九年级讲义9反比例函数.doc

九年级讲义 9 第五章《反比例函数》

一．知识点梳理：

1．反比例函数定义：一般地，如果两个变量 x,y 之间的关系可以表示成 y=

式，那么我们称 y 是 x 的反比例函数；

注意：反比例函数的几种不同说法：


k
x （k¹0）的形

① y 与 x 成反比例; ②

数且 k¹0）

y = k （k¹0）; ③ xy=k（k 是常数且 k¹0） y=kx-1（k 是常 ；④
x

2.反比例函数的图象与性质：反比例函数 y =

表：

k (k ¹ 0)
x


的图象是双曲线，其图象和性质如下

反比例函数

k 的符号

图象


y

O


k >0


x


y = k (k ¹ 0)
x


k <0

y

O


x

① x 的取值范围是 x ¹ 0 ，

y 的取值范围是 y ¹ 0 。


① x 的取值范围 x ¹ 0 ，

y 的取值范围是 y ¹ 0 ．

②当 k < 0 时，函数图象

②当 k > 0 时，函数图象的两个分支 的两个分支分别在第二、

分别 在第一、第三象限．在每个象 第四象限．在每个象限

限内， y 随 x 的增大而减小． 内， y 随 x 的增大而增
性质
大．

反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它

有两条对称轴，对称中心是坐标原点．

k

3.反比例函数 y= （k 是常数且 k¹0）中 k 值的几何意义：
x

面积不变性：
y y

B


o


A


P


(x,

y)


x


o


A


P (x,y
)


x

S矩形=|xy|=|k|

S三角形 = 1 | xy |= 1 | k |

2
2

在一个反比例函数图象上任取两点，Q，过点P，Q 分别作 x 轴，y 轴的平行线，与坐 P
标轴围成的矩形面积为S1、S2，则 S1＝S2=|k|．
二．典型例题：
例 1：下列函数中，哪些是反比例函数？其 k 值为多少？

①y=

5x


②y=

3
x -3


③ y=

-2 5x


④y=


2
1- x


⑤y=

1
3´ 2

1 -3

⑥ y = -2-1 ⑦ y = 2-1 x ⑧ xy =
4
⑨ y=5-x ⑩ y = 3 x
k

例 2：已知点（1，-2）在反比例函数 y＝ 的图象上，则 k=_______；
x

例 3：反比例函数 y＝ k - 3 的图象，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大，则 k 的取值范围是
x
（ ） （A）k＜3 （B）k£3 （C）k＞3 （D）k³3
6
例 4 ： 反 比 例 函 数 y = 图 象 上 有 三 个 点 (x1，y1 ) ， (x2，y2 ) ， (x3，y3 ) ， 其 中
x

x1 < x2 < 0 < x3 ，则 y1 ， y2 ， y3 的大小关系是( )

A． y 1 < y 2 < y 3


B． y2 < y1 < y3
2


C． y 3 < y1 < y 2
y


D ． y 3 < y 2 < y1

例 5：如图，在反比例函数 y = （ x > 0 ）的图象上，
x
有点 P1、P2 、 P3 、 P4，它们的横坐标依次为 1，2，3，
4．分别过这些点作 X 轴与 Y 轴的垂线，图中所构成的阴

影部分的面积从左到右依次为 S1、S2 、S3 , 则 S1+S2 +S3
= ______ ．


P1

O


1
P2

2

P3

3


P4

4


x

三．随堂练习：

1. 已知反比例函数


y = 2 ，下列结论中，不正确的是（
x ．．．


）

A．图象必经过点 (1， 2)

C．图象在第一、三象限内


B． y 随 x 的增大而减少

D．若 x > 1 ，则 y < 2

2. 反比例函数 y = k (k＞0)的部分图象如图所示，A、B 是图象上两点，
x

AC⊥ x 轴于点 C，BD⊥ x 轴于点 D，若△AOC 的面积为 S 1 ，△BOD

的面积为 S 2 ，则 S 1 和 S 2 的大小关系为（ ）

A． S 1 ＞ S 2 B． S1 = S 2 C ． S 1 ＜S 2 D． 无法确定
k -2
3. 已知反比例函数 y＝ 的图象位于第一、第三象限，则 k 的取值范围是（ ）．
x
A．k＞2 B． k³2 C．k£2 D． k＜2
k

4. 若反比例函数 y =
x 的图象经过点（
-1， 2 ） k 的值为 - ，则
．

5. 如图，已知双曲线 y = k (k < 0) 经过直角三角形 OAB 斜
x y
A
边 OA 的中点 D，且与直角边 AB 相交于点 C．若点 A 的
D

坐标为（ -6 ，4） ，则△AOC 的面积为（
）
C

A．12
B．9
C．6
D．4


B


O


x

6. 在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O 与坐标原点重合，顶点 A，C 分别在坐标轴上，
顶点 B 的坐标为（4，2） ．过点 D（0，3）和 E（6，0）的直线分别与 AB，BC 交于点 M，
N．
（1）求直线 DE 的解析式和点 M 的坐标；

（2）若反比例函数 y = m （x＞0）的图象经过点 M，求该反比例函数的解析式，并通
x

过计算判断点 N 是否在该函数的图象上；
y

D
A

O


M

图 13


C


B
N


E


x