变易图式下的高中数学智慧课堂教学模式——以“直线与圆的位置关系”为例.pdf

2023 年第 9 期(下)中学数学研究9变易图式下的高中数学智慧课堂教学模式*以“直线与圆的位置关系”为例广东省广州市广州大同中学(510545)陈雪玲摘要变易图式下的高中数学智慧课堂教学模式,利用移动智能终端的应用,实现教学资源的智能推送、教学决策的智能评估、即时性的教学反馈以及多元化的交流互动,变易图式是对教学内容的一种处理,把教学内容的关键特征通过变易图式推送给学生,及时收集学生的掌握数据,从内容处理和模式构建两方面同时对高中数学教学进行研究.关键词 变易图式;智慧课堂“智慧课堂”是通过构建智慧的学习环境,运用智慧的教学方法,让学生用智慧方式解决问题的教学,是促进学生全面发展的教学,它强调移动智能终端的应用,采用智能信息技术,实现教学资源的智能推送、教学决策的智能评估、即时性的教学反馈以及多元化的交流互动,是新型的信息化、智能化课堂.把变易图式引入到智慧课堂中,使师生互动、生生互动更多样,为智慧课堂增添了课堂的活力.变易图式是对教学内容的一种处理,把教学内容的关键特征通过变易图式推送给学生,课堂上及时收集学生的掌握数据,变易图式下的高中数学智慧课堂教学从内容处理和模式构建两方面同时对高中数学教学进行研究,提高了教师教和学生学的效率.1 变易图式下的高中数学智慧课堂教学模式变易图式下的高中数学智慧课堂教学模式,根据课型的不同,模式的操作会有所不同,本文主要是高中数学概念课的操作,其中一般模式如图 1.以“直线与圆的位置关系”为例,谈谈变易图式下的高中数学智慧课堂教学处理.图 12 变易图式下的高中数学智慧课堂教学案例下面以选择性必修第一册第二章“直线与圆的位置关系”为例,谈谈如何利用变易图式与智慧课堂相结合,达到信息技术与学科教学深度融合的智慧课堂教学.本节课要解决的内容是直线与圆的位置关系的判断,求弦长以及求圆的切线方程.2.1 推送资源,个性学习课前教师发布微课、学案、检测、背景素材等学习资源,为学生提供富媒体方式的自主学习支架;学生在任务单的引领下进行课外自主学习,以最适合自己的方式接受知识.在本节课上课之前,我给学生的平板推送了两个小视频,视频1:从初中纯几何的角度出发,直线与圆的位置关系有相离、相切、相交,从初中直线与抛物线的交点问题类比出联立直线与圆的方程,通过判断方程组的解的个数确定直线与圆的交点个数,从而判断直线与圆的位置关系.这种方法称为代数法;视频 2:介绍通过比较圆心到直线的距离与半径的大小来判断直线与圆的位置关系,并且帮助学生回顾了点到直线的距离公式,这种方法称为几何法.两个视频都简短明了地介绍了原理和判断的过程.学生自主学习后对下面表格的填写都基本正确,可以看出学生对这两种方法原理基本掌握.表 1 直线与圆的位置关系2.2 创设情境,引入概念情境创设是引入数学概念的重要基础,智慧课堂创设的教学情境,可以以图片、视频,画板动态演示等方式呈现给学生,更能激发学生主动学习、发现问题和解决问题的兴趣,从而为抽象的数学知识学习做好铺垫,也可以让学生感受到数学源于生活,又服务于生活.本节课一开始就给出了一个海上日出的短视频,把太阳视作圆,地平线视作直线,在日出的过程,体现了直线和圆的哪些位置关系?视频很唯美,很快就把学生吸引到课堂中.