巧用“虚短”和“虚断”分析电路谐振.pdf

第卷第期大学物理 年月收稿日期：；修回日期：基金项目：射频集成与微组装技术国家地方联合工程实验室开放基金（）；南京邮电大学研究生教改项目（）；南京邮电大学教改项目（）、南京邮电大学年实验室工作研究课题（）资助作者简介：王韦刚（），男，江西安福人，南京邮电大学电子与光学工程学院教授，博士，主要从事电路与系统及无线通信技术研究工作通信作者：涂真珍，：巧用“虚短”和“虚断”分析电路谐振王韦刚，涂真珍，史学军，刘芫健（南京邮电大学 电子与光学工程学院，江苏 南京；南京邮电大学 材料科学与工程学院，江苏 南京）摘要：众所周知，“虚短”和“虚断”是模拟电子技术中分析运放电路的重要手段然而，作者在多年的教学与实践中发现，该方法同样可以巧妙地用于“电路分析基础”中谐振相关问题的分析，而且该技巧简单直观，可以免去复杂的复数运算，应用起来方便快捷本文通过理论分析和实例验证了所提方法的有效性，在相关电路分析中具有一定的价值关键词：“虚短”；“虚断”；串联谐振；并联谐振；谐振频率；中图分类号：文献标识码：文章编号：（）【】电感与电容是电路中两种常见的储能元件，它们构成的电路在特定的工作频率下会产生谐振的现象，此时电路端口的电压与电流的相位相同当策动点的阻抗最小时，或者说其虚部为零时，发生了串联谐振；当策动点的导纳最小时，或者说其虚部为零时，发生了并联谐振在分析电路谐振时，一般可分为两种情况分析计算：第一种是当电路的固有频率不能改变时，可以通过调整激励的频率，使之与电路自身的固有频率相同而产生谐振；第二种是当激励的谐振频率不能改变时，可以通过调节电感或电容的值进行调谐，从而使电路固有频率与激励频率相同而产生谐振在分析电路谐振时，无论是串联谐振还是并联谐振，或者是未知谐振类型的情况下，通常习惯于利用谐振的定义，根据其端口的阻抗或导纳虚部为零的条件进行求解第种情况下，可通过定义求得电路的谐振频率；第种情况下，根据定义列出方程式并通过较复杂的复数计算，可分别求得电感和电容的参数值然而，利用谐振的特性去求解会更加便捷我们参照“模拟电子技术”中分析运算放大器时“虚短”与“虚断”的概念，根据历年来的教学与实践经验，在进行谐振电路分析时，类似地提出“虚短”与“虚断”的理念，并给出了具体的求解方法该方法不需要根据定义列出带有复数运算的方程式，只需要电容之间及电感之间明确的连接关系，便可快捷直观地求解针对第一种情况，只需要假定电路的“虚短”或“虚断”，根据发生谐振时电路中的等效电容和电感值，即可计算出对应的谐振频率；针对第二种情况，通过假定电路的“虚短”或“虚断”，可直接计算出调谐时电容和电感元件的参数值该方法不仅能帮助分析谐振电路，还能加强对谐振电路的学习和应用通过定义计算谐振频率串联频率响应分析如图所示，构成串联电路，以电源电压（）为输入，电阻电压（）为输出，可以得到电压转移函数为 CoCoCo槡（）可得 CoCoCo槡（）大学物理第卷（）由式（）的幅值函数可知，要使其达到最大值，则分母必须达最小值，从而 槡，此时发生串联谐振另外，从阻抗的角度可知总的阻抗表达式为（）Co（）由式（）可以得出其虚部为时，端口的总阻抗最小，此时（）（）（）式（）说明串联谐振时两个储能元件的阻抗为既然具有这样的结论或特性，那么就可以反过来利用该结论，推导出谐振时应具备的条件换言之，串联谐振时，多个储能元件和总的阻抗为因此，如果已知电路发生了串联谐振，可以假设在全部的端口处视作“虚短”，即用短路线将端口直接做短路连接，然后分析各个电感及各个电容的相互之间的连接关系，等效出总的电感值总和电容值总，最后根据 总槡总，即可得出串联谐振频率Copyorigriht(pcco(图串联电路并联频率响应分析如图所示，构成并联电路，以总电流（）为输入，电阻电流（）为输出，可以得到电压转移函数为（）（）由电流转移函数可知，其幅度和相位分别为（）（）（）槡（）（）由式（）的幅值函数可知，要使其达到最大值，则分母必须最小，从而 槡，此时发生并联谐振另外，从导纳的角度也可得出总的导纳为 Co（）可以看出其虚部为时，该端口总的导纳最小，此时发生并联谐振且有 槡（）也就说明并联谐振时的导纳为换言之，发生并联谐振时，多个储能元件和总体的导纳为因此，如果电路已知发生了并联谐振，可以假设在全部和的端口处视作“虚断”，将端口直接断开，然后分析各个电感及各个电容的相互之间的连接关系，等效出总的电感值总和电容值总，最后根据 