《十字交叉法的运用推广》(好)[1].doc

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行百里者半九十
《十字交叉法》
（核心关键：差量相等）

《十字交叉法的运用推广》
　　对于数学运算部分中的浓度问题以及涉及到平均的问题，虽然能用方程法进行求解，但是较复杂，不利于迅速作答，特别是浓度问题中的三者及以上的溶液混合时的问题就更繁杂了。鉴于此，特为各位考生推荐十字交叉法的推广应用，可以很好地克服上述问题。
1．十字交叉法的实质
很多朋友由于对该方法的实质不是很清楚，所以往往不能熟练运用，甚至还容易出错。其实，涉及到几者的平均数问题，那么对平均数而言，几者中一定有些多，有些少，多出的量和少的量一定是相等的。如，考试中有10人得80分，10人得60分，他们的平均分是70分。这是因为80分的比平均分多10×10=100，而60分的比平均分少（70-60）×10=100，多的100刚好弥补不足的100。
2．涉及两者的十字交叉法
　　这是该方法运用最多的情况。注意两者中必有一大一小。
例：某车间进行季度考核，整个车间平均分是85分，其中2/3的人得80分以上（含80分），他们的平均分是90分，则低于80分的人的平均分是多少？
解析：设低于80分的人的平均分是m，所以 90 ↘ ↗ 85-m 1/3
85
m ↗ ↘ 90-85 2/3
即 （85-m）×1/3=（90-85）×2/3，m=75
例：甲容器中有浓度为4%的盐水150克，乙容器中有某种浓度的盐水若干，从乙中取出450克盐水，放入甲中混合成浓度为8.2%的盐水，那么乙容器中的浓度是多少？
解析：设乙容器中的浓度是m，所以 4% ↘ ↗ m-8.2% 450
8.2%
m ↗ ↘ 8.2%-4% 150
即 （m-8.2%）×450=（8.2%-4%）×150，m=9.6%
3．涉及三者的运用
　　根据所有多出量之和等于所有少的量之和。
例：把浓度为20%、30%和50%的某溶液混合在一起，得到浓度为36%的溶液50升。已知浓度为30%的溶液用量是浓度为20%的溶液用量的2倍，浓度为30%的溶液的用量是多少升？
解析：设浓度为30%的溶液的用量是m，所以
20% ↘ ↗ 50%-36% 50-m-m/2
30% → 36% → 36%-30% m
50% ↗ ↘ 36%-20% m/2
即 （50%-36%）×（50-m-m/2）=（36%-30%）×m+（36%-20%）×（m/2），m=20
　　只要掌握了十字交叉法的实质，对于三者以上的相关问题都可以迎刃而解。在解体中就能做到速度快而且不易出错。

《十字交叉法可适用于解两种整体的混合的相关试题》
　　基本原理如下：混合前，整体一「数量x，指标量a」；整体二「数量y，指标量b（a>b）」。混合后，整体「数量（x+y），指标量c」。可得到如下关系式：x×a + y×b=（x+y）c 。
　　推出：x×（a-c）=y×（c-b），得到公式：（a-c）：（c-b）= y：x
　　则任意知道x、y、a、b、c中的四个，可以求出未知量。不过，求ｃ的话，直接计算更为简单。当知道x+y时，x或y任意知道一个也可采用此法；知道ｘ：ｙ也可以。相关的指标量可以是平均值、浓度等等。举例如下：
1．求指标量a、b之一
例1：器中有浓度为4%的盐水150克，乙容器中有某种浓度的盐水若干，从乙中取出450克盐水放入甲中混成浓度为8.2%的盐水，问乙容器中盐水的浓度是多少？
A.9.6% B.9.8% C.9.9% D.10%
解析：已知从乙容器中取出的盐水量x=450，甲容器中原有盐水量y=150，甲容器中原有盐水浓度b=4%，混合后盐水浓度c=8.2%，可得到（a-8.2%）：（8.2%-4%）=150：450，则b-8.2%=4.2%÷3=1.4%，即乙容器中盐水浓度b=9.6%
正确答案：A
例2：某车间进行季度考核，整个车间平均分是85分，其中2／3的人得80分以上(含80分)，他们的平均分是90分，则低于80分的人的平均分是多少?
A．68 B．70 C.75 D．78
解析：已知得80分以上(含80分)的人的平均分a=90，总平均分c=85，得80分以上(含80分)的人数与低于80分的人数比例x：y=（2／3）：（１-2／3）＝2：1，（90-85）：（85-b）=2：1，则85-b=10÷2=5，即低于80分的人数为b=80。
正确答案：C
2．求数量x、y之一
例1：车间共40人，某次技术操作考核的平均成绩为80分，其中男工平均成绩是83分，女工平均成绩为78分，该车间有女工多少人？
A.16人 B.18人 C.20人 D.24人
解析：已知男工平均成绩a=83，女工平均成绩b=78，总平均成绩c=80，车间总人数x+y=40，则y：x=（83-80）：（80-78）=3：2，则女工人数y=40×3÷（3+2）=24人。
正确答案：D
例2：有浓度为4%的盐水若干克，蒸发了一些水分后浓度变成10%，再加入300克4%的盐水后，浓度变为6.4%的盐水，问最初的盐水多少克?
A.200克 B.300克 C.400克 D.500克
解析：已知原有盐水蒸发后浓度a=10%，加入的盐水浓度为b=4%，重量为y=300克，混合后盐水浓度c=6.4%，则y：x=（10%-6.4%）：（6.4%-4%）=3：2，则原有盐水蒸发后为300÷3×2=200克，最初盐水为200×10%÷4%=500克。
正确答案：D

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