也谈多普勒效应的叠加性.pdf

第卷第期大学物理 年月收稿日期：；修回日期：基金项目：山东科技大学教育教学研究“群星计划”项目（；）资助作者简介：周强（），男，山东济南人，山东科技大学电子信息工程学院副教授，主要从事大学物理教学与电磁场研究工作通信作者：李鹏，：也谈多普勒效应的叠加性周强，刘静，李鹏（山东科技大学 电子信息工程学院，山东 青岛）摘要：关于多普勒效应的叠加性，论文弹性波相位不变性与平面弹性波变换中指出：在相对论情形，多普勒效应不具有叠加性本文不同意这一观点，通过澄清频率变换与多普勒效应的关系，引入效应因子和叠加性的定义，分别由相位不变原理和四维波矢的洛伦兹变换分析这一问题所得结论为：相对论情形的多普勒效应仍具有叠加性关键词：效应因子；叠加性；四维波矢；洛伦兹变换中图分类号：文献标识码：文章编号：（）【】文献 利用相位不变原理和参考系间的坐标变换分析了平面波变换，包括频率、波行差、波速、波长等变换其中指出：式（）是式（）与（）的合并，可见经典情形的多普勒效应具有叠加性；但式（）不能由式（）与（）合并得到，表明相对论情形的多普勒效应不具有叠加性；还可证明横向多普勒效应不具有叠加性本文不同意上述观点，认为文献在引用公式过程中存在失误，将由图、图所得多普勒效应公式机械地用到图中而没有考虑物理量的变化及波行差，从而导致了错误结论本文通过澄清频率变换与多普勒效应的关系，引入效应因子和叠加性的定义，分别由相位不变原理和四维波矢的洛伦兹变换分析多普勒效应的叠加性问题其中为了便于比较，本文尽量采用文献中的图表及符号表示，只作必要的修改文献中存在的问题及问题分析将文献中的图图重新绘制并作必要修改，如本文图图所示图中波源以速度沿轴方向运动、观测者静止，其多普勒效应称为效应；图中波源静止、观测者以速度沿轴方向运动，其多普勒效应称为效应；图中波源和观测者分别以速度、沿轴方向运动，其多普勒效应称为效应其中各参考系中波的角频率分别为、，波速分别为、，其方向与轴正向夹角分别为、Copyryrpiggihtty图多普勒效应(c)2)00000-22图多普勒效应002 200 B B ei0i 02Bijn图多普勒效应文献中存在的问题首先，文献将相位不变原理和伽利略坐标变换用于图中得式（）：（），用第期周强，等：也谈多普勒效应的叠加性 于图中得式（）：（），用于图中得式（）：（）（）并得出结论：式（）是式（）与（）的合并，可见经典情形的多普勒效应具有叠加性其次，文献 将相位不变原理和洛伦兹坐标变换用于图中得式（）：槡（），用于图中得式（）：槡（），用于图中得式（）：槡槡（）并得出结论：式（）不能由式（）与（）的合并得到，表明相对论情形的多普勒效应不具有叠加性另外，文献进一步讨论了横向多普勒效应，将 代 入 式（）得 式（）：槡槡（）而将 分别代入（）、（）得：槡、槡，两式合并得式（）：槡槡，该式与式（）显然不同特别是当 时，由式（）得，是合理的；而由式（）得（），是不合理的表明横向多普勒效应不具有叠加性对文献中存在问题的分析上述观点是否正确？让我们从两式合并谈起分析叠加性就是寻找效应与效应、之间的关系，即效应的表达式是由效应、的表达式通过怎样的运算关系组合而成，这需要将效应、的表达式用在图中来分析现在来看若将效应、的表达式原封不动地直接照搬到图中使用是否合适？对经典情形，由于没有波行差，则，这样做看似可以，但细究起来则有待探讨，其中涉及到两式合并问题试问上文中所提两式合并是怎么合并？文献中没有明确，为此笔者查阅了不少资料，仅在舒幼生先生编著的力学教科书中找到了说明：波源单独运动和接收者单独运动的种多普勒频率表达式以相乘的方式结合后，便是波源和接收者相对介质都运动的多普勒频率公式，若按此理解，“两式合并”应为“两式相乘”那问题就来了，如将式（）与（）相乘得：（）（槡），该式显然不是式（），这表明在两式合并方式上有待进一步明确其实细心对比就会发现，由图、图到图，介质、波源、观测者间的相对运动关系有所变化，相应地部分物理量也发生了变化，只要注意到这些变化则问题就迎刃而解了，即在将效应、的表达式用在图中时，须将其中相应的物理量换成图中对应的物理量来表示考虑了这些变化后，上文中式（）与（）相乘的结果才是式（）而对相对论情形也须同样处理，且情况更复杂，由于，则还须考虑波行差的存在考虑了这两个因素后，上文中式（）与（）相乘的结果就是式（），且看下面分解相关概念的澄清与引入频率变换与多普勒效应的关系以图为例，一般地，个角频率、中任意个之间的关系称参考系间的频率变换其中系中的角频率等于观测者的接收频率，系中的角频率等于波源的发射频率，二者间的关系即为多普勒效应所以多普勒效应本质上是特殊的频率变换，即仅指观测者的接收频率与波源的发射频率间的变换与一般的频率变换有正逆个变换式一样，它也有个计算式，这个计算式表达形式不同实则等价效应因子与叠加性的定义将观测者的接收频率与波源的发射频率的比值称为效应因子，并设效应的因子为、效应的因子为、效应的因子为因多普勒效应有个等价的计算式，故其效应因子也有个等价的表达式，即效应的因子有个、效应的因子有个、效应的因子也有个而效应与效应、之间的关系，用效应因子表示即为与、的关系，按文献中所述“两式相乘”则其关系为，即效应由效应、叠加而成，称多普勒效应的叠加性因效应、分别有个等价因子，故其因子乘积共有种等价组合：而由于种组合等价，故可用其中任一种组合来证明多普勒效应的叠加性由相位不变原理分析多普勒效应叠加性效应、在图中的表示如图所示，文献中的式（）是效应的多普勒效应公式之一，其中等于静止在介质系中的观测者的接收频率而到了图中，观测者已不在介质系中，故该式只表示 