接着给出第二个情境:一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接*本文是广州市教育科学规划(Guangzhou education scientific research project)2022 年度课题 变易图式下的高中数学智慧课堂教学模式研究(课题编号:202213834)的研究成果.10中学数学研究2023 年第 9 期(下)到气象台的台风预报:台风中心位于轮船正西 70km 处,受影响的范围是半径长为 50km 的圆形区域.已知港口位于台风中心正北 70km 处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受台风的影响?并让学生思考:轮船是否受台风的影响,本质是研究什么数学问题.最后用 GeoGebra 画板演示轮船的行驶路径,如图 2,动态的演示激起了学生去判断轮船的行驶路径所在直线与台风影响的圆的位置关图 2系,从而引入了本节课的内容.这些都可以同屏给学生,直接投放到学生的平板上,让大家可以更清晰、更直观地看到老师的视频或者 PPT 等,让教室的每个座位都是课堂的中心,提高学习的效率.智慧课堂所能使用的资源非常多,选用的时候不能喧宾夺主,情境的引入一是为了激起学生的学习兴趣和积极性,最重要的还是引导学生从直观的事物中抽象概括出数学问题的本质,进一步理解数学、运用数学.2.3 辨析概念,典例示范辨析概念、探究概念本质与应用规律是高中概念课教学的主要过程,在概念教学的过程中,要让学生深入参与到概念知识的探究中.因此在概念教学过程中,概念的内涵外延、概念的关键特征、概念知识的应用非常重要,因此要注重变易探究,可以让学生小组合作讨论,生生互动的探究能促进数学意识的形成.同时,在教学中要对例题做好规范表达的示范,表达可以体现概念关键特征和严谨性,是概念学习的一个重要过程.本节课学生课前观看了推送到他们平板的两个视频学习资源,而且在初中也有相关的知识,因此学生对判断直线与圆位置关系的两种方法还是能快速理解,对上面的表 1 填写也基本没问题.在学生掌握了基本概念方法后,给出课本的典型例题:例 1.已知直线 l:3x+y 6=0 和圆 C:x2+y22y 4=0,判断直线 l 与圆 C 的位置关系;如果相交,求直线 l 被圆 C 所截得的弦长.题目考查的就是判断直线与圆的位置关系,在上面的引入过程中学生已经明确解决问题的两种方法,同样的对应求弦长也是有两种方法.通过让学生把解答过程投屏发现,几何法和代数法都分别有很多人采用,随后教师对两种解答做了示范讲解,对老师的示范解答,学生可以拍照记录,也可以录下来课后复习,这也是为学生自己解题提供表达的规范参照.为了加深学生对直线与圆的位置关系的判断,给出了下面的变易图式:表 2 变易图式 1直线方程改变圆的方程不变辨析直线与圆的位置关系圆 C:x2+y2 2y 4=0在保持圆方程不变的情况下,让学生设计题目给同桌完成,学生积极性很高,课堂一下子“活”起来,学生完成后,再利用智慧课堂的点名抢答功能,展示部分学生解答,如下图3:图 3在例题的讲解中,教师是没有引导学生去选择哪种方法,是通过学生让自己在完成图式的过程中,自己学会对方法进行选择.为了更好地全面了解学生的解题情况,设置了一个选择题给学生:A.采用几何法解题,B.采用代数法解题,得到了下面图 4 的数据:图 4采用几何法判断直线与圆的位置关系的占比达到了89.7%.从学生的解答来看,在整个过程,教师都没有引导学生去选择几何法,但是学生通过自己设计题目,变易探究,自己去发现问题,自己去解决问题,在这个合作探究的过程中,他们可以明显地感受到几何法在计算上的优势,自然而然地绝大部分采用了几何法解决直线与圆的位置关系判定.上面的图式,也可以保持直线方程不变,而改变圆的方程来进行探究.