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<p>第六节第六节 独立性独立性 两个事件的独立性两个事件的独立性多个事件的独立性多个事件的独立性独立性的概念在计算概率中的应用独立性的概念在计算概率中的应用小结小结显然显然 P(A|B)=P(A)这就是说这就是说,已知事件已知事件B发生发生,并不影响事件并不影响事件A发生的概发生的概率率,这时称事件这时称事件A、B独立独立.一、两事件的独立性一、两事件的独立性A=第二次掷出第二次掷出6点点，B=第一次掷出第一次掷出6点点，先看一个例子：先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，将一颗均匀骰子连掷两次，设设 若两事件若两事件A、B满足满足 P(AB)=P(A)P(B)(1)则称则称A、B相互独立相互独立，简称，简称A、B独立独立.两事件独立的定义两事件独立的定义必然事件必然事件必然事件必然事件 与任何事件与任何事件与任何事件与任何事件 是否独立是否独立是否独立是否独立不可能事件不可能事件不可能事件不可能事件 与任何事件与任何事件与任何事件与任何事件 是否独立是否独立是否独立是否独立是是是是 例例 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记记 A=抽到抽到K,B=抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的可见可见,P(AB)=P(A)P(B)由于由于 P(A)=4/52=1/13,故故 事件事件A、B独立独立.问事件问事件A、B是否独立？是否独立？解解P(AB)=2/52=1/26.P(B)=26/52=1/2,两事件是否独立可由定义或通过计算条件概率来两事件是否独立可由定义或通过计算条件概率来判断判断:在实际应用中在实际应用中,往往往往根据问题的实际意义根据问题的实际意义去判去判断两事件是否独立断两事件是否独立.由于由于“甲命中甲命中”并不影响并不影响“乙命中乙命中”的概率，的概率，故认为故认为A、B独立独立.甲、乙两人向同一目标射击甲、乙两人向同一目标射击,记记 A=甲命中甲命中,B=乙乙命中命中，A与与B是否独立？是否独立？例如例如（即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率）（即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率）一批产品共一批产品共n件，从中抽取件，从中抽取2件，设件，设 Ai=第第i件是合格品件是合格品 i=1,2若抽取是有放回的若抽取是有放回的,则则A1与与A2独立独立.因为第二次抽取的结果受到第一次因为第二次抽取的结果受到第一次 抽取的影响抽取的影响.又如：又如：因为第二次抽取的结果因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响不受第一次抽取的影响.若抽取是无放回的，则若抽取是无放回的，则A1与与A2不独立不独立.两事件相互独立两事件相互独立两事件互斥两事件互斥例如例如由此可见由此可见两事件两事件相互独立，相互独立，但两事件但两事件不互斥不互斥.两事件相互独立与两事件互斥的关系两事件相互独立与两事件互斥的关系.请同学们思考请同学们思考二者之间没二者之间没有必然联系有必然联系特别地，当特别地，当P(A)0,P(B)0时，两者不能同时成立时，两者不能同时成立由此可见由此可见两事件两事件互斥互斥但但不独立不独立.定理定理 2 若两事件若两事件A、B独立独立,则则 也相互独立也相互独立.设设A、B为互斥事件，且为互斥事件，且P(A)0,P(B)0,下面四下面四个结论中，正确的是：个结论中，正确的是：前面我们看到独立与互斥的区别和联系，前面我们看到独立与互斥的区别和联系，1.P(B|A)0 2.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=0 4.P(AB)=P(A)P(B)设设A、B为独立事件，且为独立事件，且P(A)0,P(B)0,下面四下面四个结论中，正确的是：个结论中，正确的是：1.P(B|A)0 2.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=0 4.P(AB)=P(A)P(B)再请你做个小练习再请你做个小练习.二、多个事件的独立性二、多个事件的独立性 对于三个事件对于三个事件A、B、C，若，若 P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)四个等式同时成立四个等式同时成立,则称则称事件事件A、B、C相互独立相互独立.3、多个事件两两独立与相互独立的区别与联系、多个事件两两独立与相互独立的区别与联系两两独立两两独立相互独立相互独立对对 n(n 2)个事件个事件?2、n个事件个事件相互独立相互独立，则它们中的任意，则它们中的任意m(2 )个事个事件也相互独立件也相互独立1、注：注：对独立事件，许多概率计算可得到简化对独立事件，许多概率计算可得到简化三、独立性的概念在计算概率中的应用三、独立性的概念在计算概率中的应用即即 例例3 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？能将密码译出的概率是多少？