高三数学直线交点坐标与距离公式.pptx

一、两条直线的交点一、两条直线的交点设两条直线的方程是设两条直线的方程是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,两两条直线的条直线的就是方程组就是方程组的解，若方程组有唯一解，则两条直线的解，若方程组有唯一解，则两条直线，此解就，此解就是是;若方程组若方程组，则两条直线无公共点，则两条直线无公共点，此时两条直线此时两条直线；反之，亦成立；反之，亦成立.交点坐标交点坐标相交相交交点坐标交点坐标无解无解平行平行二、几种距离二、几种距离1两点间的距离两点间的距离平面上的两点平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式间的距离公式|P1P2|.原点原点O(0,0)与任一点与任一点P(x，y)的距离的距离|OP|.2点到直线的距离点到直线的距离点点P0(x0，y0)到直线到直线l：AxByC0的距离的距离 d.3两条平行线间的距离两条平行线间的距离两条平行线两条平行线AxByC10与与AxByC20间的距离间的距离 d.使用点到直线的距离公式和两条平行线间的距离使用点到直线的距离公式和两条平行线间的距离公式时应注意什么？公式时应注意什么？提示：提示：（1）直线方程必须化成一般式）直线方程必须化成一般式Ax+By+C=0的形式的形式.（2）两平行线间的距离公式使用时还要注意）两平行线间的距离公式使用时还要注意x、y的系数必须相同时才能读出的系数必须相同时才能读出C1、C2的值的值.答案：答案：C1已知点已知点(a,2)(a0)到直线到直线l：xy30的距离为的距离为1，则，则a 等于等于()A.B2C.1D.1解析：解析：由由1且且a0 a1.2若三条直线若三条直线y2x，xy3，mxny50相交于同相交于同一点，则点一点，则点(m，n)可能是可能是()A(1，3)B(3，1)C(3,1)D(1,3)解析：解析：由得由得 m2n50，点点(m，n)可能是可能是(1，3)答案：答案：A3两直线两直线xy20与与2x2y30的距离为的距离为()解析：解析：d答案：答案：B4与与A(1,1)，B(2,2)距离等于距离等于的直线的条数为的直线的条数为_条条解析：解析：共有共有3条：其中两条与条：其中两条与A、B所在的直线平行，所在的直线平行，一条过一条过A、B的中点与的中点与A、B所在的直线垂直所在的直线垂直答案：答案：35若直线若直线ax2y60与与x(a1)y(a21)0平行，平行，则它们之间的距离等于则它们之间的距离等于_解析：解析：因为两直线平行，所以有因为两直线平行，所以有a(a1)2，即，即a2a20，解得，解得a2或或1，但当，但当a2时，两直线重合，不合时，两直线重合，不合题意，故只有题意，故只有a1，此时两直线方程分别为，此时两直线方程分别为x2y60和和x2y0，它们之间的距离，它们之间的距离答案：答案：求与已知两直线的交点有关问题，可有以下两种解法：求与已知两直线的交点有关问题，可有以下两种解法：(1)先求出两直线交点，将问题转化为过定点的直线，然后先求出两直线交点，将问题转化为过定点的直线，然后再依其他条件求解再依其他条件求解(2)运用过两直线交点的直线系方程：若两直线运用过两直线交点的直线系方程：若两直线l1：A1xB1y C10，l2：A2xB2yC20有交点，则过有交点，则过l1与与l2交点的交点的直线系方程为直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(为待定为待定常数，不包括直线常数，不包括直线l2)，设出方程后再利用其他条件求解，设出方程后再利用其他条件求解一条直线过点一条直线过点P(1,2)且被两条平行直线且被两条平行直线4x3y10和和4x3y60截取的线段长为截取的线段长为，求这条直线的，求这条直线的方程方程确定一条直线需两个独立条件，本题中已知确定一条直线需两个独立条件，本题中已知直线直线l过点过点P（1，2），故只需再求出直线的），故只需再求出直线的斜率即可斜率即可.