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低秩矩阵补全高分辨SAR成像特征重建杨 磊*王腾腾 陈英杰 盖明慧 许瀚文(中国民航大学天津市智能信号与图像处理重点实验室 天津 300300)摘 要：在对抗电磁环境中，机载合成孔径雷达(SAR)容易受到电子干扰，造成若干回波脉冲不可用，导致SAR回波部分数据丢失，成像性能受限。由此，该文提出了一种基于低秩矩阵补全的特征重建SAR(FR-SAR)成像算法。考虑到SAR回波数据的低秩特性，引入矩阵分解获取行或列的非零数，应用因式组稀疏正则化(FGSR)算法对非零列数取凸优化，可获取SAR回波数据之间的相关性，从而实现SAR回波数据的补全。同时为了提升该算法的抑噪声性能和高分辨能力，将稀疏先验引入正则化模型。利用交替方向多乘子法(ADMM)实现矩阵补全和稀疏特征增强协同求解。FR-SAR算法由于未使用奇异值分解(SVD)，运算效率更高。仿真和实测实验验证了FR-SAR算法的有效性，同时利用相变分析方法(PTD)对所提算法和传统算法的恢复能力进行定量对比，均验证了FR-SAR算法的优越性。关键词：合成孔径雷达；矩阵补全；压缩感知；交替方向多乘子中图分类号：TN957.52文献标识码：A文章编号：1009-5896(2023)08-2965-10DOI:10.11999/JEIT220992Feature Reconstruction of High Resolution SAR ImageryBased on Low Rank Matrix CompletionYANG Lei WANG Tengteng CHEN Yingjie GAI Minghui XU Hanwen(Tianjin Key Laboratory for Advanced Signal Processing,Civil Aviation University of China,Tianjin 300300,China)Abstract:In a countermeasure electromagnetic environment,airborne Synthetic Aperture Radar(SAR)is proneto electronic interference,which makes some echo pulses unavailable,resulting in partial data loss of the SARecho and limited imaging performance.Thus,a Feature Reconstruction SAR(FR-SAR)imaging algorithmbased on low-rank matrix completion is proposed.By considering the low-rank characteristics of the echoeddata,the nonzero column number of rows or columns is obtained through matrix decomposition,and thenonzero column number is convexly optimized by Factor Group-Sparse Regularization(FGSR)to obtain thecorrelation between SAR echoes,to achieve data completion.Additionally,the proposed algorithm in the rankfunction is more accurate than the conventional nuclear function.Meanwhile,a sparse prior is introduced intothe regularization model to improve the noise suppression and super-resolution performance.The