解解 将三人编号为将三人编号为1，2，3，所求为所求为 记记 Ai=第第i个人破译出密码个人破译出密码 i=1,2,3已知已知,P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/412 =1-1-P(A1)1-P(A2)1-P(A3)3则则则则于是整个系统的可靠性为于是整个系统的可靠性为于是整个系统的可靠性为于是整个系统的可靠性为例例例例4 4 某系统由四个部件构成某系统由四个部件构成某系统由四个部件构成某系统由四个部件构成(见图见图见图见图).).设每个部件的可靠性均为设每个部件的可靠性均为设每个部件的可靠性均为设每个部件的可靠性均为 且四个且四个且四个且四个部件是相互独立的部件是相互独立的部件是相互独立的部件是相互独立的.求整个系统的求整个系统的求整个系统的求整个系统的可靠性可靠性可靠性可靠性.记记记记A=A=整个系统正常工作整个系统正常工作整个系统正常工作整个系统正常工作 A Ai i=第第第第i i个部件正常工作个部件正常工作个部件正常工作个部件正常工作,i=1,2,3,4,i=1,2,3,4 I、II 串联串联串联串联 III、IV 串联串联串联串联并联并联并联并联系统可靠性系统可靠性系统可靠性系统可靠性=P=P=P=P系统正常工作系统正常工作系统正常工作系统正常工作 系统可靠性概念系统可靠性概念:解解:解解“甲甲甲甲”,“乙乙甲甲甲甲”,“甲甲乙乙甲甲”;“甲甲乙乙甲甲甲甲”,“乙乙甲甲甲甲甲甲”,“甲甲甲甲乙乙甲甲”;样本空间的划样本空间的划样本空间的划样本空间的划分分分分 这一讲，我们介绍这一讲，我们介绍了事件独立性的概念了事件独立性的概念.不不难发现，当事件相互独立时，乘法公式难发现，当事件相互独立时，乘法公式变得十分变得十分简单，因而也就特别重要和有用简单，因而也就特别重要和有用.如果事件是独如果事件是独立的，则许多概率的计算就可大为简化立的，则许多概率的计算就可大为简化.四、小结四、小结1,设两事件与互斥，且设两事件与互斥，且P(A)0，P(B)0，则（，则（D）正确正确 A 与与 互斥互斥 B 与与 互斥互斥 C.P(AB)=P(A)P(B)D.P(A-B)=P(A)2(93),设两事件设两事件与与满足满足P(B|A)=1,则（则（D）正确。）正确。A.A是必然事件是必然事件 B.C.D.思考题思考题3、某人向同一目标独立重复射击某人向同一目标独立重复射击,每次射击命每次射击命中目标的概率为中目标的概率为p(0p0,则（则（B）成立。）成立。A.P(A)P(A|B)B.P(A)P(A|B)C.P(A)P(A|B)D.P(A)P(A|B)(分赌注问题分赌注问题)甲、乙各下注甲、乙各下注a元，以猜硬币方式元，以猜硬币方式赌博，五局三胜，胜者获得全部赌注。若甲赢得第赌博，五局三胜，胜者获得全部赌注。若甲赢得第一局后，赌博被迫中止，赌注该如何分？一局后，赌博被迫中止，赌注该如何分？解法一：解法一：应按照比赛双方最终获胜的可能性分赌注。应按照比赛双方最终获胜的可能性分赌注。即在余下的四局中甲赢得即在余下的四局中甲赢得2局以上即可。局以上即可。甲最终获胜的概率为甲最终获胜的概率为P4(2)+P4(3)+P4(4)每局甲获胜的概率是每局甲获胜的概率是1/2赌注应按赌注应按11：5的比例分配。的比例分配。解法二：解法二：一般情况下不必比到第五局，有一方赢得三局即中止一般情况下不必比到第五局，有一方赢得三局即中止甲方在第三局结束赌博获得胜利的概率为甲方在第三局结束赌博获得胜利的概率为甲方在第四局结束赌博获胜的概率为甲方在第四局结束赌博获胜的概率为甲方在第五局结束赌博获胜的概率为甲方在第五局结束赌博获胜的概率为故甲方最终获胜的概率为故甲方最终获胜的概率为P(B3+B4+B5)=P(B3)+P(B4)+P(B5)赌注应按赌注应按11：5的比例分配。的比例分配。设每个人血清中含有肝炎病毒的概率为设每个人血清中含有肝炎病毒的概率为设每个人血清中含有肝炎病毒的概率为设每个人血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%0.4%,求混合求混合求混合求混合100100个人的血清中含有肝炎病毒的概率个人的血清中含有肝炎病毒的概率个人的血清中含有肝炎病毒的概率个人的血清中含有肝炎病毒的概率.则所求概率为则所求概率为则所求概率为则所求概率为解：记解：记解：记解：记第第第第 个人血清含肝炎病毒个人血清含肝炎病毒个人血清含肝炎病毒个人血清含肝炎病毒根据实际问题根据实际问题根据实际问题根据实际问题判断事件独立性判断事件独立性判断事件独立性判断事件独立性思思考考题题 1 1、2 2、3 3号号高高炮炮同同时时对对飞飞机机进进行行射射击击,三三门门炮炮击击中中飞飞机机的的概概率率分分别别为为0.40.4、0.50.5、0.7.0.7.飞飞机机被被一一门门炮炮击击中中而而被被击击落落的的概概率率为为0.2,0.2,被被两两门门炮炮击击中中而而被被击击落落的的概概率率为为0.6,0.6,若若被被三三门门炮炮击击中中,飞飞机机必必定定被被击击落落.求求飞飞机机被被击击落落的的概率概率则则则则 解解解解:记记记记 A=A=飞机被击落飞机被击落飞机被击落飞机被击落 飞机被飞机被飞机被飞机被 门炮击中门炮击中门炮击中门炮击中第第第第 门炮击中飞机门炮击中飞机门炮击中飞机门炮击中飞机样本空间的划样本空间的划样本空间的划样本空间的划分分分分由全概率公式有由全概率公式有由全概率公式有由全概率公式有由事件的互斥及独立性有由事件的互斥及独立性有由事件的互斥及独立性有由事件的互斥及独立性有同理同理,</p>