直齿单点线啮合齿轮传动综合刚度计算研究_黄宇威.pdf

712023 年第 12 期/DESIGN CALCULATION设计计算4 GB/T 94652018 高空作业车 S5 孙占瑞，程琳，张小静高空作业车辆稳定性计算方法探 讨 J工程机械，2019，50(7)：46-506 陶胤强基于 ADAMS 的六轴机器人动力学仿真分析 J 包装工程，2021，42(17)：266-2697 Chang W，Liu B，Zhu Y YThe Development Trend of the Automobile Industry Under Dual Carbon GoalsJ AutoReview，202l(8)：31-358 杜希亮，占刚，贺福强，等应急救援排障工程车作业动 臂轻量化研究 J现代机械，2018(5)：64-699 王大洪，范子剑，滕儒民，等基于拓扑和响应面法的破 拆机器人臂优化分析 J建设机械技术与管理，2021，34(5)：64-6810 Mile S，Milomir G，Goran P，et alStress Analysis in Contact Zone Between the Segments of Telescopic Booms of Hydraulic Truck CranesJThin-Walled Structures，2014(85)：332-34011 朱子青，贺磊，杨先海，等基于响应面法的伸缩臂架 构有限元分析与优化 J山东理工大学学报（自然科 学版），2022，36(1)：70-75，81 12 张平格，李向良，王新怡，等作业车吊臂结构分析与优 化设计 J煤炭工程，2018，50(3)：152-154，157作 者：马江民电子邮箱：收稿日期：2022-11-29直齿单点线啮合齿轮传动综合刚度计算研究黄宇威华中农业大学工学院 武汉 430070摘 要：当前点线啮合齿轮传动的综合刚度计算套用渐开线齿轮啮合刚度计算公式，精确度较低。文中以势能法计算直齿点线啮合齿轮传动单对齿时变啮合刚度的研究成果为基础，推导基于时变啮合刚度的直齿单点线啮合齿轮传动综合刚度计算公式，并通过有限元仿真验证的方法验证其计算精度，并将其与基于渐开线齿轮传动的综合刚度计算结果进行比较，验证基于时变啮合刚度的直齿点线啮合齿轮传动综合刚度计算公式的可信度。关键词：综合刚度；点线啮合齿轮；渐开线齿轮；啮合刚度中图分类号：TH132.429 文献标识码：A 文章编号：1001-0785（2023）12-0071-05Abstract:When the calculation formula of involute gear meshing stiffness is used to calculate the comprehensive stiffness of front single-point line meshing gear transmission,the calculation accuracy is poor.In this paper,based on the study of calculating the time-varying meshing stiffness of single pair of teeth in straight single-point line meshing gear transmission by potential energy method,a formula for calculating the comprehensive stiffness of single-point line meshing spur gear transmission based on time-varying meshing stiffness was derived,and its calculation accuracy was verified by finite element simulation,and the results were compared with those based on involute gear transmission to verify the reliability of the formula for calculating the comprehensive stiffness of single-point line meshing spur gear transmission based on time-varying meshing stiffness.Keywords:comprehensive stiffness;single-point line meshing gear;involute gear;meshing stiffness0 引言点线啮合齿轮传动较传统渐开线齿轮具有弯曲强度高、接触强度高、寿命长、噪声小、可分性好等特点。