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“数学运算”小初衔接教学探索陆椿摘要：基于教学内容分析，对“数学运算”小初衔接教学提出建议：注重算理和算法的比较，沟通各种运算之间的联系；运用运算定律和运算性质，铺垫从“数”到“式”的变化；追溯数与运算知识的源头，体会运算思维的发展性；加强针对性的专项训练，提高运算能力。关键词：小初衔接；数学教学；数学运算；运算思维032一、教学内容分析运算是数学的核心内容之一，贯穿于各个阶段的数学学习中。从小学到初中，数学运算的有关内容有两大显著变化：一是数的范围从自然数、正小数、正分数扩充到有理数、实数领域，数的运算也相应地在加、减、乘、除的基础上引人了乘方、开方，实现了由局部到“全局”（实际上是更大的局部）的跨越；二是运算对象从“数”扩充到“式”，即从算术运算过渡到代数运算，实现了由具体到抽象、由特殊到一般的跨越。具体的变化关系(衔接内容)如下：关于有理数的运算，小学阶段学习自然数、正小数、正分数的四则运算，分为加减、乘除两级；初中阶段学习有理数（包括负数）的加、减、乘、除、乘方、开方运算，分为三级，一般包括确定符号、进行计算两个步骤。关于运算律和运算性质，小学阶段学习加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律，以及乘法对加法的分配律，还学习减法的性质、除法的性质等；初中阶段数系扩充后，运算律和运算性质依然适用，但灵活运用的要求更高。关于代数式的运算，小学阶段学习用字母表示运算律和数量关系，以及简单的代数求值；学习倍数关系和因数关系、公倍数和最小公倍数、公因数和最大公因数；还学习从长方形的面积公式推导出正方形、平行四边形2023年8 月教育研究与评论关注033等平面图形的面积公式。初中阶段学习合并同类项和去括号的法则，简单的整式加法和减法运算，简单的整式乘法运算；学习因式关系、公因式、提取公因式，以及因式分解；学习分式的约分、通分，简单的分式加、减、乘、除运算；还学习由面积公式推导出乘法公式。二、衔接教学建议上述变化会让刚踏入初中的大多数学生感到很不适应，因此，教师需要做好“数学运算”的小初衔接教学。总的来看，从小学到初中，虽然数学运算的内容以及形式都有很大变化，但是本质上的运算思维是一脉相承的。著名数学教育家弗赖登塔尔指出：运算的本质是计数，好的方法都强调计数。运算思维是指为了更好地计数，在理解算理、应用算法的过程中产生的一系列类比、迁移、归纳、演绎、联想、想象等思维活动。因此，从运算思维出发，突破外在的表象，探索运算的本质，是做好“数学运算”小初衔接教学的基本思路。具体地，需要做好以下几点：（一）注重算理和算法的比较，沟通各种运算之间的联系算理决定算法。无论小学还是初中，各种运算的基本算理是一脉相通的。义务教育数学课程标准（2 0 2 2 年版）（以下简称“新课标”)指出：数的运算教学应注重对整数、小数和分数四则运算的统筹，让学生进一步感悟运算的一致性。2 因此，我们在教学中,应注意引导学生比较算理和算法的共性和差异，沟通各种运算之间的联系,形成对运算的整体认识。例如，在“数的运算”的复习教学中，教师出示如下题组：2 7 8 十1 436=；37.3+号一青一。对此,学生在正确计9.92=;?4一6算方面应该不存在困难。教师要重点引导学生通过练习分别复习整数、小数、分数加(减)法的计算法则。这三种运算表面上看有比较大的差异：整数加（减)法要求末位对齐；小数加（减)法要求小数点对齐；分数加（减)法强调通分（分母统一）。教师可以继续引导学生从表面走向深人：实质上，三个计算法则不是相互割裂的，它们的核心都是相同计数单位方可直接相加（减）。如此，返回算理进行解释，将整数、小数、分数加（减)法的计算法则统一起来，突出本质，更有利于知识的理解和保持。在学生认识到“数的加减运算就是基本单位 相同的情况下，基本单位 个数的加减运算”的基础上，可以顺势拓展。比如2 十6，“基本单位是，就是2 个加6 个等于8 个，即8;再如7 ab一3ab，“基本单位”是ab,就是7 个ab减3个ab等于4个ab,即40b;还如录+%“基本单位 是片就是 3 个mm，鼎加2 个等于5个，即。女mm用“基本单位”的方法来进行含有字母的式子的加减运算，学生进入初中以后，通过类比便能很快掌握和理解式的运算，特别是合并同类项。此外，小学阶段的计算教学，大多通过生活情境引人。