总槡总，即可得出并联谐振频率CopCypCrprirpghtyiypggghto(Ccp)Cp图并联谐振电路混联频率响应分析对于混联电路，它包括了串联、并联以及其它多种连接的形式然而，根据上面两点的阐述，不论电路整体发生串联谐振还是并联谐振，其频率总是在 总槡总只是在不同的谐振形式下，电路有不同的等效连接方式，计算出来的总的电感值总和电容值总也不同，其谐振频率也不同当我们了解这一特性后，利用“虚短”和“虚断”进行谐振电路分析，问题也就迎刃而解了“虚短”和“虚断”分析谐振电路对于储能元件电感和电容，只要它们的连接方式确定，那么就可以分别等效成总的电感和电容值当发生串联谐振时，电阻以外的电路端口具有“虚短”的特性，在端口两端用短路线连接，然后计算电感值总和电容值总；当发生并联谐振时，电阻以外的电路端口具有“虚断”的特性，将端口两端视作开路，进一步计算电感值总和电容值总：第期王韦刚，等：巧用“虚短”和“虚断”分析电路谐振 总槡总总槡总（）下面针对多个电容和电感的组合，分几种情况进行分析多个电感与单个电容组合当电路中存在多个电感与单个电容的混联形式，则需要将多个电感等效成总的电感值总，然后再与单个电容带入基本表达式，得出 总槡 当串联谐振时，电阻以外的端口应作“虚短”处理，然后判断出多个电感的串并联关系；当并联谐振时，电阻以外的端口应作“虚断”处理，同样可以得出多个电感的串并联关系 下面例举两个电感与一个电容组合的情况如图所示，电感和电容串联后再与电感并联发生串联谐振时，端口、之间视作“虚短”，可用虚拟的短路线连接此时，电感被“短路”了，也就是说电感暂时对电路不起作用那么谐振频率仅由电感和电容决定，根据总，可直接得出其串联谐振频率 槡；当发生并联谐振时，端口、之间视作“虚断”，此时电感、和电容与所在的支路分开，单独构成回路，电感和为串联关系，其等效电感值总，因此其谐振频率 Co槡CoCpyprighgih图两个电感与一个电容组合此情况可进一步利用定义求解的方法进行验证根据端口之间的导纳为 ，则该式在串联谐振时导纳应为无穷大，因此第项分母须等于，从而能得出串联谐振频率 槡的结论；在电路并联谐振时，端口之间的导纳最小，则第项与第项之和应为，通过较复杂的复数运算，也可以得到并联谐振频率为 Co槡通过二者的比较，显然利用“虚短”或“虚断”的方法不需要进行复数运算，并且更加简洁与直观多个电容与单个电感组合当电路中出现了多个电容与单个电感的混联形式，则需要将多个电容等效成总的电容值总，然后再与单个电感共同得出 槡总当串联谐振时，电阻以外的端口应作“虚短”处理，然后判断出多个电感的串并联关系；当并联谐振时，电阻以外的端口应作“虚断”处理，类似可得出多个电感的串并联关系图为个电容与个电感组合的情况t(c(c)20-02-图两个电容与一个电感组合如图所示，当电路发生串联谐振时，之间可视作短路，此时电路中的电流达到最大值此时，电容被“短路”了，也就是说电容暂时对电路不起作用，仅有与进行能量与电荷的交换，即发生谐振时此电路环节中的等效电容为总，因此串联谐振频率为 槡当此电路发生并联谐振时，端口、之间视作“虚断”，端口电压达到最大值此时电感和电容、与以左的电路分开，与、单独构成回路，电容和为串联关系，其等效电感值总，那么谐振频率为 Co槡此类情况同样可以通过定义求解的方法验证，根据端口之间的导纳为 ，则该式在串联谐振时导纳应为无穷大，因此第三项分母须等于零，从而也能得出串联谐振频率槡的结论；在电路并联谐振时，端口之间的导纳最小，则第二项与第三项之和应为零，通过较复杂的复数运算之后，也可以得到并联谐振频率为 Co槡多个电容与多个电感组合当电路中出现了多个电感与多个电容的混联形 大学物理第卷式，则需要将多个电感等效成总的电感值总，多个电容等效成总，带入谐振基本表达式得到总槡总如图电路发生串联谐振时，有可能出现个谐振频率点，端口应作“虚短”处理，从而和被短路或者和被短路了，然后判断出多个电感的串并联关系后得出 槡和槡；当并联谐振时，电阻以外的端口应作“虚断”处理，同样可以得出这些电容电感组成串联关系，进而求得（）槡因此，该方法同样适用于多电感和多电容的组合，不过在应用时要注意可能存在多个谐振频率点CopoCypyrighgih图两个电感与两个电容组合“虚短”和“虚断”在谐振电路中的应用由上述分析可知，用“虚短”和“虚断”求电路中串联并联及混联谐振频率时，无需根据定义求解法进行复杂计算，只需要分析电路的短路或开路状态，先求出谐振电路中总的等效电容和等效电感值，即可快速直观地进行谐振频率计算计算谐振频率为了验证本文所提方法的实用性，下面通过带具体参数的电路作进一步分析说明图为混联电路实例，需要分别求解电路的串联谐振频率和并联谐振频率C1?F?HL1C2?F?HL2图多个电感与电容的混联电路根据“虚断”的方法，从图可以看出，电路由两个谐振腔构成，左边谐振腔发生并联谐振时，其谐振频率为并 