结构力学华中-7力法.pptx

第7章 力 法 7-1 概述 7-2 力法的基本概念 7-3 超静定刚架和排架 7-4 超静定桁架、组合结构 7-5 对称结构的计算 7-6 超静定拱 7-7 支座移动、温度变化的计算 7-8 具有弹性支座的计算 7-9 超静定结构位移的计算 7-10 超静定结构计算的校核 7-11 静定、超静定结构特征比较 主要内容主要内容1 1）超静定结构）超静定结构 拱拱 组合结构组合结构 7-1 7-1 概述概述由于有多余约束，其反力、内力不能由于有多余约束，其反力、内力不能 由静力平衡条件全部确定的结构。由静力平衡条件全部确定的结构。几何不变，有多余约束。几何不变，有多余约束。2 2）特征）特征 3 3）超静定结构的类型）超静定结构的类型 桁架桁架 超静定梁超静定梁 刚架刚架（1）超静定次数）超静定次数结构多余约束或多余未知力的数结构多余约束或多余未知力的数 目，即为超静定次数目，即为超静定次数。（2）确定超静定次数的方法）确定超静定次数的方法通过去掉多余约束来通过去掉多余约束来 确定。（去掉确定。（去掉n n个多余约束，即为个多余约束，即为n 次次超静定）。超静定）。（3）去掉（解除）多余约束的方式）去掉（解除）多余约束的方式4 4）超静定次数确定）超静定次数确定 a a、去掉或切断一根链杆、去掉或切断一根链杆去掉去掉1 1个约束（联系）；个约束（联系）；X17-1 7-1 概述概述 b b、去掉一个单铰、去掉一个单铰 去掉去掉2 2个约束；个约束；c c、切断刚性联系或去掉一个固定端、切断刚性联系或去掉一个固定端 去掉去掉3 3个约束；个约束；X1X27-1 7-1 概述概述X1X2X3X1X2X3 d d、将刚性连结改为单铰、将刚性连结改为单铰 去掉去掉1 1个约束。个约束。注意事项注意事项（1 1）对于同一超静定结构，可以采取不同方式去掉多余）对于同一超静定结构，可以采取不同方式去掉多余 约束，而得到不同形式的静定结构，但去掉多余约束的约束，而得到不同形式的静定结构，但去掉多余约束的 总个数应相同。总个数应相同。（2 2）去去掉掉多多余余约约束束后后的的体体系系，必必须须是是几几何何不不变变的的体体系系，因因此，某些约束是不能去掉的。此，某些约束是不能去掉的。7-1 7-1 概述概述X1（4 4）对于复杂结构，可用计算自由度的方法确定超静定次数）对于复杂结构，可用计算自由度的方法确定超静定次数 组合结构：组合结构：n n 超静定次数；超静定次数；m m 刚片数；刚片数；h h 单铰数；单铰数；r r 支座链杆数。支座链杆数。例：确定图示结构超静定次数。例：确定图示结构超静定次数。此链杆不能去掉此链杆不能去掉此两链杆任一根都不能去掉此两链杆任一根都不能去掉7-1 7-1 概述概述 该结构为一次超静定结构该结构为一次超静定结构 桁架结构：桁架结构：n n 超静定次数；超静定次数；j j 结点数；结点数；b b 杆件数；杆件数；r r 支座链杆数。支座链杆数。例：确定图示桁架超静定次数。例：确定图示桁架超静定次数。该结构为二次该结构为二次超静定结构。超静定结构。7-1 7-1 概述概述 框架结构：框架结构：n n 超静定次数；超静定次数；f f 封闭框格数；封闭框格数；h h 单铰个数。单铰个数。例：确定图示结构的超静定次数。例：确定图示结构的超静定次数。该结构为该结构为3 3次超静定结构次超静定结构该结构为该结构为1111次超静定结构次超静定结构7-1 7-1 概述概述211111qq7-2 7-2 力法的基本概念力法的基本概念1 1）解题思路）解题思路 将超静定问题转化为静定问题求解将超静定问题转化为静定问题求解（1 1）确定超静定次数）确定超静定次数具有一个多余约束，原结构为具有一个多余约束，原结构为一次超静定结构。一次超静定结构。（2 2）取基本体系）取基本体系去掉多余约束（链杆去掉多余约束（链杆B），代），代之以多余未知力之以多余未知力X1。ABl 原结构原结构 基本体系基本体系 X1例：图示单跨超静定梁例：图示单跨超静定梁X1 称为力法的基本未知量。称为力法的基本未知量。