【解解】(1)当斜率不存在时，直线方程为当斜率不存在时，直线方程为x1，与两直线，与两直线交点交点|AB|=x1不是所求直线不是所求直线(2)当斜率存在时，设为当斜率存在时，设为k，则所求直线的方程为，则所求直线的方程为y2k(x1)，它与两已知直线分别联立方程组，求出它与两已知直线，它与两已知直线分别联立方程组，求出它与两已知直线的交点坐标分别是的交点坐标分别是得得k7或或k.故所求直线的方程为故所求直线的方程为x7y150或或7xy50.1求经过直线求经过直线l1：3x2y10和和l2：5x2y10的交的交点，且垂直于直线点，且垂直于直线l3：3x5y60的直线的直线l的方程的方程解：法一：解：法一：先解方程组先解方程组得得l1、l2的交点的交点(1,2)，再由，再由l3的斜率的斜率求出求出l的斜率为的斜率为，于是由直线，于是由直线的点斜式方程求出的点斜式方程求出l：y2(x1)，即，即5x3y10.法二：法二：l l3，故，故l是直线系是直线系5x3yC0中的一条，而中的一条，而l过过l1、l2的交点的交点(1,2)，故，故5(1)32C0，由此求出，由此求出C1，故，故l的方程为的方程为5x3y10.法三：法三：l过过l1、l2的交点，故的交点，故l是直线系是直线系3x2y1(5x2y1)0中的一条，将其整理，得中的一条，将其整理，得(35)x(22)y(1)0，其斜率其斜率解得解得，代入直线系方程即得，代入直线系方程即得l的方程为的方程为5x3y10.1点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式是常用的点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式是常用的公式，应熟练掌握公式，应熟练掌握2点到几种特殊直线的距离点到几种特殊直线的距离(1)点点P(x0，y0)到到x轴的距离轴的距离d|y0|.(2)点点P(x0，y0)到到y轴的距离轴的距离d|x0|.(3)点点P(x0，y0)到与到与x轴平行的直线轴平行的直线ya的距离的距离d|y0a|.(4)点点P(x0，y0)到与到与y轴平行的直线轴平行的直线xb的距离的距离d|x0b|.已知点已知点P(2，1)(1)求过求过P点且与原点距离为点且与原点距离为2的直线的直线l的方程；的方程；(2)求过求过P点且与原点距离最大的直线点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是的方程，最大距离是多少？多少？设出直线方程，利用点到直线距离公式求系数即可设出直线方程，利用点到直线距离公式求系数即可.【解解】(1)当当l的斜率的斜率k不存在时显然成立，不存在时显然成立，l的方程为的方程为x2；当当l的斜率的斜率k存在时，存在时，设设l：y1k(x2)，即，即kxy2k10.由点到直线距离公式得由点到直线距离公式得 k l：3x4y100.故所求故所求l的方程为的方程为x2或或3x4y100.(2)作图可得过作图可得过P点与原点点与原点O距离最大的直线是过距离最大的直线是过P点且与点且与PO垂直的直线，由垂直的直线，由l OP，得，得klkOP1，所以所以kl由直线方程的点斜式得由直线方程的点斜式得y12(x2)，即即2xy50.即直线即直线2xy50是过是过P点且与原点点且与原点O距离最大的直线，距离最大的直线，最大距离为最大距离为2设两条直线的方程分别为设两条直线的方程分别为xya0，xyb0，已，已知知a、b是方程是方程x2xc0的两个实根，且的两个实根，且0c，求，求这两条直线之间的距离的最大值和最小值这两条直线之间的距离的最大值和最小值解：解：a、b是方程是方程x2xc0的两个实根的两个实根 ab1，abc.(ab)2(ab)24ab14c.