格式符合规范，产禁暴露身份四、一些常见问题 吃透题意方面不足，没有抓住和解决主要问题；就事论事，形成教学模型的意识和能力欠缺；对所用方法一知半解，不管具体条件，套用现成的 方法,导致错误；对结果的分析不够，怠样符合实际考虑不周；写作方面的问题（摘要、简明、优缺点、参考文故）;队员之间合作精神差，孤军奋战；依赖心理重，甚至运纪（指导教师、网络）O有的论文过于简单，该交代的内参酒略了，难以看楼。有的队罗列系列模型或假设，又不作比较、评价,希望碰上“参考答案”，弄巧成才出。有的论文参考文故不全，或引用他人结果不作交代。作业（二选一）1.赛程安排五支球队在同场地上进行单循环比赛。共进行十场比赛。如何安排赛程对各队来 说都是公平的。2.交通路口红绿灯十字路口绿灯亮15秒，最多可以通过多少辆讫车？