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专题一幂的运算的应用

专题一（2）——幂的运算应用及整式运算

一、幂的运算法则逆用应用
逆用幂的运算法则可得an+m=an•am，anm=(am)n，anbn=(ab)n，am-n=am ÷an（a≠0）。在具体的题目中，根据题目的特点，合理选用上述公式，则可使题目由难化易，由繁化简。
应用一、比较大小
（一）转化为同底数的幂
这种方法适用于底数可以转化为同一个数的幂的大小比较，如果底数相同，那么指数越大幂越大。（底数和指数都是正整数，且底数必须大于1）
例1、比较410与87的大小
（提示：根据公式anm=(am)n及题目两个底数都可以转化为同底数2，从而将题目转化成（22）10和（23）7进而可以进行大小比较）

练习：比较下列一组数8131，2741，961的大小。
（分析：先对这三个数变形，都化成底数是3的幂的形式，再比较大小．）

（二）转化成同指数的幂
此种方法主要是逆用幂的乘方的运算公式anm=(am)n，将各式变形成指数相同的乘方的形式，如果指数相同，底数越大的幂越大（指数和底数都是正整数）。
例2、已知a=355, b=444, c=533，比较a, b, c的大小。
(提示：注意到三个指数都是11的倍数，从而利用幂的乘方的运算公式anm=(am)n 转化成（35）11 、（44）11和 （53）11，进而根据底数的大小比较三个数的大小。)

练习：比较550与2425的大小。
（分析：先把两个数变形成指数是25的幂的形式，再比较大小。）

应用二、化简求值

例1、若（anbmb）3=a9b15，求2m+n的值．
（分析：根据（anbmb）3=a9b15，比较相同字母的指数可知，3n=9，3m+3=15，先求m、n，再求2m+n的值．）

例2、若xm+2n=16，xn=2，求xm+n的值．
（分析：由题意m+n=(m+2n)-n，则根据同底数幂的除法，底数不变指数相减得出xm+2n÷xn=xm+n=16÷2=8．）

例3、已知：2x=4y+1，27y=3x﹣1，求x﹣y的值．
（分析：先都转化为同指数的幂，根据指数相等列出方程，解方程求出x、y的值，然后代入x﹣y计算即可． ）

例4、已知2x+5y=3，求4x•32y的值．
（分析：根据同底数幂相乘和幂的乘方的逆运算计算，本题考查了同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘的性质，整体代入求解也比较关键．）

二、整式的乘法
知识点一、单项式与单相式的乘法
乘法法则：单项式与单相式的相乘，把它们的系数相同字母的幂分别相乘，其余连同它的指数不变，作为积的因式。
用字母表示：ax•by=abxy，其中a、b是系数，x、y是单项式。
注意点：1）积的系数等于各个因式的系数的积，通常是先确定符号，再计算其绝对值；
2）相同字母相乘是同底数幂的乘法运算；
3）只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式，注意不要遗漏；
4）单项式乘单项式的结果仍是单项式，并且其法则同样适用于三个及三个以上单项式相乘。

例1、计算：（1）(-amb2）•（-3a3bnc）=
（2）（-3xy）•（-2x） • (-xy2)2=

例2、计算（3x2y）（- 43x4y）的结果是 （ ）
A、53x6y2 B、 -4x8y C、-4x6y2 D、x6y2

例3、-47x2yz • 47xy2z•（- 4916xyz2）

知识点二、单项式与多项式乘法
乘法法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
用字母表示：m（a+b+c）=ma+mb+mc，其中m代表单项式，（a+b+c）表示多项式。
注意点：1）单项式乘以多项式实质就是根据乘法分配律，将单项式乘多项式转化成单项式乘单项式；
2)单项式与多项式相乘的结果仍是多项式，积的项数与原多项式相同；
3）注意各项的符号，计算前先确定积的符号。

例1、计算：（–5a5）•（–2a3+3a2-4a）
（ 提示：计算时，注意各项的符号，先确定符号，再计算。）

例2、计算：(-3x2y)(-2xy+3yz-1)

例3、计算：(6xy2-4x2y)·3xy

例4、计算：xn+1(xn-xn-1+x)

知识点三、多项式与多项式的乘法
乘法法则：多项式乘多项式，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式，再把所得的积相加。
字母表示：（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb（m,n,a,b都是单项式）
注意点：1）计算时，一定要按顺序进行，不然容易出现漏项；
2）两个多项式相乘，结果仍是多项式，若结果中有同类项，要合并同类项，使结果最简。
例1、计算 (1)（x-a）（x2+ax+a2）
(2)（x+y）（x2-xy-1）
（提示：计算多项式乘多项式时要做到不漏项，能合并同类项的一定要合并）