2 2）解题步骤）解题步骤AB（3）求基本未知量）求基本未知量X1 =ABX1=+建立变形协调方程建立变形协调方程 1111：由多余未知力：由多余未知力X X1 1单独作用单独作用时，基本结构时，基本结构B B点沿点沿X X1 1方向产生的位移方向产生的位移1P1P：由荷载：由荷载q q单独作用时，基本结构单独作用时，基本结构B B点沿点沿X X1 1方向产生的位移方向产生的位移由迭加原理，上式写成：由迭加原理，上式写成：1 111P0 变形协调方程。变形协调方程。基本体系与原结构在去掉多基本体系与原结构在去掉多余约束处沿多余未知力方向上余约束处沿多余未知力方向上的位移应一致，即：的位移应一致，即：1 07-2 7-2 力法的基本概念力法的基本概念qABlqqABABX1 =BBX1=+7-2 7-2 力法的基本概念力法的基本概念 由于由于 X1是未知的，是未知的，1111无法求出，无法求出，为此令：为此令：11=11X1 1111表示表示X1为单位力时，为单位力时，在在B B处沿处沿X1方向产生的位移。方向产生的位移。式：式：1 1 1111 1P1P0 0 可改写成：可改写成：11 1X11P0 0 式中式中1111、1P1P被称为系数被称为系数 和自由项，可用求解静定结构位移的方法求出。和自由项，可用求解静定结构位移的方法求出。一次超静定结构的力法方程一次超静定结构的力法方程1X1AAqBlqqX1ABA11X1 求系数求系数1111 、自由项、自由项1P1P由图乘法，得：由图乘法，得：11 11 1P1P均为静定结构在已均为静定结构在已知力作用下的位移，故可由积分知力作用下的位移，故可由积分法或图乘法求得。法或图乘法求得。ABlM1 图图作作 、图图，M MP MP图图lAB7-2 7-2 力法的基本概念力法的基本概念 将将11、1P代入力法方程，求得代入力法方程，求得X1由上式，得：由上式，得：按静定结构求解其余反力、内力、绘制内力图按静定结构求解其余反力、内力、绘制内力图 其中：其中：（与所设方向一致与所设方向一致）11X1 1P0 迭加原理绘制迭加原理绘制ABlqM图图7-2 7-2 力法的基本概念力法的基本概念 3 3）力法概念小结）力法概念小结 解题过程解题过程（1）判定超静定次数，确定基本未知量；）判定超静定次数，确定基本未知量；（2）取基本体系；）取基本体系；（3）建立变形协调方程（力法方程）；）建立变形协调方程（力法方程）；（4）求力法方程系数、自由项（作）求力法方程系数、自由项（作Mp、M图）；图）；（5）解力法方程，求基本未知量（）解力法方程，求基本未知量（X）；）；（6）由静定的基本结构求其余反力、内力、位移。由静定的基本结构求其余反力、内力、位移。7-2 7-2 力法的基本概念力法的基本概念力法的特点力法的特点（1）以以多多余余未未知知力力作作为为基基本本未未知知量量，并并根根据据基基本本结结构构与与原原结构变形协调的位移条件，求解基本未知量；结构变形协调的位移条件，求解基本未知量；（2）力力法法的的整整个个计计算算过过程程自自始始至至终终都都是是在在基基本本体体系系上上进进行行的的。因因此此，就就是是把把超超静静定定结结构构的的计计算算问问题题，转转化化成成了了前前面面已学习过的静定问题；已学习过的静定问题；（3）基基本本体体系系与与原原结结构构在在受受力力、变变形形和和位位移移方方面面完完全全相相同同，二者是等价的。二者是等价的。（4）基本体系的选取不是唯一的。）基本体系的选取不是唯一的。7-2 7-2 力法的基本概念力法的基本概念（3 3）根据变形条件，建立力法方程）根据变形条件，建立力法方程二次超静定结构的力法方程二次超静定结构的力法方程BAqC 基本体系基本体系 X2X1LLqABC 原结构原结构 4）力法的典型方程力法的典型方程多次超静定结构讨论多次超静定结构讨论解：（解：（1）超静定次数：）超静定次数：2次次 （2）选择支座）选择支座B的约束为多的约束为多 余约束，取基本体系如图所示。余约束，取基本体系如图所示。例：图示一超静定结构例：图示一超静定结构。