如整数四则混合运算，就是通过模拟购物，先分步，再综合，最后得出运算顺序。这样的编排符合小学生的年龄特征，也利于他们通过现实情境理解先乘除再加减的运算顺序。进人初中以后，引入了乘方和开方运算，由二级运算拓展到三级运算。因此教学中，可以结合情境向学生说明：从运算的发展来看,加减法是最基本的运算，乘法是相同加数连加的简便运算，除法则是相同减m如此尝试运mm关注教育研究与评论2023年8 月数递减的简便运算（也是乘法的逆运算），乘除法比加减法高一级，因此“先乘除再加减”既是解决实际问题的需要，也是基于运算意义的规定；而乘方可以看作乘法的简便运算，开方则是乘方的逆运算，因此乘方、开方是更高一级的运算，要优先计算，这是由运算的意义以及运算之间的关系决定的。这样，就便于学生循序渐进地理解和掌握三级运算的意义、关系以及顺序。（二）运用运算定律和运算性质，铺垫从“数”到式”的变化小学阶段的运算主要是数的运算，通常需要从运算的意义出发，分析算理、得到算法，程序操作、得到结果。而初中阶段的运算主要是代数式（整式、分式、有理式、根式等）的运算，更抽象，更一般，更凸显数学本质，更适合解决问题，通常需要基于普遍成立的运034算律、运算性质进行，是一种变形，而无具体结果。正如项武义先生所说的：代数学的基本思想就是有效、有系统地运用普遍成立的运算律(运算性质)去解答多种多样的代数问题。3 因此，要做好小初衔接教学，就要加强运算律和运算性质及其运用的教学，并做适当拓展。例如，代数式的合并同类项运算（变形）其实就是“根据乘法分配律把同类项合并成一项”。小学高年级的教学中，可以安排这样的练习：如图1 所示，求这个场地的总面积。对此，可以采取两种方法计算，即1 5a十1 5a十15a十ab=45a十ab=(45+b)a与(1 5+1 5+15十b)a=（45十6)a，从而渗透运用乘法分配律合并同类项的基本方法。a米乒乓球馆羽毛球馆网球馆排球馆15米15米图1其实，在小学低年级，学生也经常会做这样的练习：6 个3加4个3等于1 0 个3，6 个3减4个3等于2 个3这正是乘法分配律归结为乘法运算意义的具体化算理解释。进而，在小学阶段，还可加强运用乘法分配律进行简便运算的各种变式练习，如：4.44X3.3+2.22X3.4=(2.22X2)X3.3+2.22X3.4=2.22X6.6+2.22X3.4=2.22X10=22.2,333X222-666=(3X111)(2111)（6 1 1 1)=（3X 2 X111)X111-(6X111)=(6X111)X111-（6 X 1 1 1）=1 1 1。由此，让学生通过找相同的“数”（项），体会“合并”的数学思想；借助“数”的运算，体会“式”的运算，从而感悟“数式相通”的道理。此外，新课标虽然将“方程”的学习完全放在了初中，但是并没有削弱小学阶段代数思维的培养。这主要表现为提升了“用字母表示数”的要求，将其设置在“数量关系”主题下。小初衔接教学中，教师需要注意引导学生用字母表示稍复杂的数量关系，体会其一般性，从而为初中学习代数式及其运算（变形)打好基础。一方面,对具有一般性的数量关系，如运算律、计算公式、常见数量关系等，要注意突出字母表示；另一方面，对一些具体情境中的数量关系，如“爸爸的年龄是儿子的4倍，妈妈比儿子大2 6 岁”，也要让学生尝试用字母来表示六一一设儿子今年岁，则爸爸今年4a岁，妈妈今年(a十2 6)岁。（三）追溯数与运算知识的源头，体会运算思维的发展性从自然数开始，每扩充一次数的集合都是为了满足某种运算的需要。51 数与运算关15米6米系密切，相关知识是交叉递进发展（螺旋上升)的。因此,在小初衔接教学中,要梳理整2023年8 月教育研究与评论关注体观念，注意引导学生回到数与运算知识的源头去思考问题，主动对接小学与初中知识体系，体会运算思维的发展性。例如，苏教版小学数学五年级上册用字母表示数单元中表示正方形的面积公式时，提到了“平方 的概念：“aX可以写成aa，也可以写成。读作的平方。”六年级上册长方体和正方体单元中提到了“立方”的概念：“aa也可以写成,读作a的立方。”而苏科版初中数学七年级上册有理数单元对“有理数的乘方”进行了系统的教学，并指出：“特别地，一个数的二次方，也称为这个数的平方；一个数的三次方，也称为这个数的立方。”这就沟通了前后知识的联系，明确了“平方”和“立方”实质都是“求相同因数的积的运算”。