AlternatingDirection Method of Multipliers(ADMM)is used to realize a collaborative solution between matrix completionand sparse feature enhancement.The FR-SAR algorithm is more efficient because it does not use SingularValue Decomposition(SVD).Simulated and measured data verify the effectiveness of the FR-SAR algorithm.The recovery abilities of the proposed and traditional algorithms are quantitatively compared using a PhaseTransition Diagram(PTD),establishing the superiority of the FR-SAR algorithm.Key words:Synthetic Aperture Radar(SAR);Matrix Completion(MC);Compressed Sensing(CS);AlternatingDirection Method of Multipliers(ADMM)收稿日期：2022-07-26；改回日期：2022-10-09；网络出版：2022-10-11*通信作者：杨磊基金项目：国家自然科学基金(62271487)Foundation Item:The National Natural Science Foundation of China(62271487)第45卷第8期电 子 与 信 息 学 报Vol.45No.82023年8月Journal of Electronics&Information TechnologyAug.20231 引言合成孔径雷达(Synthetic Aperture Radar,SAR)广泛应用于各个领域，如机载SAR地面遥感成像、海洋船只等动目标检测14等。但传统的SAR成像算法主要关注距离徙动校正，且大多数基于傅里叶变换(Fourier Transform,FT)算法，而FT算法要求系统采样频率必须满足奈奎斯特理论，且其响应函数是固定的，无法提取目标的精细化特征，因此在特征提取方面应用受限。11压缩感知(Compressed Sensing,CS)技术5突破了香农定理对信号采样频率的限制，可有效减少高分辨率成像系统中数据的采样率，从而简化系统的复杂性。CS理论6应用于雷达领域，实现了高分辨率SAR稀疏成像，极大地推动了SAR稀疏特征增强的发展，最重要的是为后续的目标分类识别提供方便的条件。凸优化算法(Convex,CVX)为稀疏特征增强成像算法经典算法之一，CVX算法主要利用递归最小二乘的思想，通过最小化目标函数的范数并结合基追踪去噪来有效地恢复稀疏信号，正则化为经典的表征稀疏先验的模型，也被称为LASSO(Least Absolute Shrinkage and SelectionOperator)模型7。但LASSO模型在实际SAR成像特征重建时有一定的限制，如SAR回波在部分丢失情况下，稀疏特征增强会加剧弱散射点的丢失，因此研究SAR回波缺失数据能否补全问题至关重要。矩阵补全(Matrix Completion,MC)技术是近年来的研究热点，其定义为当数据矩阵中含有丢失的元素时，可根据此数据矩阵的低秩结构来恢复矩阵中包含的所有元素8。当矩阵的奇异值及采样数目满足一定条件时9，通过求解一个凸规划问题，可以从一个足够大的随机子集中恢复缺失的元素，表明了信号可以从非常有限的数据中完美地重建出来。MC理论被引入欠采样的SAR系统10，发现MC与欠采样SAR成像之间的联系，并为数据补全提供了一种可行方法。针对不同稀疏数据模式下的SAR成像，文献11提出一种联合低秩稀疏先验约束模型，由于奇异值分解(Singular Value Decomposi-tion,SVD)运算和过完备字典的存在，该方法具有较高的计算成本。