小题深探 “圆”来如此——一道高考题的探究与反思.pdf

投稿邮箱院数学教学通讯 2023 年 7 月（下旬）作者简介院林财福（1980），本科学历，中学一级教师，从事高中数学教学工作.小题深探“圆”来如此一道高考题的探究与反思林财福厦门市新店中学361100咱摘要暂 文章通过对2022年高考数学全国玉卷第14题的追踪溯源尧解法探析尧立意探究袁找到新高考试题与新教材之间的关系袁为高考复习提供助力.关键词新高考曰新教材曰高三复习试题研究2022年高考数学全国玉卷试题坚持立德树人袁体现了核心价值.试题注重新课程标准尧新教材尧新高考要求的统一性袁落实野一核尧四层尧四翼冶评价要求袁深度考查关键能力袁充分发挥育人功能.本文通过对2022年高考数学全国玉卷第14题的追踪溯源尧解法探析尧立意探究袁找到新高考试题与新教材之间的关系袁为高考复习提供助力.试题呈现 2022年高考数学全国玉卷第14题如下渊下文简称题1冤:题1 写出与圆x2+y2=1和渊x原3冤2+渊y原4冤2=16都相切的一条直线的方程_援评析 此题考查圆与圆的位置关系尧直线与圆的位置关系等知识曰考查数形结合思想尧函数与方程思想曰考查运算能力尧逻辑推理能力援试题溯源2022年高考数学全国玉卷无疑是一份链接新教材的新高考试卷袁题1的背景与文咱1暂第98页课后练习第1题极其相似袁原题如下渊下文简称题2冤院题2 已知圆C1院x2+y2=4袁圆C2院x2+y2原8x原6y+16=0袁判断圆C1与圆C2的位置关系咱1暂98援评析 此题为野圆与圆的位置关系冶的课后练习题袁圆C1与圆C2的位置关系为外切.高考命题专家在此题的基础上袁加入了对两圆的公切线方程的考查袁 对两圆位置的微调袁给考生提供了更为广阔的思维空间.解法探析题1属于结论开放性试题袁只要求写出一条公切线的方程袁无须求出所有公切线.解法1 设公切线为y=kx+b渊k存在时冤袁则bk2+1 姨=1袁3k原4+bk2+1 姨=4袁扇墒设设设设设设设缮设设设设设设设解得k=724袁b=原2524扇墒设设设设设设缮设设设设设设或k=原34袁b=54.扇墒设设设设设设缮设设设设设设故两圆的一条公切线的方程可以是7x原24y原25=0渊或3x+4y原5=0冤援评析 待定系数法不用去判断两圆的位置关系袁但计算难度相对较大袁对考生的数学运算素养的要求较高.解法2 圆x2+y2=1的圆心为O袁半径r1=1曰圆渊x原3冤2+渊y原4冤2=16的圆心为C渊3袁4冤袁半径为r2=4.注意到OC=r1+r2袁故圆O与圆C的位置关系为外切援设切点为M袁OM=15OC=35袁45袁即M35袁45袁所以公切线的斜率k=原1kOC=原34.故过点M的公切线为y原45=原34x原35袁即3x+4y原5=0.故两圆的一条公切线的方程为3x+4y原5=0.评析 利用向量知识可快速求出切点M的坐标袁突出考生综合运用所学知识解决实际问题的能力.解法3 判断两圆的位置关系为外切渊同解法2冤袁两圆方程作差可得3x+4y原5=0袁故两圆的一条公切线的方程为3x+4y原5=0.评析 判断两圆的位置关系为82投稿邮箱院数学教学通讯2023 年 7 月（下旬）试题研究外切后袁两圆方程作差得到的直线方程即两圆的内公切线方程袁此解法要求考生平时对两圆方程作差所得直线的几何意义有更深入的研究.解法4 如图1所示袁可以直接发现直线x=原1为两圆的一条公切线.xOyCP图1评析 通过作图野以形助数冶袁直观感知直线x=原1为两圆的一条公切线袁此解法对考生的作图能力的要求较高.不但如此袁直观感知直线x=原1为两圆的一条公切线后袁还应野以数解形冶进行验证.解法5 如图1所示袁设两圆的外公切线的公共点为P渊3t袁4t冤袁则OPPC=r1r2圳原5t原5t+5=14圳t=原13.此时外公切线与直线PC的夹角兹满足sin兹=r2原r1OC=35圳tan兹=34袁即直线PC的斜率kPC=43.