乘加乘减混合运算.docx

几何直观：帮助学生直观地理解数学
——“乘加乘减混合运算”为例
为把握对小学生几何直观能力的培养，体会几何直观在整个数学学习中的作用，下面，我们拟以“乘加乘减混合运算”为例，对些进行教学分析。之所以选定“乘加乘减混合运算”进行分析，一是因为修订后的教材在该课中突出了几何直观对理解“先算乘法、后算加法”算理的作用；二是意在通过对该课例的研讨，体会几何直观在“非图形与几何”领域中直观理解数学的价值。
“乘加乘减混合运算”是小学阶段首次把加减法和乘法混合在一起的两步式题运算，是一级运算向二级运算及更高级运算的转折。教学中，要结合问题解决的过程，让学生理解算式所表示的意义，体会运算顺序规定的合理性，明确算理，并能正确计算。下面是北师大版《数学》修订前后的教材设计：
(修订前的教材（二年级下学期）)

纵观教材设计的变化，我们可以看到，修订后的教材在解决“应付多少元”时，呈现了两种解决问题的策略：一是用画图的方法表示解决问题的思考的过程；二是先画图表示数量之间的关系，再根据几何直观寻找解决问题的思路。无论是把画图作为解决问题的工具，还是把画图作为描述数学问题、理解数量关系的手段，两种策略都注重通过画图帮助学生构建对算法合理性的直观认识，体现了几何直观解决复杂问题时的应用价值。
《义务教育数学课程标准》（2011年版）（以下简称“课标2011年版”）对“几何直观”的论述是：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借用几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。“从这个论述中，我们可以清晰地体会到”几何直观“在内容、意义和方法上远远超出对几何图形本身的研究范畴，其基本思想引导着我们要借助于直观看出不同事物之间的关联，借助于直观的形象关系产生对数量关系的直接感知、整体把握，借助于直观提高对研究对象的思考能力。也正是基于这一点，新修订的教材对”乘加乘减混合运算“的学习要求变为“尝试借助直观图表示乘加乘减等实际问题的数量关系，感受画图策略的意义和价值，发展分析问题和解决问题的能力。
实践与思考：
我们先看一个依据修订教材设计的教学片断。
【教学片断】
教师引导学生用面包和蛋糕图片摆出要买的4个面包、1个蛋糕或1个蛋糕、4个面包。（如下图）

师：应付多少元？能列出算式吗？怎么计算？
生1：我列的算式的算式是3×4+6，先算4个面包的价钱，再加上1个蛋糕的价钱，就是应付的价钱。
生2：我列的算式是6+3×4，也要先算4个面包的价钱，3×4=12元，然后是1个蛋糕的价钱6元，加在一起，就是应付的价钱18元。（对于6+3×4的计算，学生能借助于所来的示意图，思考为什么先算3×4，应该说这得益于直观情境示意图的支撑）
师：若用这样短的小棒表示3元，长一点的小棒表示6元，同学们能摆出买4个面包和1个蛋糕应付多少元？（生摆示意图如下）

虽然上述摆法与用实物图的摆法从结构上看没有太大的差别，但是用有长短的小棒来摆的过程，一方面是发挥了直观替代物的作用，是抽象的符号化表示；另一方面是直观化的表象，是从几何直观抽象出相同的几何结构。可贵的是，这样的摆法就是数线（数轴）的雏形，这一点在我们的前测中（见下文）也得到了例证。
我们观察到，两个学生在表述自己的计算时，都辅以手势，特别是先圈出4个面包，再圈一个大圈，表示购买4个面包和1个蛋糕。从心理学角度分析，这是符合学生认知规律的。对于小学生来说，几何直观首要的是学习如何用圆（圈）或者三角形等几何图形去替代实物，画出所述情境的示意图来。从实物图到示意图是几何直观的初始阶段。
尽管“课标2011年版”在第一湥（1——3年级）没有对几何直观提出具体的要求，但可以更多地通过教师的示范，让学生作为一个旁观者去感受几何直观的价值，渗透几何直观的意识，随着年级的升高，逐步发展几何直观的能力。从这个角度看，我们以“乘加乘减混合运算”为例，来阐述几何直观如何帮助学生更直观地理解数学，就顺理成章了。
为了更深入地分析几何直观在乘加乘减混合运算中所发挥的作用，以及乘加乘减混合运算中所发挥的作用，以及乘加乘减混合运算对后续学习的影响，我们分别对还没有学习乘加乘减混合运算的二年级学生和学习了两位数乘除法四年级学生进行了测试。
下面是其中几道试题的测试情况。
二年级：
3×5+5=20
用画一画的方法表示
3×5=15
+5
4×9-9=27
画图表示
3×5+5=20
用画一画的方法表示
0
5
(修订后的教材（三年级上学期）)
10
(修订后的教材（三年级上学期）)
15
(修订后的教材（三年级上学期）)
20
(修订后的教材（三年级上学期）)

3×5
+5
4×9-9=27
画图表示
0
9
(修订后的教材（三年级上学期）)
18
(修订后的教材（三年级上学期）)
27
(修订后的教材（三年级上学期）)
36
(修订后的教材（三年级上学期）)

4×9
-9

四年级：

2 7
×1 8
2 7
4 8 6
2 1 6
上面的计算正确吗？阴影部分“21”是怎样得到的？答：上面的计算正确，阴影部分“21”是因为7×8=56，写“6”进“5”，2×6=16，16+5=21，阴影部分“21”是这样得到的。

2 7
×1 8
2 7
4 8 6
2 1 6
上面的计算正确吗？阴影部分“21”是怎样得到的？正确。阴影部分“21”是因为7×8=56，写“6”进“5”，2×6=16，16+5=21，表示“21”个10。
3×5+5=20
用画一画的方法表示
+5个
39÷4=(9)……(3)
验算：4×9+3=36+3=39
十位
个位

4×9-9=27
画图表示

从测试情况看，对即使没有学习乘加乘减混合运算的二年级学生来说，通过画图表示3×5+5、4×9-9，并进行正确计算的有近70%的学生；而对于“乘在后”（如6+3×7、9-4×2）的算式，有近60%的学生出现错误。四年级学生中，能正确填写39÷4=( )……( )并进行验算的，占95%，但采用4×9+3=39综合算式进行验算的，不足20%；能说明“21”是怎么得来的及其表示什么的，正确率相对低一些，有52%。当然，在这里我们不是强调必须用“4×9+3=39”的综合算式来验证“39÷4=9……3”的正确性，而是可以看出学生从整体上运用“乘加”的意识不强，对““39÷4=9……3”的直观表征及乘加之间的关系理解不到位。
为了从另一个侧面探讨几何直观在乘加乘减混合运算中的作用，我们创设了根据学生的座位情况，提出与乘加乘减混合运算有关的“一共有多少位同学“的实际问题，以激发学生的学习兴趣和探究欲望，进一步观察学生对几何直观意识的把握情况。
那么，如何帮助学生利用几何直观更加直观地理解数学呢？我们认为，一是教师本身要有几何直观的课程意识，二是要注意挖掘、利用几何直观的资源，三是要关注学生对数学问题的个性化直观表征与直观理解，四是要加强借助几何直观主动思考数学问题能力的培养以推动思维展开。从低年级开始，借助丰富的学习素材，引导学生通过画、摆、圈、涂等形式，将思考对象“图形化”，用图形表表达自己的数学理解。随着年级的升高，教师要“有意识地提高几何直观的层次和水平，使学生的思维逐步过渡到以图形直观、符号直观为主的层次”，逐渐使几何直观内化为数学学习的一种思考方式和学习方式，进一步提高几何直观的意识和能力。