在点线啮合齿轮传动领域中，罗齐汉等1制成点线啮合黄宇威.直齿单点线啮合齿轮传动综合刚度计算研究 J.起重运输机械，2023（12）：71-75.引 用 格 式72/2023 年第 12 期齿轮参数的封闭图；黄海等2依据渐开线圆柱齿轮计算接触静强度计算方法，提出点线啮合齿轮接触静强度计算方法；杨帆等3针对点线啮合齿轮齿廓的特殊性，通过 SolidWorks 拟合出点线啮合齿轮齿廓并建模；钱作勤等4进行点线啮合齿轮承载能力和噪声等方面实验，验证点线啮合齿轮相较于渐开线齿轮提高了承载能力，明显降低了噪声；黄海等5利用乘子法建立数学模型，优化计算点线啮合齿轮实际弯曲疲劳强度安全系数；黄海等6进行点线啮合齿轮冷胶合判断，并推导最小油膜厚度计算公式；金晓峰7通过坐标转换和齿轮齿廓理论方法，得出点线啮合齿轮齿面方程；熊文恒等8根据势能法分段计算出了直齿单点线啮合齿轮啮合刚度，并总结出对应计算公式。综合刚度 cr影响点线啮合齿轮传动的振动大小和噪声大小，综合刚度较小则齿轮更偏柔性齿轮，抗冲击能力大，噪声小。此外，综合刚度在计算齿轮胶合疲劳时同样有一定作用。现有的点线啮合齿轮传动综合刚度计算采用文献9 所提出的基于渐开线齿轮传动的计算方法，该方法计算简单快速，但结果精确度较低。文献 8 基于势能法提出计算直齿点线啮合齿轮传动时变啮合刚度公式，但仅计算和验证了该方法对单对齿啮合刚度的准确度。本文在此基础上提出了包含双对齿时变啮合刚度在内的总啮合刚度计算公式，推导出直齿单点线啮合齿轮传动的综合刚度计算公式。通过有限元仿真验证的方式，验证了基于时变啮合刚度的综合刚度计算公式的精确度。1 点线啮合齿轮传动啮合特点点线啮合齿轮传动既具有线啮合性质又具有点啮合性质，齿轮对中，一者为变为渐开线短齿的小齿轮，另一大齿轮齿廓上部为渐开线凸齿廓，下部为过渡曲线的凹齿廓。如图 1 所示点线啮合齿轮传动啮合位置，当大小齿轮从 B2点啮合开始时，大齿轮齿顶与小齿轮齿根部分以凸齿廓接触啮合，此过程从 B2点直至节点 P 为结束；此外，C 点之前为双持啮合区域，C 点以后至 D 点为单齿啮合区，D 点以后至啮合终止点 B1为双齿啮合区；当齿轮在 M 点啮合时，大齿轮和小齿轮齿顶完全贴合，其周围较大范围内形成接触迹；J 点为大齿轮齿廓渐开线与过渡曲线交点，在此点啮合时，小齿轮渐开线与大齿轮过渡曲线接触，为凹凸齿廓接触；从 B2点至 M 点接触类型为凸齿廓接触，M 点至 B1点接触类型为凹凸齿廓接触，J 点为 M 至 B1过程中的一点。图 1 点线啮合齿轮传动啮合位置2 点线啮合齿轮传动的综合刚度2.1 综合刚度的定义根据参考文献 10，总轮齿刚度 Cs为每毫米齿宽和每微米变形时的总轮齿法向力。综合刚度 cr则为啮合过程中随时间变化的总轮齿刚度的平均值，既对应渐开线齿轮计算中啮合刚度 cr。2.2 基于渐开线齿轮传动的综合刚度计算由于点线啮合齿轮传动相关研究起步较晚，该方法为早期套用传统渐开线齿轮综合刚度计算得到的结果，简化了复杂步骤，将点线啮合齿轮传动综合刚度的计算近似为传统实心渐开线齿轮的啮合刚度计算，采用的公式大部分为 GB/T 34801997渐开线圆柱齿轮承载能力计算方法中的经验公式。则实心直齿单点线啮合齿DESIGN CALCULATION设计计算732023 年第 12 期/轮综合刚度计算公式为9 ()r0.750.25acc=+（1）thB0.8coscc C=（2）th1cq=（3）n1v1v2n1n2n2v1v222n1n20.155 510.257 910.047 230.006 35 0.116 54 0.001 93 0.241 88 0.005 290.001 82qxZZxxxZZxx=+（4）1v12bcoscosZZ=（5）2v22bcoscosZZ=（6）()fpBnn10.5 1.21 0.02 20hCm=+（7）()*fpannnhhcm=+（8）式中：a为端面重合度；c为单对齿刚度；q 为轮齿柔度；CB为基本齿廓系数；n为基本齿条法面分度圆压力角；为系数，一齿轮材料为钢另一齿轮材料同样为钢时=1，一齿轮材料为钢另一齿轮材料为铸铁时=0.74，一齿轮材料为铸铁另一齿轮材料为铸铁时=0.59。