所以两圆的其中一条公切线的斜率为kPC原tan兹1+kPC窑 tan兹=724袁其方程为y=724渊x+1冤原43袁整理得7x原24y原25=0援评析 从图形出发袁利用三角形相似求出点P的坐标以及公切线的斜率袁进而得到公切线的方程.命题立意1.体现高考的核心功能高考的核心功能是野立德树人尧服务选材尧引导教学冶咱2暂5.在立德树人方面袁学生要对试题进行分析尧思考尧探索尧论证袁这一系列的思维过程袁体现了学生善于思考尧不畏困难的意志品质和科学精神曰在服务选材方面袁如果学生采用的是解法3或解法4袁就可以避开烦琐的运算袁争取留更多的时间解答后面的试题曰在引导教学方面袁通过考查直线与圆的核心知识袁考查学生的关键能力以及核心素养袁引导教师更加关注学生的野四基冶和野四能冶袁培养学生的核心素养.2.突出学科素养和关键能力在学科素养层面袁解答题1时袁若学生采用的是解法1袁这对学生的计算能力的要求较高袁考查学生的数学运算素养曰通过作图分析袁考查学生的直观想象素养曰在整个解题过程中袁考查学生的逻辑推理素养.在关键能力层面袁题1考查学生的问题分析能力尧空间想象能力尧推理论证能力以及创新实践能力.3.凸显野四翼冶要求的设计理念野四翼冶为高考的考查要求袁它回答了高考野怎么考冶的问题.野四翼冶包括基础性尧综合性尧应用性尧创新性四个维度咱2暂5.题1主要考查圆与圆的位置关系尧两圆的公切线袁考查学生的基础知识尧基本能力和基本素养袁属于野基础性冶维度曰考查学生运用所学知识解决实际问题的能力袁属于野综合性冶维度曰考查学生运用向量方法解决问题的能力袁属于野应用性冶维度.题1是结论开放性试题袁学生只要写出其中一条公切线方程即可袁属于野创新性冶维度袁体现了试题创新性的特点.教学备考建议1.厘清知识脉络袁落实基础知识美国著名学者布鲁纳认为院野不论我们选教什么学科袁务必使学生理解学科的基本结构.这是在运用知识方面的最低要求袁它有助于解决学生在课外所遇到的问题和事件袁或者在日后训练中遇到的问题.冶因此袁在高三复习过程中袁教师先要引领学生对基础知识进行梳理和归纳袁构建各章节的知识框架袁厘清各知识间的层次关系曰再将同类知识进行合理野拼接冶袁梳理各知识间的横向关系曰最后完善学生的知识网络袁不断扩充学生的知识体系.在构建知识网络和知识体系的过程中袁需要教师适当放手袁给学生足够的时间去总结尧反思袁让学生以自己的方式构建属于自己的知识网络和知识体系.在这样主动参与的学习过程中袁学生将教材知识逐步内化到自己的知识网络和知识体系中袁能厘清各知识间的联系袁对零散的知识有整体上的认识袁加深对知识的理解尧迁移和应用.例如袁复习直线与圆这一章节时袁我们可以如图2所示对本章节的知识结构进行梳理.2.拓展教材内容袁拓宽知识广度新教材的内容安排丰富多彩袁包括正文尧思考尧旁白尧探究尧阅读尧探究性习题尧应用与建模尧问题与探究等.教材中的正文是对核心知识的抽象尧简洁的描述袁而教材中的旁白尧探究尧思考等辅文隐含对核心知识的解读和延伸.想要深入理解和掌握核心知识袁需要对这些辅文进行归纳尧总结.另外袁从高考试题的分析和研究中发现袁高考试题考查的不只是核心知识袁还有与核心知识相关的外延知识.因此袁在高三复习中袁除了要重视正文袁也要深入研究辅文袁探究其丰富的内涵与外延.例如袁文咱1暂第96页的例5袁原题如下渊下文简称题3冤院题3 已知圆C1院x2+y2+2x+8y原8=0袁圆C2院x2+y2原4x原4y原2=0袁试判断圆C1与圆C2的位置关系咱1暂96援两圆方程相减袁 得到x+2y原1=0袁旁白栏目中的内容如下院野画出圆C1与圆C2以及方程盂渊注院x+2y原1=0为方程盂冤表示的直线袁你发现了什么钥你能说明为什么吗钥 冶通过作图探究发现野方程盂表示的直线刚好是两圆公共弦所在的直线冶袁通过推理论证这一结论具有一般性.结论1院当两圆相交时袁两圆方程相减所得的直线为两圆相交弦所在的直线.