系间的频率变换关系，即要将该式用到图中，须将其中的、分别改为系中的、，得 大学物理第卷槡（）其中，为真空中的光速而效应的多普勒效应公式之二文献中没有给出，可由和的洛伦兹坐标变换直接导出，结果为 槡（）可见以上式等价，即有 并由此得间的波行差关系式槡 槡（）如图所示，文献中式（）是效应的多普勒效应公式之一，其中等于静止在介质系中的波源的发射频率而到了图中，波源也已不在介质系中，故该式只表示 系间的频率变换关系，即要将该式用到图中，须将其中的、分别改为系中的、（下同），得 槡（）其中 而文献中式（）是效应的多普勒效应公式之二，同上将其中的改为得槡（）可见以上两式等价，即有并由此得 间的波行差关系式 槡槡（）相对论情形多普勒效应的叠加性分析文献中式（）是效应的多普勒效应公式之一，将式（）中的 整体解出后代入，得槡 op槡 op（）而文献中式（）是效应的多普勒效应公式之二，将式（）中的 整体解出后代入，得槡 op槡 op（）可见以上式等价，即有 且均可由式（）与（）相乘得到，由叠加性定义知：相对论情形的多普勒效应具有叠加性另外，由式（）或（）与式（）或（）相乘可组合成效应因子 的种不同形式的等价表达式除式（）外，还有如下种形式将式（）与（）相乘，得槡槡 op op（）将式（）与（）相乘，得 op op槡槡（）将式（）与（）相乘，得槡 op槡 op（）根据叠加性定义，由以上式同样可得相对论情形的多普勒效应具有叠加性现更正文献中关于多普勒效应叠加性的论述：）式（）显示：文献中的式（）可由式（）与（）相乘得到，表明相对论情形的多普勒效应具有叠加性；）关于横向多普勒效应，将 代入式（）得横向效应因子槡；将 先代入式（）得 ，再将此结果代入式（）得横向效应因子槡（）两式相乘即得文献中的式（），即横向效应因子，由叠加性定义知：横向多普勒效应具有叠加性该结论也可由式（）式（）中任一式分析得到（略）文献中式（）、（）的其它表示形式由洛伦兹速度变换得，系相对于系沿轴方向的相对速度为（）书 书 书第期周强，等：也谈多普勒效应的叠加性 并由此可得槡槡槡（）其中 将以上式代入文献中式（）得槡（）同理将式代入文献中式（）得 槡（）可见以上式等价，即有 并由此得 间的波行差关系式槡 槡（）由此再分析横向多普勒效应将 直接代入式（）得横向效应因子 槡；将 先代入式（）得 ，再将此结果代入式（）得横向效应因子 槡可见横向效应因子而将式（）代入文献中式（），也可得同样结果由四维波矢变换分析多普勒效应叠加性将相位不变原理和洛伦兹坐标变换应用到图中任意两个参考系间，可直接导出上节中相应的结果，但推导过程繁琐如由和的洛伦兹坐标变换可直接导出式（）式（）；由和的洛伦兹坐标变换可直接导出式（）式（）；由和的洛伦兹坐标变换可直接导出式（）式（）而分析平面波变换（包括多普勒效应）最简单的方法是利用四维波矢的洛伦兹变换若惯性系相对于惯性系以速度沿轴方向运动，则四维波矢（，）由系到系的洛伦兹变换为（）Co，（）其中 、槡（为波速，沿用文献中的符号表示）在图中的任意个参考系间作上述四维波矢变换，也可得出上节中相应的结果，但此方法简单如在 间作四维波矢变换可得式（）式（）；在 间作四维波矢变换可得式（）式（）；在 间作四维波矢变换可得式（）式（）但式（）、（）不能直接反映出多普勒效应的叠加性，要分析叠加性，需将式（）、（）、（）代入式（）或将式（）、（）、（）代入式（）得式（），根据叠加性定义，由式（）来分析证明（同前）结论综上所述，在图中，效应、分别表示为比值、，而效应的比值，此即为多普勒效应叠加性的根源本文据此引入效应因子与叠加性的定义，并严格分析了多普勒效应的叠加性问题，由上述分析得，与经典情形的多普勒效应一样，相对论情形的多普勒效应也具有叠加性参考文献：张金钟弹性波相位不变性与平面弹性波变换大学物理，（）：舒幼生力学（物理类）北京：北京大学出版社，：周强，周明东，李鹏由光的频率变换谈光的多普勒效应物理与工程，（）：赵凯华不同参考系中多普勒效应公式的统一大学物理，（）：，（，）：，“（下转页）第期冯睿骐，等：用模拟网球拍效应 参考文献：，（）：，：，：，：，：，：，“”，林炯辉，刘玉颖，宋 敏刚体运动三维可视化模拟和复摆相关问题探讨大学物理，（）：邵瀚雍刚体一般运动的描述大学物理，（）：楼晨煊，周婧琳，郑雪瑶，等利用手机传感器测定刚体的惯性张量大学物理，（）：，（，）：（），：；（上接页）”，：；