大单元视角下高中数学教学的实践与思考——以“函数的概念与性质”章节复习课为例.pdf

74上海中学数学2023年第7 一8 期大单元视角下高中数学教学的实践与思考以“函数的概念与性质”章节复习课为例215600江苏省梁丰高级中学李晓艳摘要：基于“单元”而开展的教学设计是学科教育落实立德树人、发展素质教育、深化课程改革的必然要求，也是核心素养落地的重要途径.数学大单元可理解为在整体思维指导下，某一数学核心概念的相关基础知识、基本技能、基本思想与基本活动经验构成的集合.以“函数的概念与性质”的章节复习为例，具体探讨大单元视角下高中数学的实践路径.基于大单元视角下的高中数学教学，除应加强课标与教材研究外，还需要有章节本质问题的牵引、有数学思想方法的教学、有问题链的精准设计、有学生“双结构”的自主建构.关键词：大单元；函数的概念与性质；章节复习课前苏联数学教育家斯托利亚尔在数学教育学中提出了“数学教学是数学活动的教学”的重要观点，数学教学活动是教师预设与学生生成相结合的过程，教师的教学设计是预设的具体形式。以往数学教师常以课时作为基本单位开展教学设计,这虽然有利于教师把控每节课的教学活动过程，但往往会导致数学概念、数学命题内在联系的割裂，也不利于学生形成完整的数学知识结构，更难形成良好的认知结构.针对现状，国内不少专家学者提出要将“单元”作为教学设计的基本单位，并指出“单元”是素养目标达成的单位，是围绕大概念组织的学习内容、学习材料和学习资源等的集合.一些学者也将这样的“单元”称为“大单元”大单元的“大”不是单纯地指聚集越来越多的内容，而是指按照素养目标为线索来组织单元，从而迭代累积形成更大的具有意义的认知网络 1.可见，基于“单元”而开展的教学设计是学科教育落实立德树人、发展素质教育、深化课程改革的必然要求，也是核心素养落地的关键路径.聚焦到数学学科之中，基于“大单元”的角度，结合数学学科特征，笔者认为，数学的大单元可理解为在整体思维指导下，某一数学核心概念的相关基础知识、基本技能、数学思想方法与数学基本活动经验构成的集合.基于大单元视角的教学应该是在重点关注以上四个基本元素的同时，学生自主达成对核心概念的认识与理解，并能自觉将获得的思想方法与活动经验进行迁移.随着课程改革的不断深人，笔者一直努力践行大单元视角下的数学教学，形成了一定的教学实践与思考，现结合近期开设的公开课“函数的概念与性质”（章节复习课），阐述自己的思考。一、大单元视角下高中数学的教学实践“函数的概念与性质”是2 0 17 年版普通高中数学教科书（人教A版）必修第一册 2 1第三章的内容.普通高中数学课程标准（2 0 17 年版2 0 2 0 年修订）关于本章内容的整体定位为：“通过本章的学习，要使学生建立完整的函数概念；能用代数运算和函数图像揭示函数的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型、解决问题；提升学生数学抽象、直观想象、数学运算和数学建模素养.31章节复习课是高中数学中的重要课型，其主要功能在于通过问题唤醒学生对本章知识与方法的回忆，意在引导学生形成知识结构的同时，完善学生的认知结构，以帮助学生形成数学学科的大观念、大方法.但纵观当前的章节复习课，不少教师仍仅把章节复习课当成是一节综合练习的讲评课，抑或仍采取“知识回顾一典型问题一课后练习”的常规模式，但无论是哪种方式都不能承载章节复习课应有的价值与取向.章节复习课应该如何有效地组织？笔者认为，教师首先要树立“大单元”的整体思维方式，通过确定章节的本质问题，并在教学过程中始终锁定本质问题这个不动点形成系列核心任务，这是章节复习课的一种有效的实施途径.教材的每一章内容都有特定的研究对象，不同的研究对象都有相应的研究框架。笔者的教学实践如下（一）抛出本质问题，引起认知冲突笔者直接抛出本质问题：请你研究函数f(）=+a(aER).上海中学数学2023年第7 一8 期问题1你想研究这个函数的哪些内容？请你续的学习与研究中这些经验能持续生长.通过小组提出研究的课题.展示、小组互评、教师板演等操作，不断强化学生的问题2 怎样研究该函数的定义域、值域、图数学思考力与数学表达力，这些都有助于学生数学像、单调性、奇偶性、最值等性质？核心素养的培育.设计意图：教材在编写过程中重点突出了函数（三）命题联想引申，探究引向深处研究框架的构建，由问题背景逐步抽象函数的概念，笔者紧接着抛出了如下命题联想.紧接着特别强调通过代数运算和函数图像研究函数联想1E的单调性、奇偶性、最值等主要性质的研究思路，而已知函数F(z)=+4.后借助幂函数的研究，让学生进一步理解研究函数试讨论f()=m的解的个数；的基本思路与方法.