维向量的内积.pptx

一，内积一，内积 我们知道，几何空间中两个向量我们知道，几何空间中两个向量a,b的内积（数量的内积（数量积）定义为：积）定义为：中的向量尚未定义长度和夹角，因此不能仿照上中的向量尚未定义长度和夹角，因此不能仿照上式来定义内积。回顾在中建立直角坐标系后，有向量式来定义内积。回顾在中建立直角坐标系后，有向量的计算公式：的计算公式：于是我们可以相仿地引入于是我们可以相仿地引入定义定义1设设n维实向量维实向量称实数称实数为向量为向量中的内积概念。中的内积概念。与与的的内积内积，即即内积是向量的一种运算，用矩阵表示，有内积是向量的一种运算，用矩阵表示，有性质：性质：（1）对称性：）对称性：（2）线性性：）线性性：（3）正定性：）正定性：由正定性可以引出向量的长度概念。由正定性可以引出向量的长度概念。定义定义2 由定义由定义2及内积的性质易证向量的长度具有及内积的性质易证向量的长度具有以下性质：以下性质：（1）正定性：）正定性：（2）齐次性：）齐次性：（3）三角不等式：）三角不等式：（4）柯西）柯西-许瓦兹（许瓦兹（Cauchy-Schwarz)不等式不等式:性质性质（1）、（）、（2）、（）、（3）由读者完成，下证由读者完成，下证（4）：证明：证明：即有即有此式说明实系数方程此式说明实系数方程无实数根，其判别式无实数根，其判别式：长度为长度为1的向量称为的向量称为单位向量单位向量。由长度的正定性及。由长度的正定性及齐次性可知：齐次性可知：当当时，时，此时表明此时表明是单位向量。是单位向量。得到单位向量得到单位向量的过程称为的过程称为单位化单位化或或标准化标准化.由非零向量由非零向量 中中定义向量间的夹角定义向量间的夹角.有了柯西有了柯西-许瓦兹不等式，就可以在许瓦兹不等式，就可以在定义定义3称为称为 与与 的的夹角夹角.正交（垂直）正交（垂直）由定义由定义2知：知：例例1 设设求：求：解解（1）（2）得简化的齐次线性方程组得简化的齐次线性方程组得其基础解系为得其基础解系为例例2设设线性无关，求常数线性无关，求常数k，使，使解：解：即即从而可以解出：从而可以解出：n=2的几何解释：的几何解释：设设与与上的投影向量为上的投影向量为其中其中因此因此图5.1 一组两两正交的非零向量称为一组两两正交的非零向量称为正交向量组正交向量组.由单位向量组成的正交向量组称为由单位向量组成的正交向量组称为标准正交基标准正交基.二、标准正交基与施密特（二、标准正交基与施密特（二、标准正交基与施密特（二、标准正交基与施密特（Schimidt)Schimidt)方法方法方法方法定义定义4由上述定义可知：由上述定义可知：（1）（2）定理定理1 若若n维向量维向量是一组两两正交是一组两两正交的非零向量，则的非零向量，则线性无关线性无关.证明：证明：则上式两端与则上式两端与作内积可得作内积可得这表明这表明线性无关线性无关.定义定义5的一组基，若它们两两正交，则称的一组基，若它们两两正交，则称是向量空间是向量空间V的一组正交基；的一组正交基；当正交基当正交基是单位向量时，则称是单位向量时，则称这组正交基为向量空间这组正交基为向量空间V的一组的一组标准正交基标准正交基（或称（或称规范正交基规范正交基）.例如：例如：就是就是是是中一组典型的标准正交基。中一组典型的标准正交基。若若是是V的一组标准正交基，那么的一组标准正交基，那么V中中设表示式为设表示式为的任一向量的任一向量应能由应能由线性表示，线性表示，作内积：作内积：即即可用可用与上式两端与上式两端为求其中的系数为求其中的系数从而从而即是说，在标准正交基下，向量的坐标可以即是说，在标准正交基下，向量的坐标可以通过内积简单地表示出来通过内积简单地表示出来.设设是向量空间是向量空间V的一组标准正交基，的一组标准正交基，也就是要找到一组两两正交的单位向量也就是要找到一组两两正交的单位向量使使与与等价，等价，这组基这组基标准正交化标准正交化.为此，我们给出一个不予证明的定理：为此，我们给出一个不予证明的定理：此问题称为把此问题称为把定理定理2 向量空间向量空间V中的任意中的任意 r个线性无关个线性无关的向量的向量可用施密特正交化方法转换成可用施密特正交化方法转换成一组正交向量组一组正交向量组其中其中而且而且与与等价，进而令等价，进而令就得到就得到V的一个标准正交向量组的一个标准正交向量组.是是V的基，则的基，则是是V的标准正交基的标准正交基.如果如果上述由线性无关向量组上述由线性无关向量组导出正交化导出正交化向量组向量组的施密特正交化的过程，的施密特正交化的过程，与与等价，等价，满足满足不仅不仅还满足：还满足：对对任何任何向量组向量组与与等价等价.取取例例3设设试用施密特试用施密特正交化过程把这组向量标准正交化正交化过程把这组向量标准正交化.解解再把它们单位化，取再把它们单位化，取即为所求即为所求.例例4已知向量已知向量为正交向量组为正交向量组.解解由由可知可知应满足方程应满足方程即即其基础解系为其基础解系为把基础解系正交化即为所求，把基础解系正交化即为所求，由于由于于是得于是得亦即取亦即取三、正交矩阵和正交变换三、正交矩阵和正交变换三、正交矩阵和正交变换三、正交矩阵和正交变换定义定义6如果如果n阶矩阵阶矩阵A满足：满足：则称则称A为为正交矩阵正交矩阵.则则可表示为可表示为若若A按列分块表示为按列分块表示为A=亦即亦即其中其中这说明，方阵这说明，方阵A为正交矩阵的为正交矩阵的充要条件充要条件是是A的列向量都是单位向量，且两两正交的列向量都是单位向量，且两两正交.考虑到考虑到与与等价，等价，对对A的行向量也成立的行向量也成立.列（行）向量构成向量空间列（行）向量构成向量空间的一个标准正交基的一个标准正交基.所以上述结论所以上述结论由此可见，由此可见，正交矩阵正交矩阵A的的n个个例例5 设设则则A的每个列（行）向量都是单位向量，而且的每个列（行）向量都是单位向量，而且两两正交，所以两两正交，所以A是正交矩阵。是正交矩阵。不是单位向量，不是单位向量，故故B不是正交矩阵不是正交矩阵.B的各列（行）的各列（行）虽然两两正交，但虽然两两正交，但例例6设设又又试证试证A+E不可逆不可逆.证证因因上式两端去行列式得上式两端去行列式得从而从而即即A+E可逆可逆.若若P为正交矩阵，则为正交矩阵，则y=Px线性变换称为线性变换称为正交变换正交变换.在第三章的例在第三章的例2中我们曾介绍了的线性变换中我们曾介绍了的线性变换y=Px,现在又引进了正交矩阵的概念，于是有：现在又引进了正交矩阵的概念，于是有：定义定义7 设设y=Px为正交变换，则有为正交变换，则有这里这里表示向量的长度，相当于线段的长度，表示向量的长度，相当于线段的长度，说明经正交变换后，线段的长度保持不变，说明经正交变换后，线段的长度保持不变，这是正交变换的优良特征这是正交变换的优良特征.