通过让学生自己设计图式进行探究,让学生自己去感受数学的解题,不但调动了学生的积极性,培养了学生解决问题的能力,更是培养学生的数学素养.同时借助智慧课堂的随测功能,可以实时监测学生的学习情况,在大数据的帮助下,可以更全面的了解学生的作答情况,紧扣学生为主体进行教学.2.4 变易探究,拓展思维2023 年第 9 期(下)中学数学研究11对概念的关键特征和应用规律的探究,可以通过变易图式,帮助学生去关注数学学习内容的核心知识点,让学生在变中找到不变,让学生在变化中审辩出不变的原则和方法,拓展思维,也就是“万变不离其宗”的道理.同时,利用智慧课堂的功能,生成变易图式的使用数据,老师可以清晰快速地了解学生对数学概念、数学解题方法的关键特征的掌握情况.对课本的例题 2:过点 P(2,1)作圆 O:x2+y2=1 的切线 l,求切线 l 的方程.题目就是求过一点的圆的切线方程,但在处理这个例题时,我并没有直接就让学生完成,而是引导学生继续完成下面的变易图式,保持圆的方程不变,你会把 P(2,1)的坐标改为什么点让你的同桌完成呢?表 3 变易图式 2P 点坐标改变圆的方程不变辨析过一点求圆切线的方法圆 O:x2+y2=1通过随测功能,让学生拍照上传他们设计的图式,学生的积极性依然很高,潜力也被有效激发,非常积极的分享自己的图式,所取的点坐标也是五花八门:(666,555),(23,7),(,e),(e,e).他们的想法都比较一致:利用计算难倒同桌.在肯定了同学们的想法之后,我给出了下面的图式:表 4 变易图式 3序号点坐标改变圆的方程不变辨析过该点的切线条数辨析过一点求圆切线的方法1(12,12)圆 O:x2+y2=12(12,32)圆 O:x2+y2=13(1,2)圆 O:x2+y2=1接下来让学生完成下面三个问题:(1)分别过上面的三个点作圆的切线,切线条数是多少?利用智慧课堂的随测选择题功能,设置选项为A.0条 B.1 条 C.2 条,让学生快速做出选择.图 5-1、5-2、5-3 是学生的作答情况.图 5-1图 5-2图 5-3从上面的数据反映,绝大部分的同学都能快速判断点与圆的位置关系,但仍有个别同学判断错误.(2)变易图式这样设计点坐标的意图是什么?前面学生给的例子意图是考查计算,并没有考虑到过一点求圆的切线方程,首先需要判断点与圆的位置关系,让学生明确我们设计变易图式,要抓住数学的关键特征和主要特点进行设计,正是考虑到点的位置影响着圆的切线条数以及解题方法,所以才把点的坐标设计为在圆内、圆上、圆外.通过这样变易探究的过程,让学生明白先判断点的位置再求过该点的圆的切线.能根据数学概念和方法的关键特征设计图式,深思熟虑的钻研对待所学的知识,才能更好地培养学生的数学核心素养,提高学生提出问题、解决问题的能力.(3)求上面第2、3图式的切线方程.在求切线方程的过程中,也是有几何法和代数法两种方法.几何法:设出切线的方程,利用圆心到直线的距离等于半径,求出未知量的值,此种方法需要注意斜率不存在的情况,要单独验证,若符合题意则直接写出切线方程.代数法:设出直线的方程后与圆的方程联立消元,利用 =0 求未知量的值.若消元后的方程是一元一次方程,则说明要求的两条切线中有一条直线的斜率不存在,可直接写出切线的方程.过一点求圆的切线方程,一定要判断该点是在圆上还是在圆外,在圆上只有一条切线方程,在圆外有两条切线方程.通过变易图式的探究,让学生一步步对问题进行思考,不断地引导学生关注数学问题的本质和关键特征,而智慧课堂的使用则是更好地辅助我们精准地掌握学生的情况,及时进行课堂的调控.