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《 线性代数A 》试题（A 卷）
试卷类别：闭卷 考试时间：120分钟
考试科目：线性代数 考试时间： 学号： 姓名：

题号
一
二
三
四
五
六
七
总 分
得分

阅卷人

一． 单项选择题（每小题3分，共30分）
1．设经过初等行变换变为，则（ ）.(下面的分别表示矩阵的秩)。
； ；
； 无法判定与之间的关系。
2．设为阶方阵且，则（ ）。
中有一行元素全为零； 有两行（列）元素对应成比例；
中必有一行为其余行的线性组合； 的任一行为其余行的线性组合。
3. 设是阶矩阵(), ,则下列结论一定正确的是: ( )

4．下列不是维向量组线性无关的充分必要条件是（ ）
存在一组不全为零的数使得；
不存在一组不全为零的数使得
的秩等于；
中任意一个向量都不能用其余向量线性表示
5．设阶矩阵，若矩阵的秩为，则必为（ ）。
1； ； ； .
6．四阶行列式的值等于（ ）。
； ；
； .
7．设为四阶矩阵且，则的伴随矩阵的行列式为（ ）。
； ； ；
8．设为阶矩阵满足，为阶单位矩阵,则（　　）
； 　；　　 ；　　 　
9．设，是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是（ ）。
与的秩相同； 与的特征值相同；
与的特征矩阵相同； 与的行列式相同；
10．设为阶矩阵,则以为特征值是的（ ）。
充分非必要条件； 必要非充分条件；
既非充分又非必要条件； 充分必要条件；

二．填空题（每小题3分，共18分）
1．计算行列式。
2. _______________________。
3．二次型对应的对称矩阵为 。
4．已知，，是欧氏空间的一组标准正交基，则向量在这组基下的坐标为 。
5．已知矩阵的特征值为则___________。
6．设均为3维列向量，记矩阵，
。如果，则 。

三．(8分) , 求。

四．（10分）设向量组，，，，。试求它的秩及一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示。

五．（12分）讨论线性方程组解的情况，并在有无穷多解时求其解。

六．（14分）设，（1）、求出的所有特征值和特征向量；（2）、求正交矩阵，使得为对角矩阵。

七．（8分）对任意的矩阵,证明：
(1) 为对称矩阵, 为反对称矩阵；
(2) 可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。

《线性代数A》参考答案（A卷）
一、单项选择题（每小题3分，共30分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
C
D
A
B
D
C
C
C
D
二、填空题（每小题3分，共18分）
1、 256； 2、 ； 3、；
4、 ； 5、 4； 6、 2 。
三． 解：因为矩阵A的行列式不为零,则A可逆,因此.为了求,可利用下列初等行变换的方法：

―――――（6分）
所以.―――――（8分）
四．解：对向量组作如下的初等行变换可得：

――――（5分）
从而的一个极大线性无关组为，故秩＝2（8分）
且，，――――（10分）
五．解：对方程组的增广矩阵进行如下初等行变换：

(1) 当即系数矩阵与增广矩阵的秩均为3,此时方程组有唯一解.――――（5分）
(2) 当系数矩阵的秩为1,增广矩阵的秩为2,此时方程组无解.――――（6分）
(3) 当此时方程组有无穷多组解.
方程组的增广矩阵进行初等行变换可化为

故原方程组与下列方程组同解:

令可得上述非齐次线性方程组的一个特解;
它对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个元素,令可得
为该齐次线性方程组的一个解,它构成该齐次线性方程组的基础解系.
此时原方程组的通解为――――（12分）

六．解：（1）由于的特征多项式
故的特征值为（二重特征值），。――――（3分）
当时，由，即：得基础解系为，故属于特征值的所有特征向量为, 不全为零的任意常数。――――（6分）
当时，由，即：得基础解系为，故属于特征值的所有特征向量为, 为非零的任意常数。
------(8分)
(2)将正交化可得：。
再将其单位化得：
将单位化得：。――――（12分）
则是的一组单位正交的特征向量，令
则是一个正交矩阵，且。――――（14分）
七．证明：(1) 因为, 因此为对称矩阵。
――――（2分）
同理,因为,因此为反对称矩阵。――――（4分）
(2) 因为――――（6分）
而由(1) 知为对称矩阵, 为反对称矩阵,因此任何矩阵 都可以表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。――――（8分）
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