又又 两直线间的距离两直线间的距离 两直线间的最大值为两直线间的最大值为，最小值为，最小值为1中心对称中心对称(1)若点若点M(x1，y1)及及N(x，y)关于关于P(a，b)对称，则由中点坐对称，则由中点坐标公式得标公式得(2)直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用再利用l1 l2，由点斜式得到所求直线方程，由点斜式得到所求直线方程2轴对称轴对称(1)点关于直线的对称点关于直线的对称若两点若两点P1(x1，y1)与与P2(x2，y2)关于直线关于直线l：AxByC0对称，则线段对称，则线段P1P2的中点在对称轴的中点在对称轴l上，而且连接上，而且连接P1P2的的直线垂直于对称轴直线垂直于对称轴l，由方程组，由方程组可得到点可得到点P1关于关于l对称的点对称的点P2的坐标的坐标(x2，y2)(其中其中B0，x1x2)(2)直线关于直线的对称直线关于直线的对称此类问题一般转化为关于直线的对称点来解决，若已知此类问题一般转化为关于直线的对称点来解决，若已知直线直线l1与对称轴与对称轴l相交，则交点必在与相交，则交点必在与l1对称的直线对称的直线l2上，上，然后再求出然后再求出l1上任一个已知点上任一个已知点P1关于对称轴关于对称轴l对称的点对称的点P2，那么经过交点及点那么经过交点及点P2的直线就是的直线就是l2；若已知直线；若已知直线l1与对称与对称轴轴l平行，则与平行，则与l1对称的直线和对称的直线和l1到直线到直线l的距离相等，由的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离，即可求出平行直线系和两条平行线间的距离，即可求出l1的对称的对称直线直线已知直线已知直线l：2x3y10，点，点A(1，2)，求：，求：(1)点点A关于直线关于直线l的对称点的对称点A的坐标；的坐标；(2)直线直线m：3x2y60关于直线关于直线l的对称直线的对称直线m的方程的方程（1）直线）直线l为线段为线段AA的垂直平分线，利用垂直的垂直平分线，利用垂直关系，中点坐标公式解方程组求出关系，中点坐标公式解方程组求出A点坐标；点坐标；（2）转化为点关于直线的对称）转化为点关于直线的对称.【解解】(1)设设A(x，y)，再由已知，再由已知解得解得 A(2)在直线在直线m上取一点如上取一点如M(2,0)，则，则M(2,0)关于直线关于直线l的对称的对称点必在点必在m上，设对称点为上，设对称点为M(a，b)则则 M设设m与与l的交点为的交点为N，由，由得得N(4,3)又又 m经过点经过点N(4,3)，方程为方程为9x46y1020.3在本例条件下，求直线在本例条件下，求直线l关于点关于点A(1，2)对称的直线对称的直线 l的方程的方程解：解：设设P(x，y)为为l上任一点上任一点则则P(x，y)关于点关于点A(1，2)的对称点为的对称点为P(2x，4y)，P在直线在直线l上，上，2(2x)3(4y)10，即即2x3y90.对两直线的交点及距离公式的考查很少单独命题，对两直线的交点及距离公式的考查很少单独命题，多在直线与圆锥曲线位置关系中涉及，对称问题也是多在直线与圆锥曲线位置关系中涉及，对称问题也是考查的热点，注意方法的灵活应用考查的热点，注意方法的灵活应用.2009年全国卷年全国卷考考查了两平行线间距离及直线倾斜角问题，设计新颖查了两平行线间距离及直线倾斜角问题，设计新颖.开开放性、能力性强放性、能力性强.(2009全国卷全国卷)若直线若直线m被两平行线被两平行线l1：xy10与与l2：xy30所截得的线段的长为所截得的线段的长为2，则，则m的倾斜角可以是的倾斜角可以是1530456075其中正确答案的序号是其中正确答案的序号是(写出所有正确答案的序号写出所有正确答案的序号)解析解析如图，由两平行线间距离可得如图，由两平行线间距离可得故故m与两平行线的夹角都是与两平行线的夹角都是30，而两平行线的，而两平行线的倾斜角为倾斜角为45，则，则m的倾斜角为的倾斜角为75或或15，故选，故选.答案答案解决本问题易忽视以下几个方面：解决本问题易忽视以下几个方面：(1)审题过程不知道求出两平行线间的距离，导致问题目标审题过程不知道求出两平行线间的距离，导致问题目标不明确不明确(2)求出平行线间距离，看不出求出平行线间距离，看不出m与与l1、l2的夹角均为的夹角均为30致使致使思路受阻思路受阻(3)不会借助于图形分析不会借助于图形分析m的各种可能性而导致少选，从而的各种可能性而导致少选，从而失误失误同学们思考一下，本题作如下改动后如何求解：同学们思考一下，本题作如下改动后如何求解：若直线若直线m：x+2y-a=0与两平行线与两平行线l1：x-y+1=0，l2：x-y+3=0相交相交且交点在且交点在y轴两侧则轴两侧则a的范围是的范围是.