为了不使用SVD，一种因式组稀疏正则化(Factor Group-Sparse Regularization,FGSR)12方法被提出，该正则项通过对非零列数取凸松弛而形成的，且比传统的核范数更紧致地替代了秩函数，此方法适用于图像领域，不能将此方法直接用于雷达数据域。本文针对上述问题，提出了将FGSR算法与1正则化算法相结合的特征重建SAR(FeatureReconstruction SAR,FR-SAR)成像算法。根据接收SAR回波数据在特定字典中的低秩性和稀疏性，可在SAR特征重建过程中获取更丰富的潜在有用信息。FR-SAR算法与鲁棒主成分分析13,14(RobustPrincipal Component Analysis,RPCA)方法不同，该算法最终得到的是一个低秩的SAR成像结果，而RPCA算法将SAR回波矩阵分解为一个低秩矩阵和一个稀疏矩阵，与本文所提方法所得到的成像结果用途不同。本文提出的特征重建SAR成像算法使用FGSR正则项作为秩函数的近似替代函数，与此同时，引入稀疏先验以提升FR-SAR算法的抑噪声性能和高分辨能力。由于要对矩阵补全和稀疏特征增强两个任务进行协同作用，交替方向多乘子法15(Alternating Direction Method of Multipliers,ADMM)的变量分裂协调机制可满足两个任务的协同优化，通过“分解-调和”思想实现协同特征增强，且增广拉格朗日算法能够保证ADMM算法的收敛性，最终得到全局最优解。2 SAR回波信号模型OXY Z OXvQcnPn图1为SAR成像几何示意图，以原点建立笛卡儿三维坐标系-。理想条件下SAR成像目标沿预设轨迹(轴)以恒定速度 作直线运动，且雷达工作在聚束模式下，点为场景中心，飞机在飞行过程中定时发出线性调频信号到地面目标场景。第 个静止目标散射点为，线性调频信号为s()=sT()exp(jfc2)(1)sT()rect(/Tn)exp(j2)tTnrect()n其中，=，为距离向的快时间，表示方位向的慢时间，为发射信号的带宽，为发射信号窗函数，为调频率。去载频后的第 个散射点在静止场景中的回波信号可以表示为 图 1 SAR信号模型2966电 子 与 信 息 学 报第 45 卷S(,t)=nsT(2Rn(t)c)exp(j4fcRn(t)c)(2)nncRn(t)nn其中，为第 个散射点的后向散射系数，为光速，为雷达平台与第 个散射点的真实斜距，对式(2)进行距离向FT与匹配滤波，可得到距离波数域的点累积回波表达式为Sn(k,t)=S(k)Nn=1nexp(jkRn(t)(3)k4fc/cfcf0+ff0fq0(t)PnRn(t)|R0+rnq0(t)|rnPnQcR0q0(t)QcRn(t)|R0 q0(t)|其中，=为距离波数变量。式(2)中=表示雷达发射频率，和分别为中心频率和带宽内的频率变化。雷达天线相位中心(AntennaPhase Center,APC)的参考位置用表示，设地面目标散射点到APC的斜距为=，其中为散射点相对于场景中心的偏移矢量，为到的参考斜距矢量，将在处进行泰勒级数展开可得Rn(t)=|R0 q0(t)|+R0 q0(t)|R0 q0(t)|rn+O(t)(4)O(t)|R0 q0(t)|其中，代表参考斜距处的2阶以及更高阶泰勒展开项，在远场假设情况下可以忽略。根据雷达原理，飞机发射线性调频(Linear FrequencyModulation,LFM)信号，经过式(4)的距离历程，对接收到的回波数据进行距离向压缩、方位向解线性调频技术处理及极坐标插值算法16处理，可得SAR模式下的数据域为S0(ru,ts)=Nn=1nsinc(ru rn)exp(j4vxn0R0ts)+N(ru,ts)(5)n(xn,rn)runsincn0tsNsinc其中，第 个散射点的初始位置为，表示距离单元位置变量，为后向散射系数，函数为第 个散射点的距离向响应函数，指数函数项代表方位线性相位项，表示发射信号的波长，为插值后的慢时间变量，为杂波和噪声。