因此，笔者也想通过学生比较陌当1时，mf()有解,求实数m的取值生的一个函数，引导学生经历函数研究的全过程，在范围；研究过程中激活学生的已有认知，进一步巩固和加当0,a=0,a0进行分类讨论的？问题5 你能给出奇偶性与单调性的严格证明吗？问题6 数与形是如何相互对应的？设计意图：知识是学生的知识，知识必须通过学生的自主建构获得.因此，有效的数学探究应该是以学生为主体、教师为主导的教学.在学生自主探究与合作交流中，通过适时地提出问题3一问题6，不断地给学生提供思考的方向与机会，更重要的是在活动中不断帮助学生加强研究函数一般路径与方法的认识，积累与之相应的数学基本活动经验，以期在后75ER,bER)的性质吗?设计意图:通过对一般模型(a)=亡士(ER)的研究，进而解决与之相关的系列问题.联想1由一般到特殊的研究思路，进一步解决f（）=2+4函数中的几个问题.学生在刚解决一般模型的基础上可以立刻得到它的函数图像，体会从一般到特殊的研究方法.联想2 则采取逆向设计，已知函数 F(a)=十(aER)在给定区间内的单调性,求参数的取值范围.学生根据一般函数图像的观察不难得出结论，此时笔者进一步追问：你能用代数方法进行推理吗？通过追问，引导学生从图形直观与代数推理两个角度来认识问题.联想3则是一般到一般的研究思路，引导学生通过观察、类比、联想，直接给出函数的性质，对学生知识迁移能力提出了较高的要求.通过对典型示例的研究分析和变式串讲，加深学生对函数概念和函数基本性质的理解，进一步体会函数图像与性质的关系，学生经历问题生成与阐明的过程，培养其发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力.（四）小结反思回顾，经验持续生长笔者抛出如下问题.问题1请同学们交流一下本节课的收获.学到了哪些知识？运用了哪些数学思想方法？问题2 课后请尝试研究f()=+（ER)的图像与性质.设计意图：问题1引导学生回顾本节课的知识、76方法，意在进一步强化数学思想方法的运用,更好地帮助学生积累数学基本活动经验，以便迁移至研究其他函数的情境之中，解决更多的问题.问题2 是笔者留给学生的课后思考题，意在将探究从课内引申到课外，选择了著名的“牛顿三叉函数”（当0时）,同时该函数模型也与本节课探究的函数模型相似，更容易激活学生本节课积累的已有认知经验，并且这些经验也会持续生长下去。二、大单元视角下高中数学的教学思考通过“大单元”视角下的高中数学教学的实践，笔者认为，落实大单元的关键在于教师对课标与教材的理解.除此之外，教师还应聚焦以下关键问题.(一)需要有章节本质问题的牵引所谓本质问题，是指围绕大单元而展开的、值得被持续探讨的问题1.关于本质问题的提取，笔者认为研读课程标准是一条有效途径.课标的“课程内容”部分不仅明确了高中必修课程、选修课程包含的主题，同时规定了内容及内容标准。课程内容好比是问题的答案，此时可采用逆向思考的方法提炼出本质问题.比如，“函数的概念与性质”中有内容标准：能用代数运算和函数图像揭示函数的主要性质.要得到这个问题的答案，应该设计诸如“如何用代数运算和函数图像揭示函数的主要性质？”或“如何研究函数的图像与性质？”等本质问题.一旦确定了本质问题，教学时应锁定本质问题这个不动点，将本质问题以若干核心任务的形式呈现出来.通过解决核心任务的问题，直击本质问题的解决与回应.（二）需要有数学思想方法的教学数学思想方法是处理数学问题的指导思想与基本策略，是数学的灵魂数学离不开数学思想方法，数学教学更离不开数学思想方法的教学.大单元视角下的数学教学应围绕本质问题展开，而在教学实践中为了更好地促成本质问题及其核心任务的解决，数学思想方法的运用显得尤为重要.郑毓信教授认为，数学思想方法有两种意义.第一种意义的一个重要特征是其从属于具体的数学知识；第二种意义则是指与具体数学知识内容相分离，并具有更大的普遍意义的思维模式或原则.第二种意义上的数学思想具有更强的方法论意义 5 .因此，数学思想方法的教学既有伴随着数学知识的教学，同时也应有数学思想方法的直接教学.在本节课的设计与实践中，笔者兼顾了这两种数学思想方法的教学，但重点突出数学思想方法的直接教学。比如，引导学生类比一次函数、二次函数的研究经验，得出需对参数进行讨论的猜想，通过验证证实这一猜想，进一步巩固学生应用类比的数学思想方法的经验.这可看作是数上海中学数学2023年第7 一8 期学思想方法的直接教学，并未依托于具体的数学知识.再如，本节课自始至终贯穿数形结合的思想方法，不断通过数与形的对应关系加深学生对这一思想方法的应用.