7-2 7-2 力法的基本概念力法的基本概念 11、12、1P 、和荷载分别单独作用于基和荷载分别单独作用于基本体系时，本体系时，B B点沿点沿X1方向产生的位移；方向产生的位移；X11X21112112211P2P 21、22、2P 、和荷载分别单独作用于基和荷载分别单独作用于基本结构时，本结构时，B B点沿点沿X2方向产生的位移；方向产生的位移；X11 X21荷载作用荷载作用X21作用作用X21X11作用作用X11ACBqCBACBA7-2 7-2 力法的基本概念力法的基本概念（4 4）求系数、自由项）求系数、自由项上上述述各各系系数数和和自自由由项项均均可可由由上上式式积积分分或或通通过过 、图的图乘求得。图的图乘求得。MPM2M1（5 5）解力法方程，求基本未知量：）解力法方程，求基本未知量：X1、X2。7-2 7-2 力法的基本概念力法的基本概念 推广至推广至n n次超静定结构次超静定结构（1 1）力法方程）力法方程力法典型方程力法典型方程 注：对于有支座沉降的情况，右边相应的项就等注：对于有支座沉降的情况，右边相应的项就等于已知位移（沉降量），而不等于零。于已知位移（沉降量），而不等于零。7-2 7-2 力法的基本概念力法的基本概念（2 2）系数（柔度系数）、自由项）系数（柔度系数）、自由项 主系数主系数ii(i 1,2,n)单位多余未知力单位多余未知力 单独作用于基本结构时，所引起的沿其本身方向上单独作用于基本结构时，所引起的沿其本身方向上的位移，恒为正；的位移，恒为正；Xi1 副系数副系数 i j(i j)单位多余未知力单位多余未知力 单独作用于基本结构时，所引起的沿单独作用于基本结构时，所引起的沿Xi方向的位移，方向的位移，可为正、负或零，且由位移互等定理：可为正、负或零，且由位移互等定理：i j =j iX j17-2 7-2 力法的基本概念力法的基本概念 自自由由项项 i P 荷荷载载F FP P单单独独作作用用于于基基本本体体系系时时，所所引引起起Xi方向的位移，可正、可负或为零。方向的位移，可正、可负或为零。（3 3）典型方程的矩阵表示）典型方程的矩阵表示（4）最后弯矩）最后弯矩7-2 7-2 力法的基本概念力法的基本概念7-3 7-3 超静定刚架和排架超静定刚架和排架1 1）刚架）刚架 以图示刚架为例以图示刚架为例解解：判定超静定次数，判定超静定次数，选择基本体系选择基本体系X2X1原结构为：二次超静定原结构为：二次超静定拆去拆去A A端的固定支座，以端的固定支座，以多余未知力多余未知力X X1 1、X X2 2代之，代之，其基本体系如图所示。其基本体系如图所示。原结构原结构CBAD2IIaa/2a/2FPBFPCAD2II基本体系基本体系 根据基本体系与原结构变形根据基本体系与原结构变形 协调条件，建立力法方程。协调条件，建立力法方程。由水平位移由水平位移1 1 0 0 垂直位移垂直位移2 2 0 0力法典型方程力法典型方程得：得：原结构原结构CBAD2IIaa/2a/2FPBFPCAD2II基本体系基本体系 X1X27-3 7-3 超静定刚架和排架超静定刚架和排架 注：计算系数和自由项时，对于刚架通常可略去轴力注：计算系数和自由项时，对于刚架通常可略去轴力 和剪力的影响，而只考虑弯矩一项，为此，只需绘出和剪力的影响，而只考虑弯矩一项，为此，只需绘出 弯矩图。弯矩图。X11 M1图图Mp图图X21 M2图图 作基本体系的作基本体系的 图，求系数及图，求系数及自由项自由项2ICBAIFPCBA2IIaCBI2IA a7-3 7-3 超静定刚架和排架超静定刚架和排架利用图乘法，可求得：利用图乘法，可求得：Mp图图FPCBI2IAX11 M1图图2ICBAI aX21 M2图图CBA2IIa7-3 7-3 超静定刚架和排架超静定刚架和排架 将系数、自由项代入方程中，求得多余未知力将系数、自由项代入方程中，求得多余未知力7-3 7-3 超静定刚架和排架超静定刚架和排架解得：解得：求内力图求内力图（1 1）M图图由由7-37-3超静定刚架和排架超静定刚架和排架迭加原理绘制迭加原理绘制aa/2a/2FP M图图（2 2）FQ图图可由基本体系逐杆、分段定点绘制，也可由基本体系逐杆、分段定点绘制，也 可利用可利用M图绘制。图绘制。