2.3 基于势能法时变啮合刚度计算根据参考文献 8 中的相关研究，势能法分段式计算公式在计算直齿单点线啮合齿轮传动时变啮合刚度时，将时变啮合刚度的计算以啮合过程中 1 对齿啮合和2 对齿啮合，分段为单齿对啮合刚度计算和双齿对啮合刚度计算。单齿对刚度计算公式为1ms12JtptwfpfwB2J11111 0,Kkkkkk=+（9）1ms12tptwfpfwB2J111111.14Kkkkkk=+（10）1msJJtptwfpfwJB111111Kkkkkk=+（11）式中：Kms为双齿啮合区且经过 J 点前时的单对齿啮合刚度，（该过程接触类型为凸齿廓接触），Kms为单对齿啮合时直齿单点线啮合齿轮啮合刚度（该过程同样为凸齿廓接触），KmsJ为啮合过程经过 J 至 B1点的双齿啮合区段的单对齿啮合刚度（由于 J 点为大齿轮齿廓渐开线与过渡曲线交点，小齿轮的渐开线与大齿轮齿廓过渡曲线接触，该区段为凹凸齿廓接触接触），为齿轮中心连线与啮合点的夹角，1为齿轮在双齿对啮合时的转角，2为齿轮在单齿对啮合时转角，J为当大齿轮过渡曲线的分界点 J 点与齿廓上渐开线啮合时主动小齿轮的转角，为齿轮完成完整啮合传动周期的转角，ktp为主动轮单齿刚度，kfp为主动轮齿根基体刚度，ktw为从动轮单齿刚度，kfw为从动轮齿根基体刚度，kB2J为渐开线齿廓接触刚度，kJB1为凹凸齿廓接触刚度。双齿对啮合刚度计算公式为 totalms1ms2KKK=+（12）（13）式中：Kms1为第 1 对齿啮合刚度，Kms2为第 2 对齿啮合刚度。2.4 基于时变啮合刚度的综合刚度研究根据综合刚度定义可知，点线啮合齿轮传动的综合刚度实质上为啮合过程中随时间变化的啮合刚度在某段时间内啮合刚度的平均值。因此，通过势能法计算出的某时刻的啮合刚度并不能直接与综合刚度计算结果作对比研究，否则将产生较大误差。对此，本文提出的解决方法为将势能法得到的时变啮合刚度以微积分形式求平均值，此平均值与参考文献 9 中综合刚DESIGN CALCULATION设计计算12J12JmsmsmsmsJ0AVE2dd2d2d0KKKKK+=74/2023 年第 12 期度性质一致。为与综合刚度计算公式所求出的综合刚度对比，将3 分段计算获得的结果求平均值式中：KAVE为点线啮合齿轮啮合时啮合刚度在0 的平均值。3 仿真验证为进一步展示 2 种方法在计算齿轮啮合刚度时的差异性，选取了参考文献 9 中分析的实例：小齿轮齿轮为 28，齿顶圆半径为 40.800 mm，分度圆半径为 38.500 mm，节圆半径为 37.180 mm，基圆半径为 36.178 mm，齿根圆半径为 35.156 mm，扭矩为 477.50 Nm，变位系数为+0.039；大齿轮齿数为 51，齿顶圆半径为 68.400 mm，分度圆半径为 70.125 mm，节圆半径为 67.720 mm，基圆半径为 65.896 mm，齿根圆半径为 62.772 mm，扭矩为 4 775.00 Nm，变位系数为-1.424；两齿轮中心距为 104.9 mm，模数 2.750 mm，齿宽为 30.000 mm，端面重合度为 1.603，法向力为 13 198.57 N。由式（9）式（12）得基于时变啮合刚度的综合刚度计算公式计算的总啮合刚度如表 1 所示。可知由于分段曲线在 0 7.88区间即齿轮在双齿啮合区段、7.88 12.85区间即齿轮在单齿啮合区段、12.85 20.74区间包含凹凸齿廓接触的双齿啮合区段，此 3 个区段内啮合刚度变化不大，故只取部分代表性参数展示。由式（13）得综合刚度为 17.353 4 N/(mmm)。由式（1）式（8）计算该实例结果为如表2 所示。表 1 基于时变啮合刚度的综合刚度计算公式计算的总啮合刚度表 2 基于渐开线齿轮传动的综合刚度计算公式计算的综合刚度综合刚度为 16.044 N/(mmm)。