通过观察SAR成像回波信号模型可以看出，包含距离向包络函数和方位向的线性相位，且存在杂波和噪声项，因此雷达回波数据在经过距离压缩等一系列过程处理后，可建模为式(6)矩阵形式为Y=FX+N(6)Y CmnS0(ru,ts)mnX Cmn其中，为距离压缩预处理后的SAR数据，即由式(5)推导得出的，和 分别表示方位向脉冲数和距离向分辨单元数，为待恢复的2维观测场景或目标雷达成像结果，噪NFFF1XYXF1Y声和杂波等用表示。当目标处于静止场景时，为常规的方位向傅里叶字典，而在SAR动目标成像模式下，为多普勒调频率的傅里叶字典，具体构造形式见文献17,18。在没有噪声情况下，可通过直接左乘求解，然而现实环境中不仅无法忽略噪声的影响，回波数据还可能存在欠采样的情况，求解模型=为不适定问题，直接求解会导致成像结果出现严重误差。3 SAR成像特征正则优化建模X1构建回波信号模型后，SAR高分辨成像问题转化为式(6)中求解的问题。而 正则先验作为常用的表征稀疏的正则先验，与凸优化方法联合求解可起到稀疏恢复的作用，其成像最小化形式LASSO模型为X=argminX(12Y FX2F+vec(X)1)(7)F 011vec()其中，代表Frobenius范数，表征SAR成像结果的恢复精度。等式右边第1项为保真项，表示最终得到的SAR成像结果与原始成像的逼近程度。参数为稀疏惩罚项的正则化系数，通常，表示范数，为向量化算子。等式右边第2项为稀疏正则项，表示SAR成像结果中的强散射点的先验信息。基于该最小化模型的优化算法仅考虑了SAR成像场景中的稀疏特征，而真实的SAR成像场景散射特征多样化，且由于电磁干扰使得回波数据部分缺失，仅稀疏特征增强已不能满足高分辨SAR成像的需求。将回波信号用矩阵形式表示，当矩阵满足低秩特性且采样数目满足一定条件时，大多数矩阵可以通过求解核范数最小化问题来精确地恢复所有元素。M Rmnrank(M)r min(m,n)假设且=是一个已知的部分SAR回波观测矩阵，假定被观测元素的索引 的数量足够大，低秩逼近问题可以用秩函数表示，即minXrank(X),s.t.P(X)=P(M)(8)m nXi,jP()其中，索引为完整采样元素的子集，未知项假设为零。为采样元素时，为作用于集合 的正交投影算子，其定义为(P(X)i,j=Xi,j,(i,j)0,其他(9)X Rmn0 p 1ppXpp其中，由于秩函数最小化问题是NP-hard的，常用时的Schatten-范数来描述秩最小化问题，其中参数 作用于矩阵奇异值的幂，则的 阶Schatten-范数定义为第8期杨 磊等：低秩矩阵补全高分辨SAR成像特征重建2967XSp:=min(m,n)i=1pi(X)1/p(10)Sppi(X)ip0X0S0rank(X)p1X1S1Xrank()0 p 1XSpp其中，表示Schatten-范数，代表第 个奇异值。当=时，=，也就是待解决的最小化问题；当=时，=为核范数最小化问题的目标函数，定义为所有奇异值之和，核范数是秩函数的凸包络19，将矩阵补全问题凸松弛为最小核范数问题；当时，是一个Quasi范数，相比于核范数，Schat-ten范数可削弱较大奇异值在目标函数中的比重，所以此时的Schatten-范数更适用于描述秩最小化问题，可以更好地近似秩函数。0 p 1prank(X)ABXABTABXABXpp1/2但当时，问题式(8)是非凸的，因此可能存在局部最小值，而不是全局最优值。核范数和Schatten-范数每次迭代都会使用SVD，造成计算量大。本文使用FGSR正则项来近似替代，即使用矩阵分解最小化来描述秩最小化问题，引入=，通过寻找最小化或的非零列数，每个FGSR正则项都是通过对非零列数取凸松弛形成的，也就是说FGSR的两个正则项是因式和的凸函数，利用非凸约束=来获取的非凸的Schatten-范数。以=时的Schatten范数为例，则有FGSR1/2(X)=X1/2S1/2=minX=a1b1+.+adbd12(a12+b12+.+ad2+bd2)(11)2dXA2,1a12+.+ad2A Rmrd r?BT?2,1b12+.+bd2B RdnABp1/2p其中，表示欧氏范数，为SAR回波矩阵的秩，=，且，其中。=，且。