“双减”背景下的中考数学压轴题解题与教学思考——以2022年福建省中考数学压轴题为例.pdf

“双减”背景下，如何做好中考数学压轴题的解题教学，提升学生的解题思维能力，同时培养学生的数学学科核心素养，一直是中考数学复习教学的一大难点对优秀学生分析问题和解决问题能力的培养，中 考 压 轴 题 往 往 具 有 很 高 的 价 值 文 章 以 年福建省中考数学压轴题为例，从解法探究、教学思考方面凸显中考真题的复习导向价值【关键词】中考数学压轴题；解题策略；教学思考一、试题呈现（年福建省中考第 题）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 经过（，），（，）两点 是抛物线上一点，且在直线 的上方 图（）求抛物线的解析式；（）若 面 积 是 面积的 倍，求点 的坐标；（）如图，交 于点，交 于点 记，的面积分别为，判断是否存在最大值若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由二、解法探究及教学思考第（）问主要考查用待定系数法求二次函数解析式，属于基础题型，主要用来增强学生答题的信心；第（）问是重点，在平面直角坐标系中求解三角形的面积；第（）问是难点，考查学生的综合解题能力和数学核心素养，具有一定的选拔功能本文主要探究第（）问、第（）问的解法以及教学思考（一）关注教材习题，注重通性通法第（）问主要考查在坐标系中求三角形面积，解题的关键在于通过坐标与线段的转化分别求出和 的面积，难点在于如何用坐标表示三角形的底和高，进而求出面积，列出方程通过对题目中已知条件的分析，由 ，可求得 以此为突破口解决三角形面积问题一般有以下三个思路 图 解法一：（分割法）如图，过点 作 轴，与线段 相交于点 设线段 所在的函数关系式为（），由待定系数 法 可 求 得 线 段：设 ，则点 ，由，得，即 ，即，解得，即点 的坐标为，或（，）解法二：（补形法）如图，过点 作 轴，与图 轴相交于点，则点（，）设 ，由，得 又，所以 四边形，又 四边形()，由，得（），解题技巧与方法 数学学习与研究 整理，得，解得，则点 的坐标为，或（，）解法三：（平行线法）如图，延长线段，与 轴相交于点，取 的中点，连接 图 设线段 所在直线的函数关系式为（），可 求 得 线 段：，即点 ，由，得 过点 作直线，则直线 的解析式为 ，即直线 向上平移个单位后为直线，要使得，点 要在直线 上，而且直线，所以直线 的解析式为 将直线 和抛物线联立，得，解得，则点 的坐标为，或（，）以上三种方法都是解决这类面积问题的方法，解题的关键是通过坐标和线段的转化表示出三角形的面积（二）合理执果索因，归纳常规思路第（）问主要考查数学中代数类最值问题解决代数类最值问题的一般思路是：求出代数表达式（函数关系式），并结合函数图像和增减性求得最值解法一：（化斜为直）如图，延长线段，与 轴相交于点，过点 作 轴，与线段 相交于点，设点 的坐标为，设线段 所在直线的解析式为（），由待定系数法可求得线段 所在直线的解析式为 ，则点 的坐标为，点 的坐标为，图 又，即 ，所以，当 时，解法二：（定底平行线）如图，过点 作直线，设直线：，图 点（，），的值可以确定，要求目标量的最大值即求线段 的最大值 由 可知，为 求 解 方 便，令 ，设点 到线段 的距离为，点 到线段 的距离为，则 ，其 中 的值也是固定的，所以求线段 的最大值就是求 的最大值，即直线 与抛物线有且只有一个交点时，点 到线段 的距离最大，此时，有 ，解题技巧与方法 数学学习与研究 其中，直线，设直线：，由，得，令，得，即 直线 与 轴交点坐标为，即，（三）拓展变式，巩固技能我们还可以对本题进行拓展变式，如图，点 是线段 上方抛物线上一点，过点 作，交 轴于点，连接，交 于点，当取得最小值时，求点 的坐标解答：由以上分析可知，线段 所在直线的函数关系式为，抛物线解析式为 设点 的坐标为，图 ，可设 所在直线的解析式为，将点 代入 ，得 所 在 直 线 解 析 式为 令 ，得 ，即点（，），要求的最小值，即求 的最大值，而 ，又，当 时，（），此时，所以点 坐标为，结 语通过对以往中考压轴题的研究，我们可以发现，许多中考试题是由教材例题、习题和以往的中考试题改编而成，因此，教师在复习教学中要做到以下四点一是学习新课标（年版），回归教材，立足教材，重视教材的使用对于教材中的例题、习题要让学生独立自主完成一遍，在此基础上教师可以做一些方法的归纳、模型的总结；促进学生积极探究，重视知识的形成过程，让学生经历图形观察、构成要素关系思考、有逻辑的数学表达、概括归纳、迁移应用等学习过程二是指导学生抓住问题的本质，掌握解题的通性、通法，从复杂的试题、多变的解法中追根溯源；明确题目之间的联系以及题目背后考查的数学原理，探求数学的本质，提炼数学思想，积累数学活动经验，探索解决问题的基本思路和基本逻辑，在问题解决的过程中提升能力，发展数学核心素养，特别是在“双减”政策背景下，更要提高学生的解题能力和数学课堂复习效率，避免题海战术三是注重思维教学，灵活进行转化新课标指出，要进一步发展学生应用数学知识与方法发现、提出、分析和解决问题的能力（简称“四能”），形成正确的情感、态度和价值观笔者认为，通过“四能”促进学生思维能力的提升才能使学生有效突破中考压轴题四是注意基本图形、基础题型的熟练应用，从复杂的图形中分解出基本图形，通过对基本图形、基础题型的熟练应用，让学生树立解决问题的自信心，从而突破中考压轴题【参考文献】郑日锋推陈出新 甄别选拔：评析 年浙江卷解析几何解答题中学教研（数学），（）：刘军回归教材 类比拓展：“双减”背景下的数学中考启示初中数学教与学，（）：斯琴其木格“双减”背景下的数学中考总复习策略探讨试题与研究，（）：