为对比研究基于时变啮合刚度的计算公式与基于渐开线齿轮传动的计算公式所得的结果准确程度，需采用有限元仿真方式验证。主动轮转角 /（）总啮合刚度 cr/N(mmm)-10.0025.877.887.2512.856.9420.7424.23图 2 势能法公式计算总啮合刚度与仿真总啮合刚度结果对比DESIGN CALCULATION设计计算项目结果hfp3.438/mmCb0.975Zv128.00Zv251.00q0.071cth14.164c11.048/N(mmm)-1cr16.044/N(mmm)-1752023 年第 12 期/通过刚度的定义式，既载荷除以形变的方式计算综合刚度11。建立 3D 模型，利用有限元仿真得到啮合过程中大小齿轮得轮齿变形量云图，通过分析云图得到具体的轮齿型变量；齿间载荷值使用同样的 3D 建模，利用有限元仿真得到传动过程中各个点的具体载荷值，最后求解总啮合刚度。根据参考文献 9，根据刚度定义式与仿真分析得到的啮合刚度为单对齿啮合刚度，不能直接得出齿轮在双齿对啮合时的总啮合刚度，须在计算双齿对啮合刚度时根据载荷分配律将 2 对同时啮合的齿的单齿啮合刚度相加，由式（12）得到同一时间下的总啮合刚度。通过有限元载荷仿真结果及式（12）计算得出的总啮合刚度结果如表 3 所示。势能法公式计算总啮合刚度与仿真总啮合刚度结果对比如表 2 所示。表 3 基于仿真验证齿轮总啮合刚度 由式（13）得综合刚度为 17.287 66 N/(mmm)。仿真验证综合刚度为 17.288 N/(mmm)，基于时变啮合刚度的综合刚度为 17.353 N/(mmm)，基于渐开线齿轮传动的综合刚度为 16.044 N/(mmm)。由计算结果可知：1）对于直齿单点线啮合齿轮传动，基于时变啮合刚度计算公式得出的综合刚度比基于渐开线齿轮传动的计算公式计算得出的综合刚度大约 8.16%。2）对于直齿单点线啮合齿轮传动，基于时变啮合刚度计算公式计算得出结果与仿真所得结果相近，误差为 1.192%，而基于渐开线齿轮传动的综合刚度计算公式计算结果与仿真所得结果误差为 7.19%。4 结论1）基于时变啮合刚度的综合刚度计算结果与仿真验证结果误差在 6%以下10,11，可见基于时变啮合刚度的综合刚度计算具有一定的可信度。2）基于时变啮合刚度的综合刚度计算特点在于通过主动轮转过的角度划分了计算过程，将双齿对啮合区、单齿对啮合区分段计算，与实际齿轮啮合过程贴近，计算步骤较复杂，但准确度较高。3）基于渐开线齿轮的综合刚度计算公式简单，计算方便快捷，能以较快速度得出具有参考性的结果，但因为该方法参考了传统实心渐开线齿轮的啮合刚度计算方法，所以计算出的数据准确度较低。参考文献1 罗齐汉，厉海祥，张予川，等.点线啮合齿轮参数选择的 封闭图 J.机械工程学报，2005（1）：37-40，45.2 黄海，厉海祥，罗齐汉，等.点线啮合齿轮接触静强度计 算研究 J.机械传动，2011，35（7）：12-15.3 杨帆，罗齐汉，黄海，等.基于 SolidWorks 的点线啮合 齿轮三维模型的研究 J.机械传动，2017，41（3）：44-49.4 钱作勤，厉海祥.硬齿面点线啮合齿轮传动的试验研究 J.武汉船舶职业技术学院学报，2005，4（1）：9-11.5 黄海，秦英奕，陶德馨，等.点线啮合齿轮弯曲疲劳强度 优化 J.机械传动，2012，36（12)：60-63.6 黄海，厉海祥，罗齐汉，等.点线啮合齿轮冷胶合计算研 究 J.机械传动，2011，35（2）：4-8.7 金晓峰.点线啮合齿轮齿形设计及啮合特性分析 D.重庆：重庆大学，2014.8 熊文恒.直齿单点线啮合齿轮传动啮合刚度研究 D.武汉：武汉理工大学，2022.9 厉海祥.点线啮合齿轮传动M.北京:机械工业出版社，2010.10 陈思宇，谭儒龙，郭晓东，等.直齿圆柱齿轮啮合刚度 计算方法研究 J.重庆理工大学学报(自然科学)，2021，35（1）：97-103.11 樊智敏，江峰，马瑞磷，等.基于有限元法的双渐开线 齿轮啮合刚度计算 J.机电工程，2021，38（2）：151-157.作者邮箱：收稿日期：2023-02-06主动轮转角 /（）总啮合刚度 cr/N(mmm)-10.0024.77.888.4612.858.3320.7423.1DESIGN CALCULATION设计计算