因此将矩阵和作为模型变量可以等价为=时的Schatten-范数，式(8)问题可以转化为FGSR1/2(X)=12minX,A,B(A2,1+?BT?2,1)s.t.X=AB,P(X)=P(M)(12)XXUXSXVXUXmVXnSXm nAUXS1/2XBS1/2XVTX此模型避免使用SVD，若将回波矩阵写为=形式，其中为阶正交矩阵，为 阶正交矩阵，是由降序排列的非负对角线元素组成的矩形对角矩阵，当=和=时，式(12)的矩阵分解与SVD作用相同。本文将FGSR算法应用在部分缺失的SAR回波复数据中，使用FGSR正则项进行约束可以补全SAR回波矩阵中缺失数据，那么适用于SAR领域的矩阵补全正则项可以表示为XD2,1=A2,1+?BT?2,1s.t.X=FAB,P(X)=P(M)(13)F其中，表示方位向的傅里叶字典，为正则项参数，在这种情况下，正则化的逆问题的模型变为X=argminX(12Y FX2F+XD2,1)(14)X其中，等式右边第1项为保真项，寻找最优解的过程就是恢复高分辨SAR成像结果的过程。等式右边第2项为矩阵补全正则项，表示已知的部分回波缺失的SAR回波数据。4 SAR成像特征重建算法面向部分回波脉冲缺失的SAR回波数据的特征重建任务，采用式(14)的约束解决SAR回波矩阵部分缺失问题，采用式(7)的约束进行稀疏特征增强。在式(6)的回波模型基础下构建回归模型为X=argminX(12Y FX2F+XD2,1+vec(X)1)(15)1其中，等号右边第2项为双混合范数正则项，如式(13)所示，用来补全SAR回波中缺失数据，第3项为范数正则项，可实现稀疏特征的增强。利用第3节介绍的ADMM的分解思想将式(15)转化为含约束的优化问题为minf(X)+g(Z)s.t.CX+EZ=0(16)f(X)(1/2)Y AX2Fg(Z)ZD2,1vec(Z)1ZD2,1vec(Z)11ZZ=Z1,Z2TXZ1Z2Z1Z2Z1Z1AZ1BZ1Z1AZ1BCI,ITEI其中，=为保真项，=+为联合优化目标函数。其中为双混合范数正则项，用来补全SAR回波中缺失数据。为 范数正则项，可实现稀疏特征的增强。针对矩阵补全和稀疏特征增强两个任务，分裂为两个变量，即，满足=。其中表征矩阵补全变量，表征稀疏特征变量，又将矩阵补全变量分裂为两个子分裂变量和，且=，=，=。式(16)的增广拉格朗日函数为L(X,Z,U)=f(X)+g(Z)+UH(CX+EZ)+2CX+EZ2F(17)HUU1U2Z1Z2其中，为拉格朗日乘子系数，为矩阵的共轭转置，对偶变量分裂为对偶变量和。分别为和所对应的对偶变量。求解模型式(15)的问题可以转化为对以下3个子问题进行交替优化2968电 子 与 信 息 学 报第 45 卷Zk+11=argminZ1L(Xk+1,Z1,Jk1),Jk+11=Jk1+(Xk+1 Zk+11)Zk+12=argminZ2L(Xk+1,Z2,Jk2),Jk+12=Jk2+(Xk+1 Zk+12)Xk+1=argminP(X)=P(M)L(X,Zk1A,Zk1B,Jk1)(18)kkJ1(1/)U1Z1J2(1/)U2Z2其中，上标 代表迭代次数，表示从第1次到第 次迭代的残差积累量，=表示为的缩放的对偶变量，相应的=为的缩放的对偶变量。Z1J14.1 更新分裂变量和对偶变量Z1AZ1BZ1A首先将矩阵补全变量分裂为两个子分裂变量和，固定其他变量，只对矩阵补全子分裂变量进行更新，表达式为Zk+11A=argminZ1AZ1A2,1+2?Xk+1 Z1AZk1B+Jk1?2F(19)Zk+11A(Z1A)Z1A2,1(Z1A)(/2)?Xk+1 Z1AZk1B+Jk1?2F(Z1A)Zk1A由于此时矩阵补全子分裂变量是非平滑项，无法获取闭合解析解，设=，=。将在子分裂变量处线性化如下(Z1A)=2?Zk1A Zk1AZk1B+Jk1?2F+2?Zk+11A Zk1A?2F=2?Zk+11A Zk1A+1W?2F(20)Wf(Zk1A)f(Z1A)Zk1AWXk+1 Zk1AZk1B+Jk1(Zk1B)H?Zk1B?22Z1A其中，=表示在处的导数，且=，表示进行判定的阈值，此时为凸函数，闭合解形式可以表示为Zk+11A=prox1(Zk1A 1W)(21)prox1()Z1BZ1A其中，表示复数软阈值算子。