7-37-3超静定刚架和排架超静定刚架和排架FQ图图ABFPCD2II基本体系基本体系 X1X2+BCAD+M图图ADCB（3 3）FN图图 可由可由FQ图中取出结点，由平衡方程求得各杆图中取出结点，由平衡方程求得各杆FN，同杆也可以由基本体系逐杆，分段求得。，同杆也可以由基本体系逐杆，分段求得。FQCBFNCBFNCD取取C结点：结点：FQCAFN图图BCADFQ图图+BCAD+7-37-3超静定刚架和排架超静定刚架和排架说明：说明：1 1）超静定结构在载荷作用下，其内力与各杆件）超静定结构在载荷作用下，其内力与各杆件EIEI的具的具 体数值无关，只与各杆体数值无关，只与各杆EIEI的比值（相对刚度）有关；的比值（相对刚度）有关；2 2）对于同一超静定结构，其基本结构的选取可有多种，）对于同一超静定结构，其基本结构的选取可有多种，只要不为几何可变或瞬变体系均可。然而不论采用只要不为几何可变或瞬变体系均可。然而不论采用 哪一种基本体系哪一种基本体系,所得的最后内力图是一样的。所得的最后内力图是一样的。ABFPCD2II基本体系基本体系1 1 X1X2X1X2A 基本体系基本体系2 2CBD2IIFPFP 基本体系基本体系3 3X2X1如前面的刚架：如前面的刚架：7-37-3超静定刚架和排架超静定刚架和排架2 2）排架）排架 单层工业厂房单层工业厂房（1 1）排架结构与计算简图）排架结构与计算简图结构形式结构形式计算简图计算简图基础基础柱子柱子桁架桁架EA=7-37-3超静定刚架和排架超静定刚架和排架2 2）排架）排架 单层工业厂房单层工业厂房（1 1）排架结构与计算简图）排架结构与计算简图结构形式结构形式计算简图计算简图基础基础柱子柱子桁架桁架EA=7-37-3超静定刚架和排架超静定刚架和排架（2 2）计算假定）计算假定 计算横向排架（受侧向力作用的排架），就是对柱计算横向排架（受侧向力作用的排架），就是对柱子进行内力分析。通常作如下假设：子进行内力分析。通常作如下假设：认为联系两个柱顶的屋架（或屋面大梁）两端之间的认为联系两个柱顶的屋架（或屋面大梁）两端之间的距离不变，而将它看作是一根轴向刚度为无限大（即距离不变，而将它看作是一根轴向刚度为无限大（即EA=EA=）的链杆。）的链杆。计算简图计算简图EA=7-37-3超静定刚架和排架超静定刚架和排架（3 3）计算方法及步骤）计算方法及步骤 将横梁作为多余约束，并将其切断，代之以多余将横梁作为多余约束，并将其切断，代之以多余 反力，得到基本结构；反力，得到基本结构；作作Mp、图，求系数及自由项；图，求系数及自由项；M 解力法方程，求出多余未知力；解力法方程，求出多余未知力；按静定问题求作最后内力图。按静定问题求作最后内力图。利用切口处相对位移为零的条件，建立力法方程；利用切口处相对位移为零的条件，建立力法方程；7-37-3超静定刚架和排架超静定刚架和排架（4 4）举例）举例 计算图示两跨排架，作出弯矩图。计算图示两跨排架，作出弯矩图。EC，I25I，h13m，h210m，ME=20KNm，MH60KNm，CD杆、杆、HG杆的杆的EA=。DC原结构原结构I1I1I1I2I2h1h2ABEHMEMHFGX1X2DC基本体系基本体系I1I1I1I2I2h1h2ABEHMEMHFG7-37-3超静定刚架和排架超静定刚架和排架解：（解：（1 1）此排架为二次超静定，选取基本结构如图。）此排架为二次超静定，选取基本结构如图。（2 2）建立力法方程。）建立力法方程。（3 3）作）作 、图，图，求系数及自由项。求系数及自由项。X1X2DC基本体系基本体系I1I1I1I2I2h1h2ABEHMEMHFG7-37-3超静定刚架和排架超静定刚架和排架X2=1 M1图图Mp图图 X1=1DCABEHFG2060DCABEHFGDCABEHFG1010377 M2图图20607-37-3超静定刚架和排架超静定刚架和排架 M1图图X1=1DCABEHFG10103X2=1DCABEHFG77 M2图图Mp图图 2060DCABEHFG20607-37-3超静定刚架和排架超静定刚架和排架由图乘法，得：由图乘法，得：M1图图X1=1DCABEHFG101037-37-3超静定刚架和排架超静定刚架和排架X2=1DCABEHFG77 