理论力学---第4章点的运动和刚体基本运动习题解答.doc

第四章 点的运动和刚体基本运动 习题解答

题 4-1图
4-1 图示曲线规尺的杆长mm，mm。杆OA绕O轴转动的规律为rad，并且当运动开始时，角，求尺上D点的运动方程和轨迹。
解： 已知，故点D的运动方程为

消去时间t得到点D的轨迹方程为
（椭圆）

题4-2图

4-2 图示AB杆长l，以的规律绕B点转动，为常量。而与杆连接的滑块B以的规律沿水平线作谐振动，、b为常量。求A点的轨迹。
解： 采用直角坐标法，取图示直角坐标系Oxy, 则A点位置坐标为 ，，即
.
消去时间t得A点轨迹方程为：
.（椭圆）

题4-3图

4-3 套筒A由绕过定滑轮B的绳索牵引而沿导轨上升，滑轮中心到导轨的距离为l，如图所示。设绳索以等速拉下，忽略滑轮尺寸。求套筒A的速度和加速度与距离x的关系式。
解：设时，绳上C点位于B处，在瞬时t,到达图示位置 则 常量，将上式求导，得到管套A的速度和加速度为
， ，
负号表示的实际方向与轴相反。

4-4 如图所示，半径为R的圆形凸轮可绕O轴转动，带动顶杆BC作铅垂直线运动。设凸轮圆心在A点，偏心距，，其中为常量。试求顶杆上B点的运动方程、速度和加速度。
解：以O点为原点建立坐标系，由余弦定理可得

其中OA=e ，AB=R ，设代入上式

题4-4图
可以得到 ，
解出

.

题4-5图
4-5 若将题4-4中的顶杆换成平底的物块M，其余条件不变。试求物块上B点的运动方程、速度和加速度。
解：由右图所示
，
，
.
4-6 图示、b、c三种机构，已知机构尺寸h和杆OA与铅直线的夹角，其中为常量，分析并比较它们的运动：
1）穿过小环M的杆OA绕O轴转动，同时拨动小环沿水平导杆滑动，求小环的速度和加速度。
2）绕O轴转动的杆OA，推动物块M沿水平面滑动，求物块M上一点的速度和加速度。
3）杆OA绕O轴转动时，通过套在杆上的套筒M带动杆MN沿水平轨道运动，求MN上一点的速度和加速度。

a) b) c)
题 4-6图
解：经分析图a)、b) 、c) 中M点速度和加速度相同。以O为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴。对图在a)、 b) 、c) 中M点都有
， ， .

题4-7图
4-7 图示滑道连杆机构。已知m；m，滑道连杆BC绕轴B按的规律转动（以rad计）。试求滑块A的速度和加速度。
解： 如右图所示。以B为极点和BO为极轴建立极坐标系，则A点的运动方程为
， .
A点的速度为
，，
.
A点的加速度为
，
.
.
也可以用直角坐标法求解，并求出A点地切向和法向加速度。

4-8 如图所示，一直杆以绕其固定端O转动，其中为常量。沿此杆有一滑块以匀速滑动。设运动开始时，杆在水平位置，滑块在O点，试求滑块的轨迹（以极坐标表示）。

题4-8图
解： 以O为极点，水平方向为极轴，点M的运动方程为
，
消去时间t，得到滑块以极坐标表示的轨迹方程为
.
4-9 点在平面上运动，其轨迹的参数方程为
，
设时，；坐标s的起点和时点的位置一致，s的正方向相当于x增大的方向。试求轨迹的直角坐标方程、点沿轨迹运动的方程、点的速度和切向加速度与时间的函数关系。
解：由运动方程消去t，得轨迹方程：
，（）
时，由 ，积分得点的运动方程
；
点的速度和加速度在轨迹切线上的投影为：
， .
4-10 点沿平面曲线轨迹向x、y增大的方向运动，其中x、y的单位皆为m，速度大小为常量。求动点经过处时，其速度和加速度在坐标轴上的投影。
解：点的切向加速度和法向加速度为
， ；
式中 ， ，
当时， ，，
有 ， ，
当时点的速度和加速度在坐标轴上的投影为：

，

题4-11图
4-11 如图所示，曲柄CB以等角速度绕C轴转动，其转动方程为。通过滑块B带动摇杆OA转动。设，。求摇杆转动方程。
解：由题图所示：

由此解出杆的转动方程为

4-12 已知图示机构的尺寸如下：；。如轮按（单位为rad）的规律转动，求当s时，杆AB上的点M的速度和加速度。

题4-12图
解： 点M与点A有相同的速度和加速度， 即

题4-13图
4-13 机构如图所示，假设AB杆以匀速u运动，开始时。试求当时，摇杆OC的角速度和角加速度。
解：
OC杆转角满足， 对时间t求导得
，
将 代入得
， .
负号表示与方向相反。

4-14 纸盘由厚度为的纸条卷成，令纸盘的中心不动，而以等速v拉纸条。求纸盘的角加速度（以半径r的函数表示）。
解：
题4-14图
设纸盘在t=0时刻的初始半径为R，则在t时 刻纸盘减少的面积为

将以上两式分别对时间求导，得

纸盘的角加速度 .

题4-15图
4-15 图示滚子传送带，已知滚子的直径，转速为。求钢板在滚子上无滑动运动的速度和加速度，并求在滚子上与钢板接触点的加速度。
解：
设钢板上的点与滚子上的点接触，钢板平动速度

钢板加速度
滚子上点的加速度
，

题4-16图
4-16 图示机构中，杆AC以匀速沿水平导槽向右运动，通过滑块A使杆OB绕O轴转动。已知O轴与导槽相距h。试求杆OB的角速度和角加速度。
解： OA杆转角满足， 对时间t求导得
，
其中
，
， .

题4-17图
4-17 小环A沿半径为R的固定圆环以匀速运动，带动穿过小环的摆杆OB绕O轴转动。试求OB的角速度和角加速度。若，试求B点的速度和加速度。
解： 设角ADC为，由题义知
，
因D为圆心，有角AOC=ADC，设角AOC为，则OB杆的角速度为

角加速度
以O为原点取直角坐标系，B坐标为

B点的速度为

B点的加速度为

4-18 长度为的细杆可绕O轴转动，其端点A紧靠在物块B的侧面上。若B以匀速向右运动，试求杆OA的角速度和角加速度。

题4-18图
解：
设初始位置OA杆为垂直位置，在t时刻OA杆与水平线夹角为，由图示几何关系有

对上式求导得

再求导得角加速度为

4-19 提升重物的绞车机构如图。主动轴Ⅰ转动时，通过齿轮传动使轴Ⅱ转动而提升重物P。如小齿轮和大齿轮的齿数分别是和，鼓轮的半径是R，主动轴Ⅰ的转动方程是rad，其中t以s为单位。试求重物的运动方程、速度和加速度。

题4-19图
解： 由于

将代入上式可以得到

由于 ，得到重物的运动方程

重物的速度和加速度分别为

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