子分裂变量的更新过程与类似，即Zk+11B=argminZ1B?ZT1B?2,1+2?Xk+1 Zk1AZ1B+Jk1?2F(22)Zk+11BZk1AZk1BZ1B由于此时也是非平滑的，无法保证得到最优闭合解，与子问题类似，同样要在处线性化，由此分裂变量的表达式为Zk+11B=prox/(Zk1BV)(23)VZk+11AXk+1+Zk+11AZk1B Jk1/prox()Z1其中，=，且为复数软阈值所需的阈值。矩阵补全分裂变量的更新过程可以表示为Zk+11=Pu(Zk1AZk1B+Jk1)+P(M)(24)uZ1J1其中，为已知的部分SAR回波数据在矩阵中的位置，相应地代表未知的SAR回波数据在矩阵中的位置，矩阵补全变量对应的对偶变量的更新过程为Jk+11=Jk1+Xk Zk+11(25)Z2J24.2 更新分裂变量和对偶变量Z21引入的分裂变量表征稀疏先验，可进一步增强SAR场景的稀疏特征，范数与拉格朗日项的联合最小化的过程可称为对近端算子的求解过程，可知优化问题为Zk+12=argminZ2Z21+2?Xk+1 Zk2 Jk2?2F(26)Z2式(26)的优化问题通过了复数软阈值计算20，此方法处理后复数据幅角不变，因此更适用于处理雷达回波复数据。从而完成对稀疏特征的更新优化，解析表达式为Zk+12=prox/(Xk+1+Jk2)(27)prox/()Z2J2其中，复数软阈值算子可以适应SAR回波的复数特性，具有保相性和实用性，相应的稀疏特征分裂变量的对偶变量更新为Jk+12=Jk2+Xk Zk+12(28)X对偶变量的迭代来源于拉格朗日乘子，也是对原始变量和分裂变量的联合更新过程。4.3 协同优化Z1Z2J1J2X在ADMM交替优化框架21下，对已经更新的特征解和与对应的对偶变量和进行加权调和，通过保持其他变量不变，将更新原始变量的过程归结为岭回归问题，即对式(18)最后一步的联合最小化的更新，目其标函数为Xk+1=argminX12Y FX2F+2?CX Zk+1 Dk+1?2F(29)X式(29)中最小化目标函数为凸函数，因此最优值可通过对目标函数求导，令其导数为0，由此可知目标变量的更新表达式为Xk+1=(FHF+I)1FHY+1(Zk+11+Jk+11)+2(Zk+12+Jk+12)(30)第8期杨 磊等：低秩矩阵补全高分辨SAR成像特征重建296912Z1Z2XX105其中，和为调节矩阵补全变量和稀疏特征变量权重的变量，由式(30)可以看出，原始变量具备了矩阵补全变量和稀疏特征变量，最后完成对目标变量更新，得到闭合解析解。本文提出的FR-SAR算法的流程图如图2所示。当迭代次数达到20次或迭代残差值小于时满足停止准则，跳出循环，输出高分辨SAR成像结果。5 实验验证11为了评估本文所提FR-SAR算法的泛化能力，对远场和近场的目标分别进行仿真模拟实验，并与FGSR算法、正则化算法与核范数+正则化算法进行定性和定量对比与分析。5.1 仿真数据实验首先通过仿真模拟远场机载SAR成像场景，构造了如图3(a)所示模拟SAR复数据。模拟SAR回波数据的中心频率为10 GHz，脉冲重复频率为1024 Hz，机载SAR飞行高度为1 km。向仿真数据中加入10 dB加性高斯噪声，再进行50%的随机降采样，结果如图3(b)所示。从图3(c)可见FGSR处理后算法补全了大多数的缺失数据，但未抑制噪声，而图3(d)所用算法抑制了噪声，但未补全缺失数据。从图3(e)可以看出抑噪效果比图3(d)所用算法更明显，但补全效果不如图3(f)，图3(f)为本文所提出的FR-SAR算法处理后的成像结果，相比于前3种方法得到的成像结果，补全缺失数据的同时更好地抑制了噪声，更接近于参考图像。为了验证本算法对近场成像的有效性和适用性，使用主动式毫米波安检成像数据进行模拟仿真实验，对经过RMA-BP22算法处理后的人体和枪的仿真模型进行成像特征重建。参数设置为：带宽为9.6 GHz，距离向分辨率为15.6 mm，方位向分辨率为4.8 mm。如图4(a)所示，红色方框内为仿真的人体携带枪支，图4(b)为对图4(a)经过随机降采样率为0.7，信噪比为10 dB处理后的成像结果，图4(c)的散射点明显比图4(b)的散射点明显增加，由此证明了矩阵补全算法FGSR的有效性，但抑制噪声的能力有所欠缺。