M2图图 M1图图X1=1DCABEHFG101037-37-3超静定刚架和排架超静定刚架和排架Mp图图 2060DCABEHFG2060X2=1DCABEHFG77 M2图图 M1图图X1=1DCABEHFG101037-37-3超静定刚架和排架超静定刚架和排架（4 4）解力法方程，求多余未知力）解力法方程，求多余未知力解得：解得：（5 5）由迭加法绘制弯矩图）由迭加法绘制弯矩图7-37-3超静定刚架和排架超静定刚架和排架 M图图26.37 13.916.067.506.0946.09EHDCABFG7-4 7-4 超静定桁架、组合结构超静定桁架、组合结构（1 1）解题步骤及相关公式）解题步骤及相关公式 a a、判定超静定次数，选取基本体系、判定超静定次数，选取基本体系 切断多余桁架杆。切断多余桁架杆。b b、根据切口处变形协调条件，建立力法方程。、根据切口处变形协调条件，建立力法方程。切口两侧截面相对轴向线位移应为零。切口两侧截面相对轴向线位移应为零。c c、求力法典型方程中的系数、求力法典型方程中的系数和自由项和自由项。分别求出基本结构在单位多余未知力分别求出基本结构在单位多余未知力 和和载荷作用下各杆的内力载荷作用下各杆的内力 和和 NP，然后利用静定桁架位移，然后利用静定桁架位移计算公式求计算公式求解解。Xi1N1 1）桁架）桁架d d、解力法方程，求出多余未知力、解力法方程，求出多余未知力Xie e、求出各杆最后轴力、求出各杆最后轴力按迭加法求得按迭加法求得 即：即：即：即：7-4 7-4 超静定桁架、组合结构超静定桁架、组合结构（2 2）例题）例题 求求图图示示超超静静定定桁桁架架的内力，的内力，EAEA为常数。为常数。解：解：a a、确定超静定次数，取基、确定超静定次数，取基 本体系。本体系。aaCADB 原结构原结构FP 一次超静定，切断一次超静定，切断BCBC杆杆b b、建立力法典型方程、建立力法典型方程由：由：得：得：X17-4 7-4 超静定桁架、组合结构超静定桁架、组合结构FP基本体系基本体系 c c、求各杆的、求各杆的 、及及 、其系数、自由项为：其系数、自由项为：7-4 7-4 超静定桁架、组合结构超静定桁架、组合结构X1-1-1-1-1图图FPFP图图FP d d、解方程，求、解方程，求X1 e e、求各杆最后的轴力、求各杆最后的轴力7-4 7-4 超静定桁架、组合结构超静定桁架、组合结构FPFN 图图 其中：其中：2 2）组合结构）组合结构（1 1）解题要点及公式）解题要点及公式 其解题步骤与桁架基本相同，其解题步骤与桁架基本相同，但对于系数和自由项的计算略有但对于系数和自由项的计算略有不同。对于梁式杆计弯矩的影响，不同。对于梁式杆计弯矩的影响，对于链杆计轴力的影响。对于链杆计轴力的影响。、的计算公式：的计算公式：组合结构组合结构梁式杆梁式杆杆链杆链7-4 7-4 超静定桁架、组合结构超静定桁架、组合结构A A C CDDB B2 2）例题）例题 求所示组合结构的内力。求所示组合结构的内力。解：解：a a、取基本体系、取基本体系b b、列力法方程、列力法方程原结构原结构基本体系基本体系该结构为一次超静定，切该结构为一次超静定，切断断CD杆，代之以杆，代之以X1。7-4 7-4 超静定桁架、组合结构超静定桁架、组合结构A 由：由：得：得：L/2L/2aaA CDBEI1A2A1A3 q kN/mCDBEI1A2A1A3 q kN/mX1（3 3）计算）计算11 11、1P1P 7-4 7-4 超静定桁架、组合结构超静定桁架、组合结构a/2ha/2hL/4A CBEI1A1DA2A3X1=1-1L/4（3 3）计算）计算11 11、1P1P 7-4 7-4 超静定桁架、组合结构超静定桁架、组合结构A CDBEI1A2A1A3X1=1a/2ha/2h-1000qL2/8（4 4）解力法方程，求）解力法方程，求X1（5 5）求最后的内力）求最后的内力N、M 由迭加法求得由迭加法求得7-4 7-4 超静定桁架、组合结构超静定桁架、组合结构 FN 、M图图aX1/2haX1/2hX1LX1/4qL2/87-57-5对称结构的计算对称结构的计算1 1、对称结构、对称结构3EI3EI3EI3EIEIEIEIEI2EI2EI3EI3EIEIEIEIEI1 1）定义）定义结构的几何形状、支承状况和各杆的刚度结构的几何形状、支承状况和各杆的刚度 （EIEI、EAEA）均对称于某一轴线，这种结构被）均对称于某一轴线，这种结构被 称为对称结构。