接着袁教师可以进一步引导学生83投稿邮箱院数学教学通讯 2023 年 7 月（下旬）试题研究思考院当两圆相切时袁两圆方程相减所得的直线又是什么钥当两圆相离时呢钥 当两圆内含时呢钥结论2院当两圆相切渊外切和内切冤时袁两圆方程相减所得的直线为过切点的公切线.结论3院当两圆相离时袁两圆方程相减所得的直线上任一点到两圆的切线长相等.结论4院当两圆内含时袁两圆方程相减所得的直线上任一点到两圆的切线长相等.两圆方程相减所得的直线称为两圆的根轴.其实袁无论两圆是相交尧相切还是相离尧内含袁其根轴的性质可以统一为院两圆外的根轴上任意一点到两圆的切线长相等.这是高数的知识内容袁教师讲解题3后袁可适时加以拓展袁以拓宽学生的知识面.题1的解法3利用的就是结论2袁大大减少了计算量.3.开发野二级结论冶袁挖掘知识深度野二级结论冶是指通过教材中的一些定理尧公理进行推导所得到的结论袁一般是经验性的利于考试解题的结论.野二级结论冶往往是高考命题的重要素材袁是解答高考试题的重要工具.野二级结论冶不能死记硬背袁而应在理解的基础上去记忆.在解析几何这一模块中袁就有许多野二级结论冶.例如袁若点P渊x0袁y0冤为圆O院x2+y2=r2上的点袁则过点P且与圆O相切的直线方程为x0 x+y0y=r2.在题1的解法2中袁求出点M的坐标后利用这一野二级结论冶即可得到一条切线方程为35x+45y=1袁即3x+4y原5=0.在椭圆尧双曲线尧抛物线中也有类似的野二级结论冶袁若能合理运用袁将会大大提高解题速度.4.强化变式训练袁提高复习效益数学教育家波利亚指出院野如果不耶变化问题爷袁我们几乎不能有什么进展.冶因此袁在高三复习中袁教师讲解教材中的例题和习题时袁不能就题论题袁 而应该利用知识间的内在联系袁做好变式教学袁将零散的题目整合为题组袁这有助于学生会一题就可以解决一类题袁在知识迁移的过程中培养学生的能力素养.对于题2袁可以提出以下这样的变式题.渊1冤求距离.变式题1院已知圆C1院x2+y2=4袁圆C2院x2+y2原8x原6y+16=0袁直线l与两圆分别相切于A袁B两点袁则AB=_.渊答案院26 姨冤渊2冤求圆的方程.变式题2院已知圆C1院x2+y2=1袁圆C2院x2+y2原6x原8y+7=0袁则过圆C1袁C2的交点袁且过原点的圆的方程为_.答案院x2+y2原34x原y=0渊3冤求轨迹方程.变式题3院已知圆C1院x2+y2=1袁圆C2院x2+y2原6x原8y+16=0袁点M到圆C1与到圆C2的切线长相等袁则点M的轨迹方程为_.渊答案院6x+8y原17=0冤渊4冤圆与不等式的综合.变式题4院已知圆C1院x2+y2+2ax+a2原4=0与圆C2院x2+y2原2by+b2原1=0内切袁若a袁b沂R袁且ab屹0袁则1a2+1b2的最小值为_.渊答案院4冤渊5冤圆与向量的综合.变式题5院若AB为圆C1院x2+y2=1的任意一条直径袁P为圆C2院x2+y2原6x原图2位置关系相离相切相交图形OOO驻0drd=rd0圯相交d=0圯内切或外切d0圯内含或外离直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系内切内含r1r2r1r2d=r1-r2渊r1屹r2冤0臆dr1+r2位置关系外离图示r1r2外切r2r1d=r1+r2相交r1r2r1-r2dr1+r284投稿邮箱院数学教学通讯2023 年 7 月（下旬）0袁有tan琢=yx=yrxr=sin琢cos琢噎噎师院三角函数的定义源于直角三角形袁反之袁通过勾股定理获得同角三角函数的基本关系对研究三角函数与三角恒等变换有重要意义.哪位同学来具体说说对于三角函数线的研究过程钥生12院如图4所示袁当点P移至点P忆时袁结合三角形相似比不变的特征袁可知琢的三角函数值与位于终边上的点P的位置没有关系.