图4(d)中噪声和干扰被有效地去除，但弱散射点缺失严重。从图4(e)可以看出噪声被去除的同时数据也有所补全。图4(f)为提出的FR-SAR算法，既补全了随机缺失的数据，又很好地保留了有用的信息。通过这种基于矩阵补全的特征增强方法，可以提高危险品的检测率和识别率。5.2 实测数据实验X为了进一步测试所提方法的性能，选用美国Sandia实验室公布的SAR复数据来验证所提FR-SAR算法的优越恢复性能。接收到的SAR回波由发射的线性调频信号采集，雷达工作在波段，距离 图 2 FR-SAR算法流程图2970电 子 与 信 息 学 报第 45 卷 图 3 远场成像仿真实验结果 图 4 近场成像仿真实验结果第8期杨 磊等：低秩矩阵补全高分辨SAR成像特征重建2971向和方位向上的分辨率均为0.1 m。实验场景如图5所示，图5(a)为对SAR真实数据进行随机降采样0.8操作后的SAR成像结果，可以看到目标周围杂波和噪声较多，建筑的结构和轮廓非常模糊。图5(b)为FGSR算法的成像效果，可以看出缺失数据已经很好地得到补全，但与此同时噪声也会增加。图5(c)可看出背景噪声进行有效的抑制，强散射点被增强，达到了稀疏特征增强的效果，但目标的完整性未得到补全。图5(d)所用算法虽成像效果较好，但从红色方框中可以明显看出，弱散射点有所缺失。本文所提的FR-SAR算法处理后的成像效果如图5(e)红色框内所示，抑制噪声的同时较好地保留了建筑结构，且轮廓和线条相较于其他3种算法也较为清晰。5.3 相变分析实验11本组实验采用相变分析方法23(Phase Tran-sition Diagram,PTD)进行定量评估FGSR算法、正则化算法、核范数+正则化算法和本文所提的FR-SAR算法的重建能力。通过进行100组蒙特卡罗实验，即对每一个点求100次结果的平均值，可以计算在不同参数下的恢复结果与参考恢复图像的相关度。图6为4种算法的降采样率和信噪比的相变对比图，根据设定阈值，高于阈值认为是可恢复的，即图中深色部分面积越大，代表相关度越接近1，恢复效果越好，成像质量越好。图中黑色虚线为辅助线，便于比较图中深色面积的大小。从图6的4幅图中可以明显地看出所提出的FR-SAR算法的恢复面积更大，即恢复性能最好。6 结论pp本文根据SAR数据在特定域的低秩性和稀疏性，提出了一种基于矩阵补全的SAR特征重建的正则化方法，本质上是对非凸的=1/2的Schatten-范数进行凸优化处理，将其矩阵分解为两个凸的正则项，每个正则项都是通过对非零列数取凸松弛而形成的，优点在于未使用SVD，且相比于核函数更接近待求的秩函数，又将稀疏先验引入SAR成像重建模型，增强抑制噪声的鲁棒性。在SAR观测数据有限的情况下，通过对其进行协同矩阵补全和稀疏特征增强，最终得到高分辨的SAR成像结果。仿真和实测数据实验结果均验证了该算法的有效性和优越性。图 5 Sandia真实数据实验结果2972电 子 与 信 息 学 报第 45 卷参 考 文 献ZHA Mingfeng,QIAN Wenbin,YANG Wenji,et al.Multifeature transformation and fusion-based ship detectionwith small targets and complex backgroundsJ.IEEEGeoscience and Remote Sensing Letters,2022,19:4511405.doi:10.1109/LGRS.2022.3192559.1黄博,周劼,江舸.基于全变分的高分辨SAR联合特征增强成像算法J.红外与毫米波学报,2021,40(5):664672.doi:10.11972/j.issn.1001-9014.2021.05.013.HUANG Bo,ZHOU Jie,and JIANG Ge.Joint featureenhancement for high resolution SAR imaging 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