槡 ；右边谐振腔发生并联谐振时，其谐振频率为并 槡 当频率并时，电路整体上呈感性；当频率并时，电路整体上呈容性当频率并并时，存在某个频点使得电路发生串联谐振为了得到这个串联谐振频率点，我们采用“虚短”的分析方法，即在之间直接用短路线连接，如图 间短路线所示图为简化后的电路，此时通过“虚短”的方法，可以分别求出电感总，电容总，进一步可以得到串 总槡总Co槡 ，这个频点介于个并联谐振频点之间C1?F?HL1C2?F?HL2AB图“虚短”的短路连接图C1?FC2?F?HL2?HL2AB图简化后的电路连接图本实例可通过软件进行仿真实验进一步验证，从波特仪的结果可观察出这几个谐振点左边陷波频点为并 ，右边陷波点频点为并 ，中间最高点为电路发生串联谐振频点为 ，图的实验结果的数据表明，它与“虚短”和“虚断”分析的理论结果基本一致第期王韦刚，等：巧用“虚短”和“虚断”分析电路谐振 图波特仪显示谐振频率点计算电路元件参数如果电路已知或者隐含地给出其串联或并联谐振频率时，也可以利用“虚短”和“虚断”的方法快速地求解谐振电路中的电容和电感元件的参数图中的交流电压源含多种频率成分，已知电容的值 ，基本频率为 ，电源电压为C o（）（），电阻电压为（）（），需求解和CoCpyoroight(c)rpight图元件参数未知的混联谐振电路由于（）中频率的电压分量在电阻上无电压响应，说明电路在频率处发生了并联谐振可将图中的、之间视作“开路”，在频率处发生并联谐振，的一端被断开，不与、发生耦合作用，因此电路中的等效电容为总，此时有槡，则可得 （）中频率的电压分量在电阻（）上的响应无衰减，说明电路在频率处发生了串联谐振，则、相当于“短路”，此时发生串联谐振，因此与是并联关系，其等效电感为总，总槡，则可得 图所示为仿真验证结果图谐振电路元件的参数计算工程实际应用利用谐振电路对电容进行测试是一种常用的电容数值测量方法如图所示，图中左边为一个高频振荡电路，可以设置并产生相应的频率2000-2图利用谐振电路测量电容值在次级回路中，首先将标准可变电容器设置到电容量最大的刻度位置 上，调节初级回路频率使得次级回路产生谐振然后将被测电容以并联方式接到上，并使振荡电路保持原来的频率不变为了使次级回路再次产生谐振，需减小可变电容到 位置上，在这种情况下由“虚断”的性质可知谐振频率为 Co槡，那么 ，即可求得被测电容的值为 大学物理第卷由上述分析可知，用“虚短”与“虚断”的方法求电路中的串联谐振频率与并联谐振频率时，并不需要利用定义进行复数运算，只需谐振电路中的总的等效电容和等效电感值，即可方便快捷地求出对应的谐振频率；反之，当已知电路的串或并联谐振频率时，也可用此方法快速求出电路中等效总电容或等效总电感的值，从而求出待求的电容或电感值因此，该方法不仅能快速分析与解决问题，还能帮助加深对电路谐振与谐振频率的理解总结谐振在通信与电子技术中应用广泛，合理利用时能使电路产生有益的效果；当忽视或分析错误时，则会使电路产生不良影响，因此，快捷正确地分析电路非常重要本文针对电路中的谐振问题提出的“虚短”和“虚断”简便求解方法，通过仿真实验的验证，证实了本方法的有效性，这在电路教学以及电子工程应用中具有非常重要的实践意义参考文献黄万霞，叶欢，尹杰 耦合回路的另一种描述大学物理，（）：李宗平 串联谐振实验的仿真教学法大学物理实验，（）：常山，桑志文，胡勇，等用研讨教学法进行串联谐振实验教学大学物理实验，（）：苗红宇 和在谐振电路实训教学中的应用实验室科学，（）：吕井勇，孙胜春，董兴泰基于 的串联谐振电路实验设计实验室研究与探索，（）：王韦刚，张云伟，田龙彬一种谐振频率的简便求解与测量电子测量技术，（）：王楠，钱浩媛，闫夙，等 串联谐振电路中总损耗电阻的一种估算方法大学物理实验，（）：黄卫华 串联谐振电路学习的问题及对策研究装备制造技术，（）：张璐雅，阮景 串联谐振电路课程的设计研究集成电路应用，（）：谢晓霞谐振电路的教学设计与实践电气电子教学学报，（）：权建军，刘文杰 软件在串联谐振电路教学中的应用自动化与仪器仪表，（）：刘维慧，代坤，李洪亮基于回路的傅里叶级数分解问题的分析与验证大学物理，（）：“”“”，（，；，）：，“”“”，：；