小题深探 “圆”来如此——一道高考题的探究与反思.pdf
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1、投稿邮箱院数学教学通讯 2023 年 7 月(下旬)作者简介院林财福(1980),本科学历,中学一级教师,从事高中数学教学工作.小题深探“圆”来如此一道高考题的探究与反思林财福厦门市新店中学361100咱摘要暂 文章通过对2022年高考数学全国玉卷第14题的追踪溯源尧解法探析尧立意探究袁找到新高考试题与新教材之间的关系袁为高考复习提供助力.关键词新高考曰新教材曰高三复习试题研究2022年高考数学全国玉卷试题坚持立德树人袁体现了核心价值.试题注重新课程标准尧新教材尧新高考要求的统一性袁落实野一核尧四层尧四翼冶评价要求袁深度考查关键能力袁充分发挥育人功能.本文通过对2022年高考数学全国玉卷第14
2、题的追踪溯源尧解法探析尧立意探究袁找到新高考试题与新教材之间的关系袁为高考复习提供助力.试题呈现 2022年高考数学全国玉卷第14题如下渊下文简称题1冤:题1 写出与圆x2+y2=1和渊x原3冤2+渊y原4冤2=16都相切的一条直线的方程_援评析 此题考查圆与圆的位置关系尧直线与圆的位置关系等知识曰考查数形结合思想尧函数与方程思想曰考查运算能力尧逻辑推理能力援试题溯源2022年高考数学全国玉卷无疑是一份链接新教材的新高考试卷袁题1的背景与文咱1暂第98页课后练习第1题极其相似袁原题如下渊下文简称题2冤院题2 已知圆C1院x2+y2=4袁圆C2院x2+y2原8x原6y+16=0袁判断圆C1与圆C
3、2的位置关系咱1暂98援评析 此题为野圆与圆的位置关系冶的课后练习题袁圆C1与圆C2的位置关系为外切.高考命题专家在此题的基础上袁加入了对两圆的公切线方程的考查袁 对两圆位置的微调袁给考生提供了更为广阔的思维空间.解法探析题1属于结论开放性试题袁只要求写出一条公切线的方程袁无须求出所有公切线.解法1 设公切线为y=kx+b渊k存在时冤袁则bk2+1 姨=1袁3k原4+bk2+1 姨=4袁扇墒设设设设设设设缮设设设设设设设解得k=724袁b=原2524扇墒设设设设设设缮设设设设设设或k=原34袁b=54.扇墒设设设设设设缮设设设设设设故两圆的一条公切线的方程可以是7x原24y原25=0渊或3x+
4、4y原5=0冤援评析 待定系数法不用去判断两圆的位置关系袁但计算难度相对较大袁对考生的数学运算素养的要求较高.解法2 圆x2+y2=1的圆心为O袁半径r1=1曰圆渊x原3冤2+渊y原4冤2=16的圆心为C渊3袁4冤袁半径为r2=4.注意到OC=r1+r2袁故圆O与圆C的位置关系为外切援设切点为M袁OM=15OC=35袁45袁即M35袁45袁所以公切线的斜率k=原1kOC=原34.故过点M的公切线为y原45=原34x原35袁即3x+4y原5=0.故两圆的一条公切线的方程为3x+4y原5=0.评析 利用向量知识可快速求出切点M的坐标袁突出考生综合运用所学知识解决实际问题的能力.解法3 判断两圆的位
5、置关系为外切渊同解法2冤袁两圆方程作差可得3x+4y原5=0袁故两圆的一条公切线的方程为3x+4y原5=0.评析 判断两圆的位置关系为82投稿邮箱院数学教学通讯2023 年 7 月(下旬)试题研究外切后袁两圆方程作差得到的直线方程即两圆的内公切线方程袁此解法要求考生平时对两圆方程作差所得直线的几何意义有更深入的研究.解法4 如图1所示袁可以直接发现直线x=原1为两圆的一条公切线.xOyCP图1评析 通过作图野以形助数冶袁直观感知直线x=原1为两圆的一条公切线袁此解法对考生的作图能力的要求较高.不但如此袁直观感知直线x=原1为两圆的一条公切线后袁还应野以数解形冶进行验证.解法5 如图1所示袁设两
