上海交通大学研究生入学考试488基本电路理论基本电路答案9.doc

9-1 试求出如图所示的非正弦周期信号分解成傅里叶级数，并作出信号的振幅频谱。
已知：当 时， 。

解：

题11．1图
由波形可知为f(t)偶函数

振幅频谱如图所示

9-2 试求下述信号的有效值、平均值、波形因数、波顶因数和畸变因数。
已知：当 时， 。

解：
有效值：
平均值：
波形因素：
波顶因素：
畸变因素：

9-3 如图所示周期性矩形脉冲，脉冲幅值为 Vm = 10mV，周期 T = 80 μs，脉冲持续时间 τ= 20 μs，试求出其各次谐波的傅里叶系数，并绘出其振幅频谱图。

解：

题11．3图
从波形图可知

各次谐波的傅立叶系数值计算如下：

式中

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

0

0

0

0

0

振幅频谱图如下图所示：

9-4 在附图 a 所示电路的支路内接有四个电流表，流过的电流 i 具有如图 b、c所示的波形，电路中电流互感器是一个电流比为 10:1 的变流器，试求在下列两种不同的情况下，诸电流表的读数各为多少？
a. 若四个电流表均是测量电流的直流分量的电表；
b. 若四个电流表均是测量电流的有效值的电表；

(a)

(b)

(c)
解：

(a)

(b)

(c)
题11．4图
a. 对波形图（b），电流i的有效值为

表的电流的有效值为

各表读数为：

直流分量
50
50
50
0
有效值
57.7
57.7
57.7
2.89

b. 对波形图（c），各表读数为：

直流分量
0
12.5
25
0
有效值
28.9
20.4
28.9
2.89
c. 其中
9-5 试证：

式中，f(t) 和 g(t) 是非正弦周期信号； 是 f(t) 的复傅里叶系数；
是 g(t) 的复傅里叶系数的共轭复数。
证：

对于项
只有项
式为：

题目得证

9-6 试证：

式中，f(t) 和 g(t) 是非正弦周期信号； 是 f(t) 的复傅里叶系数；
是 g(t) 的复傅里叶系数的共轭复数。
试用该公式导出非正弦周期电压和非正弦周期电流的有效值公式以及
由两者共同形成的平均功率公式。
解：
非正弦周期函数f(t)的傅立叶级数为：

上式中：

有效值：

平均功率：
设

又

9-7 试证实在非正弦周期电压作用下，
a. 对电感器有 ；
b. 对电容器有 。
并根据上面二式作出你的结论。式中的 k 是谐波的次数，ikm 和 Vkm 是 k 次谐波电流和电压的振幅；i1m 和 V1m 是基波电流和电压的振幅。
证：
a）对基波：
对k次谐波：

b）对基波：
对k反次谐波：

当元件电压为周期性的非正弦波时，电感电流与电压波形不相似，电容电流与电压波形也不相似，电感器的扼流作用随频率增高而增强k倍，电容器的扼流作用随频率增高而减弱k倍
9-8 有一如图所示的电路。已知电压源vs(t) = 10sin 100t+3sin500t V, L=1mH，C=10-4F，试求iL(t)、iC(t)，并画出它们的波形图。

解：

题11．8图
基波电压作用时

所以在基波电压作用下电路并联谐振

五次谐波电压作用时

故得

9-9 有一如图所示的电路。现在端口 1 1' 间加上波形如下图所示的电压 v(t)，并知 Am = 100 V， ω = 314rad/s。试求负载RL两端的电压 V'(t)。

