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一阶线性微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2.2节一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程二、伯努利方程二、伯努利方程 第四章 一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若 Q(x)0,若 Q(x)0,称为非齐次方程非齐次方程.1.解齐次方程分离变量两边积分得故通解为称为齐次方程齐次方程;机动 目录 上页 下页 返回 结束 对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解2.解非齐次方程用常数变易法常数变易法:则故原方程的通解即即作变换两端积分得机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.解方程 解解:先解即积分得即用常数变易法常数变易法求特解.令则代入非齐次方程得解得故原方程通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.求方程的通解.解解:注意 x,y 同号,由一阶线性方程通解公式通解公式,得故方程可变形为所求通解为 这是以为因变量,y为 自变量的一阶线性方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、伯努利二、伯努利(Bernoulli)方程方程 伯努利方程的标准形式:令求出此方程通解后,除方程两边,得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法解法:(线性方程)伯努利 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.求方程的通解.解解:令则方程变形为其通解为将代入,得原方程通解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.一阶线性方程方法1 先解齐次方程,再用常数变易法.方法2 用通解公式化为线性方程求解.2.伯努利方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习判别下列方程类型:提示提示:可分离 变量方程齐次方程线性方程线性方程伯努利方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题1.求一连续可导函数使其满足下列方程:提示提示:令则有利用公式可求出机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.设有微分方程其中试求此方程满足初始条件的连续解.解解:1)先解定解问题利用通解公式,得利用得故有机动 目录 上页 下页 返回 结束 2)再解定解问题此齐次线性方程的通解为利用衔接条件得因此有3)原问题的解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 齐次方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2.3节一、齐次方程一、齐次方程*二、可化为齐次方程二、可化为齐次方程 第四章 一、齐次方程一、齐次方程形如的方程叫做齐次方程齐次方程.令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替 u,便得原方程的通解.解法:分离变量:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.解微分方程解解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为(当 C=0 时,y=0 也是方程的解)(C 为任意常数)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.解微分方程解解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即说明说明:显然 x=0,y=0,y=x 也是原方程的解,但在(C 为任意常数)求解过程中丢失了.机动 目录 上页 下页 返回 结束 可得 OMA=OAM=例例3.在制造探照灯反射镜面时,解解:设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线 绕 x 轴旋转而成.过曲线上任意点 M(x,y)作切线 M T,由光的反射定律:入射角=反射角取x 轴平行于光线反射方向,从而 AO=OM要求点光源的光线反 射出去有良好的方向性,试求反射镜面的形状.而 AO 于是得微分方程:机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用曲线的对称性,不妨设 y 0,积分得故有得 (抛物线)故反射镜面为旋转抛物面.于是方程化为(齐次方程)机动 目录 上页 下页 返回 结束 顶到底的距离为 h,说明说明:则将这时旋转曲面方程为若已知反射镜面的底面直径为 d,代入通解表达式得机动 目录 上页 下页 返回 结束(h,k 为待*二、可化为齐次方程的方程二、可化为齐次方程的方程作变换原方程化为 令,解出 h,k(齐次方程)定常数),机动 目录 上页 下页 返回 结束 求出其解后,即得原方 程的解.原方程可化为 令(可分离变量方程)注注:上述方法可适用于下述更一般的方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.求解解解:令得再令 YX u,得令积分得代回原变量,得原方程的通解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 得 C=1,故所求特解为思考思考:若方程改为 如何求解?提示提示:第四节 目录 上页 下页 返回 结束 可降阶高阶微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2.4节一、一、型的微分方程型的微分方程 二、二、型的微分方程型的微分方程 三、三、型的微分方程型的微分方程 第四章 一、一、令因此即同理可得依次通过 n 次积分,可得含 n 个任意常数的通解.型的微分方程型的微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 型的微分方程型的微分方程 设原方程化为一阶方程设其通解为则得再一次积分,得原方程的通解二、二、机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.求解解解:代入方程得分离变量积分得利用于是有两端再积分得利用因此所求特解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、三、型的微分方程型的微分方程 令故方程化为设其通解为即得分离变量后积分,得原方程的通解机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.求解代入方程得两端积分得(一阶线性齐次方程)故所求通解为解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.解初值问题解解:令代入方程得积分得利用初始条件,根据积分得故所求特解为得机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结可降阶微分方程的解法 降阶法逐次积分令令机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.方程如何代换求解?答答:令或一般说,用前者方便些.均可.有时用后者方便.例如,2.解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题?答答:(1)一般情况,边解边定常数计算简便.(2)遇到开平方时,要根据题意确定正负号.机动 目录 上页 下页 返回 结束 P292 1(5),(7),(10);2(3),(6);3;4 作业作业 第七节 目录 上页 下页 返回 结束