6、圆的外公切线的公共点为P渊3t袁4t冤袁则OPPC=r1r2圳原5t原5t+5=14圳t=原13.此时外公切线与直线PC的夹角兹满足sin兹=r2原r1OC=35圳tan兹=34袁即直线PC的斜率kPC=43.所以两圆的其中一条公切线的斜率为kPC原tan兹1+kPC窑 tan兹=724袁其方程为y=724渊x+1冤原43袁整理得7x原24y原25=0援评析 从图形出发袁利用三角形相似求出点P的坐标以及公切线的斜率袁进而得到公切线的方程.命题立意1.体现高考的核心功能高考的核心功能是野立德树人尧服务选材尧引导教学冶咱2暂5.在立德树人方面袁学生要对试题进行分析尧思考尧探索尧论证袁这一系列的思维
7、过程袁体现了学生善于思考尧不畏困难的意志品质和科学精神曰在服务选材方面袁如果学生采用的是解法3或解法4袁就可以避开烦琐的运算袁争取留更多的时间解答后面的试题曰在引导教学方面袁通过考查直线与圆的核心知识袁考查学生的关键能力以及核心素养袁引导教师更加关注学生的野四基冶和野四能冶袁培养学生的核心素养.2.突出学科素养和关键能力在学科素养层面袁解答题1时袁若学生采用的是解法1袁这对学生的计算能力的要求较高袁考查学生的数学运算素养曰通过作图分析袁考查学生的直观想象素养曰在整个解题过程中袁考查学生的逻辑推理素养.在关键能力层面袁题1考查学生的问题分析能力尧空间想象能力尧推理论证能力以及创新实践能力.3.凸
8、显野四翼冶要求的设计理念野四翼冶为高考的考查要求袁它回答了高考野怎么考冶的问题.野四翼冶包括基础性尧综合性尧应用性尧创新性四个维度咱2暂5.题1主要考查圆与圆的位置关系尧两圆的公切线袁考查学生的基础知识尧基本能力和基本素养袁属于野基础性冶维度曰考查学生运用所学知识解决实际问题的能力袁属于野综合性冶维度曰考查学生运用向量方法解决问题的能力袁属于野应用性冶维度.题1是结论开放性试题袁学生只要写出其中一条公切线方程即可袁属于野创新性冶维度袁体现了试题创新性的特点.教学备考建议1.厘清知识脉络袁落实基础知识美国著名学者布鲁纳认为院野不论我们选教什么学科袁务必使学生理解学科的基本结构.这是在运用知识方面
9、的最低要求袁它有助于解决学生在课外所遇到的问题和事件袁或者在日后训练中遇到的问题.冶因此袁在高三复习过程中袁教师先要引领学生对基础知识进行梳理和归纳袁构建各章节的知识框架袁厘清各知识间的层次关系曰再将同类知识进行合理野拼接冶袁梳理各知识间的横向关系曰最后完善学生的知识网络袁不断扩充学生的知识体系.在构建知识网络和知识体系的过程中袁需要教师适当放手袁给学生足够的时间去总结尧反思袁让学生以自己的方式构建属于自己的知识网络和知识体系.在这样主动参与的学习过程中袁学生将教材知识逐步内化到自己的知识网络和知识体系中袁能厘清各知识间的联系袁对零散的知识有整体上的认识袁加深对知识的理解尧迁移和应用.例如袁复
10、习直线与圆这一章节时袁我们可以如图2所示对本章节的知识结构进行梳理.2.拓展教材内容袁拓宽知识广度新教材的内容安排丰富多彩袁包括正文尧思考尧旁白尧探究尧阅读尧探究性习题尧应用与建模尧问题与探究等.教材中的正文是对核心知识的抽象尧简洁的描述袁而教材中的旁白尧探究尧思考等辅文隐含对核心知识的解读和延伸.想要深入理解和掌握核心知识袁需要对这些辅文进行归纳尧总结.另外袁从高考试题的分析和研究中发现袁高考试题考查的不只是核心知识袁还有与核心知识相关的外延知识.因此袁在高三复习中袁除了要重视正文袁也要深入研究辅文袁探究其丰富的内涵与外延.例如袁文咱1暂第96页的例5袁原题如下渊下文简称题3冤院题3 已知圆
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