波形：

已知：当 时， 。
解：

题11．9图

对于恒定分量，输出电压为：

对于基波分量，利用相量法可求得：

对于二次谐波分量：

负载两端的电压为：

9-10 有一如图所示的电路。已知非正弦周期电源电压角频率 ω=10rad/s，R = 5Ω，，C = 0.01F，试求端口电流 i(t)。

解：

题11．10图

其傅立叶级数表示式为：

其波形图如右图所示

端口电流的恒定分量：

基波分量：

三次谐波分量：

电路并联谐振

五次谐波分量：

端口电流为：

9-11 有一如图所示的电路。已知 ， ， ， ，R1 =300Ω ，R2 =50Ω ， ，试求 v2(t)。

解：

题11．11图
对于电流的恒定分量作用，输出电压为零，即

电源角频率为时，计算电路如下：

应用回路分析法，列出电路方程：

输出电压
在电源各次谐波分量作用时，输出电压计算如下

9-12 附图电路中的电流源

试求 ，并根据所得结果说明此电路的作用。

解：

题11．12图
在电源各次谐波分量分别作用时，负载电流计算如下：

故得

由结果可见，电路可看作为对角频率的通频滤波器，而和的信号作用通过电路被滤除
当时，并联的、支路为并联谐振，而串联的、支路为串联谐振，故负载电压为
对，并联电抗器的感抗较小，串联电容器的容抗较大，故负载电流较小
对，并联的容抗较小，串联的感抗较大，故负载电流亦较小
9-13 已知电源电压为
，
试设计一滤波电路，使负载电压 v(t) 中只含有电源中恒定分量和二次谐波分量，即 ，滤波电路可由若干个电阻器、电感器及电容器组成，试画出滤波器电路图，并加以说明。

解：

题11．13图
可以选用如下电路

该电路的输出电压恒定分量与输入电压的恒定分量相同，即。要求并联支路在角频率发生并联谐振，即，使输出电压中滤除角频率分量。
串并联支路，使满足，即可使该支路在角频率发生串联谐振，即
元件串联，使满足，即可使输出电压不包含角频率分量
多元件参数为满足以上关系，即可使输出电压

串并联支路也可改接如图

其中元件参数满足电路发生并联谐振，输出电压中不包含角频率分量
使，则，电路在角频率时发生串联谐振
，在角频率时发生串联谐振，
输出电压亦可满足
9-14 已知某单口网络的电压和电流为
，
，
试求其吸收的平均功率、无功功率、视在功率和畸变功率。
解：
吸收的平均功率

吸收的无功功率

吸收的视在功率

畸变功率

9-15 有一如图所示的电路。已知 ， ，试求两个电源发出的平均功率和无功功率及各个R 、L 、C 元件所吸收的平均功率和无功功率。

解：

题11．15图
在的恒定分量的作用下，计算电路图为：

已知
可得
电源发出
电阻吸收
在电源基波分量的作用下，应用相量法，计算电路如图：

电阻器吸收功率
电感器吸收无功功率
电容器吸收无功功率
电源发出的复功率

在电源三次谐波分量的作用下，应用相量法，计算电路如图

电阻器吸收

电感器吸收无功功率
电容器吸收无功功率
电源发出的复功率
共计：
电阻器所吸收功率

电感器吸收无功功率

电容器吸收无功功率

电源发出有功功率
发出无功功率
电源发出有功功率
发出无功功率
以上结果符合有功功率守恒定理，无功功率守恒定理及复功率守恒定理
9-16 有一电路如图所示。已知 ωL= 10Ω ，R=20Ω ，所加电压
，
试求所接各表的读数（所有仪表均为电动式）。

解：

题11．16图
恒定分量电流
基波分量的作用

三次谐波分量的作用

可得各电表读数如下：
电流表读数
电压表读数
功率表读数

9-17 已知星形连接的对称三相发电机的 A 相电压
，
试求发电机的线电压 。
解：

9-18 在如图所示的电路中，已知 A 相电动势
，
R=9Ω ，ωL= 2Ω ，试求出各个电压表和电流表的读数（所有仪表均为电动式）。

解；

题11．18图
对各次谐波利用相量法如下。
基波分量

由于该分量为正序分量，故多相电流及负载电压也均构成正序分量

三次谐波电流分量作用
由电路为三相星形三线制连接的对称电路，故线电流不含有三次谐波（零序分量）

九次谐波电流分量作用
由九次谐波亦为零序分量，故线电流不含有九次谐波分量

各表的读数如下

9-19 已知在附图 a 所示的电路内，对称三相发电机的 A 相电动势波形如图 b 所示，波形上的 Em=220V ，α=10° ；负载是三相对称的且有 R=6Ω ， ；中线上的 ωL= 0.5Ω 。试在略去八次以上（包括八次）谐波的规定下，求出中线中的电流。

(a)

(b)
解：

(a)

(b)
题11．19图
由波形可求出

中线电流只含有三次谐波分量，对于三次谐波，中线电流相量为：

中线中电流为：