同时,在变易探究的过程中,引导学生进行提炼,学生只有在探究的过程中准确提炼关键信息并实现对关键信息的有效总结才能真正理解并掌握概念知识.在此过程中,还需要不断优化变易图式,通过图式引导学生探究与提炼,让学生学会辨析概念,应用概念.教师抛砖引玉,以问题串的形式让学生充分发挥,展开热烈的探讨,并对小组交流的结果进行展示,能提升学生学习的兴趣和自信心,真正收到“学在其中,乐在其中”的效果.2.5 随堂测评,总结归纳12中学数学研究2023 年第 9 期(下)在教学中,课堂总结应用尤为重要,它是对课题内容的重要巩固,也是教学内容的延生.通过总结应用,学生可以及时发现学习中存在的问题并加以完善,从而全面掌握整堂课的知识内容,并发展反思能力.而总结后的随堂测试,更是检验本堂课效果的重要依据,也是课后作业布置和下一节教学处理的重要数据支撑.为了检测课堂学生的学习效果,检验课堂目标的达成情况,在归纳总结后给出了两个测试题,下面图 6 是学生的作答情况:图 6从数据上可以看出绝大部分同学掌握了课堂上讲的基本方法,出现错误的几个同学的主要原因是计算错误导致的.随堂测试主要是为了检测课堂效果,因此题目的选取要紧紧围绕课堂的内容来选取,对随堂测试出现的问题要及时解决,同时反思课堂的教学环节有没有出现问题,及时调整.在智慧课堂的大数据统计下,对教师的教学效果评价能快速及时,同时对学生的评价也更具体、更客观,也更精准.2.6 推送作业,分层布置课前及课中的教学数据成为课后反思的强有力驱动,根据课中反馈的数据,课后可以分层布置作业.比如上面测试第一题答错的四位同学,平时基础也比较薄弱,可以给他们推送基础一些的题目;第二题虽然只有三位同学答错,但在课中教学过程中学生求圆的切线方程对先判断点与圆的位置关系这个知识点的掌握并不是很理想的,因此作业题目可以在这个方面有所侧重.在智慧课堂数据的支撑下,作业的布置会更有针对性,对学生的评价也会更客观,更多元化.2.7 批改作业,微课辅导作业的批改,客观题由系统自动批改,主观题仍然需要老师进行批改,批改后可以得到学生的答题情况数据,如图7:其中第 6、7、10 题的正答率不是很高,根据得分率的情况,对作业中出现的问题,可以录制微课推送给学生,以帮助学生更好地解决问题,同时也可以根据学生的个人的得分情况,课后对学生进行辅导.同时,学生作图 7业的答题情况,也为第二天的课前测试选题提供数据的参考.智慧课堂课前、课中、课后所生成的数据,为我们的教学提供有力的辅助,借助数据分析,帮助学困生树立自信,帮助优生做拓展训练,分层教学能更精准,全面了解学生,让因材施教真正达成.3 变易图式下的高中数学智慧课堂教学反思变易图式下的智慧课堂,以促进学生的智慧生成为导向,以学生为中心,在教学内容的处理上,通过变易,让学生辨析概念和方法,拓展思维,培养学生数学核心素养;在教学手段上,利用智慧课堂的技术和功能,借助数据分析,可以让教师准确捕捉不同学生的认知动向,及时调整教学方案,对教学进行有效调控和分层教学,同时对学生的评价也更多元,提高了学生学和老师教的效率.参考文献1 梁玉麟,劳傅燕华,江巧妍.数学课堂学习研究实践与数学基本概念的教学 M.安徽教育出版社.2011.2 顾泠沅,黄荣金,李业平.数学课堂教学研究 M.上海教育出版社.2010.3 黄荣金,刘丹.变异理论下的数学课堂研究 M.广西教育出版社.2010.4 黄晓青.智慧课堂引领下的精准教学模式的构建与实证研究 J.中国信息技术教育.2021(23).5 刘邦奇,吴晓如.智慧课堂 新理念 新模式 新实践 M.北京师范大学出版社集团.2019.