例2、化简：5x(x2+2x+1)-(2x+3)(x-5)

例3、计算：(2a2-1)(a-4)(a2+3)(2a-5)

例4、计算：2[(x+2)(x+1)-3]+(x-1)(x-2)-3x(x+3)

知识点四、整式乘法的应用
应用1、化简求值
例1、求值8x2–2（x+4）（2x–1）–3x（43x–5），其中x=–2021.
（分析：这种题目给出未知数的值的题型，应先尽可能的将题目化简，再代入数值进行计算。）

例2、化简求值：（-13 xy）2 • [xy（2x-y）-2x（xy-y2）]，其中x=-32，y=2 。

例3、已知x+5y=7，求–x2-5xy-30y的值。
（分析提示：当条件给出的是一个代数式的值，且未知数的具体值不好求出时，可以把这个代数式看成整体化简求值，这就是所谓的“整体代入法”。）

例4、试说明整式（2x+3）（6x+2）–6x（2x+13）+8（7x+2）的值与x的取值无关。
（分析提示：欲说明代数式的值与该字母的取值无关，则只需将该代数式化简后，不含字母项即可）
应用2、利用整式乘法解方程
对于含有整式乘法的方程，其解方程时，想根据整式乘法运算的法则将等式两边分别计算整理（若有同类项，要合并同类项），再解方程。
例1、解方程：（x+3）（x-4）=x2-16 .
（分析：利用整式的乘法先去括号再合并同类项，移项时注意符号变化。）

例2、解方程：3x（x+2）-2（x2+5）=（x-2）（x+3）

例3、在x2+ax+b与2x2 -3x-1的积中，x3项的系数为-5，x2项的系数为-6，求a,b的值。

应用3、用于说明整除
解整除类问题，首先利用整式的乘法对所给的式子进行化简变形，然后从中找出被整除的因数即可.
例1、试说明对于任意自然数n，n(n+7)-(n-3)(n-2)能被6整除。

三、直击中考
1、若，求: M－N的值是（ ）
A．正数 B．负数 C．非负数 D．可正可负

四、典型题练习
1、计算下列各式结果等于的是（ ）
A、 B、 Ｃ、　Ｄ、
2、下列计算错误的是（ ）
A．(x+1)(x+4)=x2+5x+4； B．(m-2)(m+3)=m2+m-6；
C．(y+4)(y-5)=y2+9y-20； D．(x-3)(x-6)=x2-9x+18．
3．下列计算正确的是（ ）
A．(6xy2-4x2y)·3xy=18xy2-12x2y；
B．(-x)(2x+x2-1)=-x3-2x2+1；
C．(-3x2y)(-2xy+3yz-1)=6x3y2-9x2y2z2-3x2y；

4、当 成立，则（ ）
A、m、n必须同时为正奇数。B、m、n必须同时为正偶数。
C、m为奇数。 D、m为偶数。
5、计算2120+(－2)121所得的正确结果是( )
A、2120　　　　　　Ｂ、－2120　　　　　Ｃ、－２ Ｄ、２
6、
7、5x(x2+2x+1)-(2x+3)(x-5)=
8、化简各式
（1） （2）(3m-n)(m-2n)

（3）(－4x－y)(－5x＋2y) （4）(x＋2)(x＋3)－(x＋6)(x－1)

（5）(-5xn+1y)·(-2x) （6）xn+1(xn-xn-1+x)

（7）(m-n)(m5+m4n+m3n2+m2n3+mn4+n5) （8）(2a2-1)(a-4)(a2+3)(2a-5)

（9）(5a3+2a-a2-3)(2-a+4a2) （10）(3x4-2x2+x-3)(4x3-x2+5)
9、先化简yn(yn+9y-12)-3(3yn+1-4yn)，再求其值，其中y=-3，n=2．

10、先化简(x-2)(x-3)+2(x+6)(x-5)-3(x2-7x+13)，再求其值，其中x=312

11、已知(x-1)(x+1)(x-2)(x-4)≡(x2-3x)2+a(x2-3x)+b，求a，b的值．

12、多项式x4+mx2+3x+4中含有一个因式x2-x+4，试求m的值，并求另一个因式．
13、比较2100与375的大小。

14、求证：对于任意自然数n，n(n+5)-(n-3)×(n+2)的值都能被6整除．

15、证明(a-1)(a2-3)+a2(a+1)-2(a3-2a-4)-a的值与a无关。