实际上，小学学习“平方”和“立方”主要是了解它们的意义、读法和写法，以及作为计量单位（如m、c m）的表示方式和含义；初中学习“乘方”则作为一种运算直接参与有理数的混合运算。对此，在小初衔接教学中，我们可以加强以下几个方面的指导：首先,让学生在对比中理解和3的意义,如=aXa表示2 个a相乘,与2 a=a十表示2 个a相加，在形”与“意”方面相通。其次，适当安排简单的乘方运算，如3=3X3=9,43=4X4X4=64.在运算中,强调让学生写出过程，即几个几相乘，以加深对乘方意义的理解。除了求整数的乘方之外，还可以安排小数和分数的乘方运算，如0.1 2=0.1X0.1=0.01,0.23=0.2X0.2X0.2=0.008,(3再次，渗透含有乘方的混合运算的运算顺序。对比初中和小学的混合运算，不同之处是初中增加了乘方运算的优先权。含有乘方的混合运算虽然是七年级的全新内容，但是在小学阶段其实也有所涉及。例如,圆的面积计算公式S=元r，圆柱的体积计算公式V=元rh。教师可以强调类似含有“平方”的式子需要优先计算，并安排一些计算练习让学生体会，如32 2 3，8 2 1 4，8 十2 2 等。需要注意的是，含有乘方的混合运算，除了乘方运算之外，其他运算以一步为宜。最后，在六年级总复习阶段，复习到“平方”和“立方”的知识时，也可以适当拓展，如：1010写作1 0，1 0 1 0 1 0 写作1 0 3，那么10101010可以写作怎样的形式呢？让学生以找规律的形式合情推理，为后续学习科学计数法(乃至其他进制进率的表示方法)做好铺垫。此外，在知识衔接的过程中，还要抓住“变与不变”的辩证关系进行渗透，这是思维发展(学习迁移)的基本特征一一无论类比、归纳、演绎还是联想思维，都蕴含着变与不变的要素。比如，从正数加法到正、负数的加法（或正数的加、减法），要注意使用交换律（不变)时，不能忘记带上符号（变），如5.2 一1-号不能错误地变为 5.2 2.8 +52+2.861_5善。再如,从因数分解到因式分解,注26-6意体会质数、一次式的基础性以及试商思想、待定系数法的普适性。（四）加强针对性的专项训练，提高运算能力大部分学生会在七年级学习有理数的相33-9035关运算时遇到困难，错误不断。因为这时的运算相比于小学，不仅增加了负数（涉及相关的运算法则），而且混合程度较高，步骤较多，关注教育研究与评论2023年8 月同时会出现假分数和带分数。因此，在小初衔接教学中，可以适当增加一些针对性的专项训练，以积累经验，发展数感，巩固基本的计算方法，提高学生的运算能力，提升计算的熟练度和准确率。首先，加强分数与小数的互化训练。如，对6=0.5、2最后，适当增加混合运算的步骤，提高学生计算的熟练度。如：48 一.74:12X14=481=4;2.25+5.1+41249=2.25+5.1+0.25-4.125-0.9=102.575.=0.25、30.75134820.2530.125、0.375、880.875=0.1、102010.02等常用的分数与小数的互化，应50熟记过关。其次，加强分数与小数的专项运算训练，036如+0.5.0.4一1、0.3、一-0.2 等，提一343高学生算法多样化和优化的意识。当然，分数和小数的混合运算，重点是提高熟练度，步骤不宜过多。再次，加强带分数与假分数的互化训练，如%=23211等。同时，可以进行简133-3单的含有带分数的加减运算，如22等；还可补充一些简单的含有带分一3数的乘除运算，如2530.52X12440.66550.62580.05、=0.025、40121552一等。187参考文献：1王永.数学化的视界一一小学“数与代数”的教与学 MI.北京：北京师范大学出版社，2013:24.2中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2 0 2 2 年版)S.北京：北京师范大学出版社，2 0 2 2：2 6.3项武义.基础代数学 M.北京：人民教育出版社，2 0 0 4:2.4 吕世虎，颜飞.新课标“数与代数”内容分析：从结构到要求 J.教育研究与评论（中学教育教学),2 0 2 2(1 1)：1 2.5史宁中.基本概念与运算法则-学数学教学中的核心问题 M.北京：高等教育出版社,2 0 1 3:3.（陆椿，江苏省苏州市虎丘教育集团金阁新城实验小学校。苏州市优秀教育工作者，苏州市教科研先进个人，姑苏教育青年拔尖人才。）一小2023年8 月教育研究与评论关注