如图5所示袁将点P移至单位圆上袁得sin琢=y1=y=PM袁cos琢=x1=x=OM袁tan琢=y忆=M忆P忆.当任意角茁的终边与仔+琢的终边相同袁则sin茁=sin渊仔+琢冤=原y=原 PM袁cos茁=cos渊仔+琢冤=原x=原 MO袁tan茁=tan渊仔+琢冤=原y忆=原 P忆M忆袁据此获得三角函数线.O琢M忆MPP忆xy图4O琢M忆MPP忆xy仔+琢图5师院非常好浴 三角函数线作为研究三角函数的工具袁通过它能得到三角函数的什么性质钥渊此时学生学习热情高涨袁表现出较高的积极性与探索欲冤生13院观察图5袁结合三角函数线和终边对称关系袁可得诱导公式一尧公 式 二 尧 公 式 三 以 及 公 式 四 袁 即sin渊2k仔+琢冤=sin琢袁cos渊2k仔+琢冤=cos琢袁tan渊2k仔+琢冤=tan琢袁扇墒设设设设缮设设设设sin渊仔原琢冤=sin琢袁cos渊仔原琢冤=原cos琢袁tan渊仔原琢冤=原tan琢袁扇墒设设设设缮设设设设sin渊仔+琢冤=原sin琢袁cos渊仔+琢冤=原cos琢袁tan渊仔+琢冤=tan琢袁扇墒设设设设缮设设设设sin渊原琢冤=原sin琢袁cos渊原琢冤=cos琢袁tan渊原琢冤=原tan琢.扇墒设设设设缮设设设设借助三角函数线推导诱导公式袁不仅揭示了诱导公式的本质要要要野把角的终边对称关系转化为同角三角函数的基本关系冶袁还有机渗透了数形结合思想袁让学生从野角的终边对称关系冶出发袁深刻认识诱导公式.随着探究的深入袁学生不仅重温了三角函数的定义袁还有效发散了思维袁激发了学生的学习兴趣袁推进了学生理解能力的发展.学案导学在此过程中起到了至关重要的作用袁学案探究为学生奠定了良好的知识基础袁致使课堂教学推进稳步顺利.另外袁在教师适当的点拨下袁学生不仅自主探寻出了知识本质袁还提炼了数形结合思想尧转化思想等.在学案导学过程中袁学案的主要作用是为新知建构或系统复习奠定基础.究竟该如何利用学案帮助学生超越自我呢钥 研究发现袁紧紧围绕教学内容与学案类型展开教学活动袁往往能为学生的思维铺设台阶袁让课堂在精心预设中实现动态生成.总之袁高中数学教学应利用好学案袁引导学生抽丝剥茧获得知识本质袁回归教育本源袁远离题海战术袁从真正意义上践行自主学习尧全面发展的教育理念袁让教育教学从真正意义上实现野立德树人袁五育并举冶.渊上接第 76 页冤试题研究8y+16=0上任意一点袁则PA窑PB的取值范围为_.渊答案院咱3袁63暂冤变式题6院若A袁B为圆C1院x2+y2=1上的动点袁且AB=3 姨袁P为圆C2院x2+y2原6x原8y+16=0上任意一点袁则PA+PB的取值范围为_.渊答案院咱3袁17暂冤渊6冤存在性问题.变式题7院已知圆C1院x2+y2=4袁圆C2院x2+y2原8x原6y+16=0.淤判断圆C1与圆C2的位置关系曰于直线C1C2上是否存在点C袁使得过点C分别作圆C1与圆C2的切线袁切点分别为A袁B两点袁满足CA=2CB钥若存在袁求出点C的坐标曰若不存在袁请说明理由.答案院淤外切曰于存在袁C13615袁345评析 通过对教材习题渊题2冤的变式拓展袁得到了一系列问题袁这些问题是关于圆这部分知识内容的重要题型.变式拓展对于实现知识结构脉络化尧模块知识系统化尧关联知识整体化有积极意义袁对学生寻野根冶究野本冶尤为重要.总之袁在新高考背景下袁高三教师应关注新课标要求袁研究新高考命题规律及特点袁熟练把握新教材的内容袁主动发现教材中隐性的知识成分袁精心备考袁明确方向袁方能指导学生更好地应对新高考.参考文献院1人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中教科书数学选择性必修第一册（A版）M.北京：人民教育出版社，2019.2教育部考试中心.中国高考评价体系 M.北京：人民教育出版社，2019.3余小芬.回归教材高三复习的正道以人教版函数与导数为例 J.数学通报，2018，57（12）：9-13.85