2020-超常数学竞赛-7年级-复赛-真题.doc

2020 年超常（数学）思维与创新能力测评
（初中一年级 复赛）
考试时间：15:00～16:30 满分：120分
考试说明
（1） 本试卷包括12道填空题、5道解答题。
（2） 填空题答案不完整则不得分，解答题按评分标准酌情给分。
（3） 需在答题卡上作答，写在试题卷上不得分。

一、填空题（每小题 5 分，共 60 分）

• 已知 𝑎，𝑏，𝑐，𝑑 满足𝑎 < −1 < 𝑏 < 0 < 𝑐 < 1 < 𝑑，且|𝑎 + 1| = |𝑏 + 1|，|1 − 𝑐| =

|1 − 𝑑|，那么𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑的值为 .

• 图中每个小方格的面积都是 1，则七边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺的面积是 .

第 2 题图

• 某旅游团一行 50 人到一旅馆住宿，旅馆的客房有三人间、二人间、单人间三种，
其中，三人间的每人每天 20 元，二人间的每人每天 30 元，单人间的每天 50 元. 如果旅游
团共住满了 20 间客房，则消费最低为 元.

• 上午 8 时 8 分，李老先生骑自行车从家里出发去郊游. 8 分钟后，他儿子发现老父
亲忘带钱包遂骑摩托车去追他，在离家 4 千米的地方追上了他，然后儿子立刻回家，到家后又发现手机也忘拿了，便立刻回头去追，再追上他的时候，离家恰是 8 千米. 这时是
时 分.
• 在正午，时钟的时针、分针和秒针重合，下次重合在 .

1

• 正方形 ABCD 中，AB 长为4𝑐𝑚，𝐴𝐸 = 𝐴𝐹 = 1𝑐𝑚，四边形 EFGH 是长方形，𝐹𝐺 =
2𝐸𝐹. 那么，“风筝图”（阴影部分）的总面积为 𝑐𝑚2.

第 6 题图

• 写出从 1 到 30（包括 1 和 30）的全部整数，把其中的某些数划掉，使得在剩余的
数中没有一个数是其他任何数的 2 倍，则最多能剩余 个数.

3
• 从 l，2，3，…，𝑛中任取 11 个数，使其中必有 2 个数的商不小于
4
4
，又不大于 ，
3

则𝑛的最大值为 .

• 给定4 × 4方格表，一定可以从小于 100 的正整数中选出 16 个不同的数填入方格表
（每格一数），使得每一行所填数的乘积和每一列所填数的乘积都等于同一个数. 这个数最小是 .

• 给出一个等差数表

1，4，7，10， ⋯ ，𝑎1𝑗， ⋯

4，9，14，19， ⋯ ，𝑎2𝑗， ⋯

7，14，21，28， ⋯ ，𝑎3𝑗， ⋯

⋮

𝑎𝑖1，𝑎𝑖2，𝑎𝑖3，𝑎𝑖4， ⋯ ，𝑎𝑖𝑗， ⋯
其中每一行、每一列都是等差数列，𝑎𝑖𝑗表示位于第𝑖行、第𝑗列的数，则 2017 这个数在该数表中的位置(𝑖，𝑗) = .

• 甲、乙、丙三个工程队承包一项工程，给他们的承包费共 180 万元. 三队完成这项
1

2

工程任务的具体情况是：甲、乙两队合做 6 天完成了工程的
1
；因甲有事，由乙、丙合做两
3

天，完成了余下工程的
；以后三队合做 5 天完成了这项工程. 按完成工作量的多少来付工
4

程款，则甲、乙、丙三队分别应得 、 、 万元.

• 平面上有五个点，任意两点的连线都不平行，也不垂直，现从每一个点向其他四点两两连成的直线作垂线，则所有这些垂线的交点最多为 个.

二、解答题（每小题 12 分，共 60 分）
• 在第一行写下 10 个整数. 第二行的 10 个整数按如下规则来写：在第一行的每个整数𝑎下面写下第一行中数𝑎的右边比𝑎大的数的总个数. 第三行按照上面的规则从第二行进行操作.
（1） 证明：若干步后，出现一行数全由零构成；
（2） 试问至少包含一个非零数的行的数目的最大可能值是多少？

• 我们把 1，3，6，10，…，这些数称为“三角形数”，因为用这些数目的点可以排成一个三角形，如下图：依次取三角形数的末尾数字，排列起来可以构造一个无限小数𝑁 = 0.1360518 ⋯.

试讨论 N 是有理数还是无理数？

• 将下图所示的四角星形的八个交点由 1 至 8 配号，使外围一个三角形的三个顶点的号数和均相等，即𝐴 + 𝐸 + 𝐹 = 𝐵 + 𝐹 + 𝐺 = 𝐶 + 𝐺 + 𝐻 = 𝐷 + 𝐸 + 𝐻，试求所有的配号法.

第 15 题图

• “我听见院子里有很多孩子在玩，都是您家的孩子吗？”客人问.“不，一共是四家的孩子. 我的孩子最多，王家的孩子最少，我表弟的孩子比王家的孩子多，而李家的孩子又比我表弟的孩子多. 他们正在踢小足球，可是不够分成每边九个人”主人回答.“巧得很”，主人接着说：“您来时应该特别注意了我家的门牌号吧，各家孩子的人数乘起来刚好等于它，您不是很喜欢数学吗？您算一下每家孩子各是多少个？”“真有意思，让我想一想. ”客人想了一会又说：“我还需要多知道一点，王家只有一个孩子吗？”主人回答了他的问题. 这时客人说出了每一家孩子的准确数. 那么每家各有几个孩子呢？

• 我们知道，每副扑克牌都是 54 张，假定其排列顺序为：头两张是大王、小王，然后是黑桃、红桃、梅花、方块四种花色，每种花色的牌又按 A、2、3、⋯、J、Q、K 顺序排列. 某人把按上述排列的两副扑克牌上下叠放在一起，用一张没有花色和点数的“备用牌”插在中间. 然后先把第一、二张丢掉，把第三张放到最下面；再把第四、五张丢掉，把第六张放到最下面；⋯ ⋯；即每次连续丢掉两张，只放一张下去. 问：最后丢出去的是哪张牌？请说明理由.