分解因式之十字相乘法.doc

分解因式之十字相乘法（顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。)
我们知道，反过来，就得到二次三项式的因式分解形式，即，其中常数项6分解成2,3两个因数的积，而且这两个因数的和等于一次项的系数5，即6=2×3，且2+3=5。
一般地，由多项式乘法，，反过来，就得到

这就是说，对于二次三项式，如果能够把常数项分解成两个因数a、b的积，并且a+b等于一次项的系数p，那么它就可以分解因式，即
。运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式。
例1 把分解因式。
分析：这里，常数项2是正数，所以分解成的两个因数必是同号，而2=1×2=(-1)(-2)，要使它们的代数和等于3，只需取1,2即可。
解：因为2=1×2，并且1+2=3，所以
例2 把分解因式。
分析：这里，常数项是正数，所以分解成的两个因数必是同号，而6=1×6=(-1)×(-6)=2×3=(-2)×(-3)，要使它们的代数和等于-7，只需取-1，-6即可。
解：因为6=(-1)×(-6)，并且(-1)+(-6)=-7，所以

例3 把分解因式。
分析：这里，常数项是负数，所以分解成的两个因数必是异号，-21可以分解成-21=(-1)×21=1×(-21)=(-3)×7=3×(-7)，其中只需取3与-7，其和3+(-7)等于一次项的系数-4。

例4 把分解因式。
解：因为-15=(-3)×5，并且(-3)+5=2，所以

通过例1︿4可以看出，把分解因式时：
如果常数项q是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数p的符号相同。
如果常数项q是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同。
对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项的系数p。
例5 把下列各式分解因式：
(1) (2)

例6 把分解因式。
分析：把看成x的二次三项式，这时，常数项是，一次项系数是-3y，把分解成-y与-2y的积，(-y)+(-2y)=-3y,正好等于一次项的系数。

我们知道，。反过来就得到的因式分解的形式，即。
我们发现，二次项的系数3分解成1,3两个因数的积；常数项10分解成2,5两个因数的积；当我们把1,3，2,5写成
1 2
3 5
后发现1×5+2×3正好等于一次项的系数11。
由上面例子启发我们，应该如何把二次三项式进行因式分解。
我们知道，

反过来，就得到

我们发现，二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，排列如下：

这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到+，如果它们正好等于的一次项系数，那么就可以分解成
，其中，位于上图的上一行，，位于下一行。
像这种借助画十字交叉分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。
必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解。例如在上面例子的二次三项式中，二次项的系数3可以分解成1与3，或者-1与-3的积，常数项10可以分解成1与10，或者-1与-10，或者2与5，或者-2与-5的积，其中只要选取十字
1 2
1
-3
2
-1
3 5
相乘就可以了。
例7 把下列各式分解因式：
(1) (2) (3)
2
1
3
-5

2
2y
5
-4y

1
1
1
2
1
-1
1
-6
1
3
1
-7
1
-3
1
5
另外，我们也可以用十字相乘法把二次三项式分解因式。例1︿4的十字分别是：
可以看出，这四个十字左边两个数都是1。因此在把分解因式时，不画十字也可以。

练习
把下列各式分解因式：
(1) (2) (3) (4)
(5) (6) (7)
(8) (9) (10)

用配方法分解二次三项式
对于某些二次三项式，除了可以用十字相乘法分解因式以外，还可以用“配方法”来分解，其中要用到完全平方公式、平方差公式以及添项、拆项的技巧(这里运用完全平方公式“配”出一个完全平方，是配方法的关健；“添项、拆项”是指先添一个0，再把0拆成绝对值相同、符号相反两项，也就是先加上一个适当的项，再减去这个项，其目的也是为了配方)。例如，把分解因式，我们可以这样进行：
(加上，再减去)
(运用完全平方公式)
(运用平方差公式)
(化简)

可以看出，这与十字相乘法分解的结果是一致的。
又例如，把分解因式，我们可以这样进行：
(先提取二次项系数)
(加上，再减去)
(运用完全平方公式)
(运用平方差公式)
(化简)

可以看出，这与十字相乘法分解的结果是一致。