学生在数学思想方法运用的过程中逐步解决关键任务与本质问题，与此同时还能积累运用数学思想方法解决问题的经验，这些经验也势必会在以后的学习中发挥重要作用.（三）需要有问题链的精准设计问题是数学的心脏.数学教学可看成是问题的提出、问题的解决、问题的再提出、问题的再解决的过程.因此，在实施大单元视角下的数学教学时，在确定本质问题后，教师需以问题链的形式将本质问题分解为若干核心任务.数学问题链是指教师在课外预设，并在课堂上以多种方式呈现给学生的、有序的主干问题序列，它既为学生提供了数学学习的骨架，又为学生发展高水平的思维提供了可能性 6 .大单元视角下的数学教学需有问题链的精准设计，这里提及的精准具体表现在：第一，问题链需与教学内容高度相关，要有一定的思维含金量，能给予学生积极思考与充分探究的时机；第二，问题链的设计要能充分联系数学知识、数学思想方法、学科思维观念等；第三，问题链的设计要有一定的挑战性，学生一旦解决了问题链中的若干核心任务，就意味着解决了本质问题.(四)需要有学生“双结构”的自主建构认知主义表明，选择适当的知识结构，并选择适合认知结构的方式，才能促进学习，并且还应注意教学内容与已有知识的联系，知识结构应与学生的认知结构相匹配.认知主义强调两个结构：一是学科知识结构，这在教学中是易于掌握和呈现的结构体系；另一种则是教学中难以呈现和观测的认知结构.所谓数学认知结构，就是学生头脑里的数学知识按照自己理解的深度、广度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点，组合成的一个具有内部规律的整体结构 7，简单地说，数学认知结构就是在学生头脑中形成的数学知识、数学活动经验及其在头脑中的组织形式.大单元视角下的数学教学应该是学生“双结构”的自主建构.因此，大单元视角下的数学教学通过教师提出本质问题与核心任务，让学生积极地开展观察、实验、操作、猜想、归纳、推理等数学活动，这样不仅能帮助学生以网状化、结构化的方式将本章的知识有机地整合，利于学生在头脑中形成便于记忆与迁移的数学知识结构，而且在学生带着本质问题亲身投入数学活动中时，数学活动经验也会不断积累和生长，进而实现知识结构与认知结构“双结构”的自主建构.（下转第9 6 页）96评价要素数据收集完整度和质量（2 0 分）实践绘图质量和能力操作(20分）实验的能力和水平(2 0 分）小组合作能力和结果团队参与度（2 0 分）呈现作品质量高低（2 0 分）上海中学数学2023年第7 一8 期表6评价指标教师评价（5 0%)自主评价(2 5%)组员评价（2 5%)分值参考文献在项目探究的后期，学生提出了多个延伸的方向，如不同品种的蟋蟀鸣叫频率与温度的关系是否相同？能否根据蟋蟀的鸣叫频率来自制温度计探测气温？自然界中还有哪些动物的鸣叫频率与温度呈函数关系？项目化学习是一个不断完善修复并持续学习的过程.从学生的反馈来看，教师需要进一步挖掘教材，寻找关联型项目进行开发，设计可行的活动方案，打造持续性的项目化学习课堂。1詹泽慧，钟柏昌，霍丽名，等.面向文化传承的学科融合教育（C-STEAM)：价值定位与分类框架 JJ.中国电化教育，2 0 2 0(3)：6 9-7 6.2詹泽慧，李克东，林芷华，等.面向文化传承的学科融合教育（C-STEAM）：6 C 模式与实践案例J.现代远程教育研究，2 0 2 0（2)：2 9-3 8；4 7.3埃里克森，兰宁.以概念为本的课程与教学：培养核心素养的绝佳实践 MI.鲁效孔，译.上海：华东师范大学出版社2 0 18.4夏雪梅.从设计教学法到项目化学习：百年变迁重蹈覆辙还是涅躲重生？J.中国教育学刊，2 0 19（4)：5 7-6 2.(上接第 7 6 页)4威金斯，麦克泰格.追求理解的教学设计：第二版 M.参考文献闫寒冰，宋雪莲，赖平，译。上海：华东师范大学出版社，1刘徽.大概念教学：素养导向的单元整体设计 M.北京：教育科学出版社，2 0 2 2.2人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心.普通高中教科书数学：A版必修第一册 M.北京：人民教育出版社，2 0 19.3中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准：2 0 17年版2 0 2 0 年修订 S.北京：人民教育出版社，2 0 2 0.2017.5郑毓信.数学方法论人门 M.杭州：浙江教育出版社，2006.6唐恒钧，张维忠.数学问题链教学的理论与实践 M.上海：华东师范大学出版社，2 0 2 1.7曹才翰，蔡金法.数学教育学概论 MI.南京：江苏教育出版社，19 8 9.欢迎订阅上海中学数学?