称为对称结构。2 2）两类问题）两类问题正对称与反对称问题正对称与反对称问题（1 1）正对称问题）正对称问题对称结构在正对称载荷作用下的情况对称结构在正对称载荷作用下的情况（2 2）反对称问题）反对称问题对称结构在反对称载荷作用下的情况对称结构在反对称载荷作用下的情况7-57-5对称结构的计算对称结构的计算（a a）正对称）正对称FPFPFPFP（b b）反对称）反对称2 2、正对称问题、正对称问题（a a）原结构）原结构（b b）基本体系）基本体系7-57-5对称结构的计算对称结构的计算FPFP33LFPFP33LX1X2X3力法方程：力法方程：66L/2L/2L/21113FP3FP作作 图，求系数与自由项：图，求系数与自由项：7-57-5对称结构的计算对称结构的计算FPFPMP图图X1=1M1图图X2=1X3=1M2图图M3图图7-57-5对称结构的计算对称结构的计算3FP3FPFPFPMP图图66X1=1M1图图L/2L/2L/2X2=1M2图图111X3=1M3图图 由上可见：由上可见：MP、M1、M3图是正对称的，图是正对称的，M2图是反图是反对称的，由图乘可知：对称的，由图乘可知：由由式得：式得：X2=0 7-57-5对称结构的计算对称结构的计算力法方程变成：力法方程变成：结论：结论：结构对称，荷载对称，在结构的对称点处，只有对称结构对称，荷载对称，在结构的对称点处，只有对称的内力存在，反对称的内力等于零。的内力存在，反对称的内力等于零。因此上述结构在对称荷载作用下，是因此上述结构在对称荷载作用下，是2 2次超静定的。次超静定的。3 3、反对称问题、反对称问题7-57-5对称结构的计算对称结构的计算（a a）原结构）原结构FPFP33L力法方程：力法方程：（b b）基本体系）基本体系FPFP33LX1X2X33FP66L/2L/2L/21113FP作作 图，求系数与自由项：图，求系数与自由项：7-57-5对称结构的计算对称结构的计算FPFPMP图图X1=1M1图图X2=1X3=1M2图图M3图图7-57-5对称结构的计算对称结构的计算3FP3FPFPFPMP图图66X1=1M1图图L/2L/2L/2X2=1M2图图111X3=1M3图图 由上可见：由上可见：M1、M3图是正对称的，图是正对称的，M2、MP图是反图是反对称的，由图乘可知：对称的，由图乘可知：由由、式得：式得：X1=X2=0 7-57-5对称结构的计算对称结构的计算力法方程变成：力法方程变成：结论：结论：结构对称，荷载反对称，在结构的对称点处，只有反结构对称，荷载反对称，在结构的对称点处，只有反对称的内力存在，对称的内力等于零。对称的内力存在，对称的内力等于零。因此上述结构在反对称荷载作用下，是因此上述结构在反对称荷载作用下，是1 1次超静定的。次超静定的。4 4、未知力分解与载荷分解、未知力分解与载荷分解 1 1）未知力分解）未知力分解 对于对称的超静定结构，虽然选取了对称的基本结构，对于对称的超静定结构，虽然选取了对称的基本结构，但若载荷是非对称的，那么，多余未知力对结构的对称轴但若载荷是非对称的，那么，多余未知力对结构的对称轴 来说却不是正对称或反对称的，因此，有关副系数不可能来说却不是正对称或反对称的，因此，有关副系数不可能 为零，因而，达不到简化计算的目的。为零，因而，达不到简化计算的目的。对于这种情况，为使副系数尽可能多的等于零，对于这种情况，为使副系数尽可能多的等于零，采用将未知力分解（分组）以实现这一目的。采用将未知力分解（分组）以实现这一目的。7-57-5对称结构的计算对称结构的计算7-57-5对称结构的计算对称结构的计算FPY1X2FP原结构原结构基本体系基本体系=Y1X1Y2Y2基本体系基本体系=FPX1=Y1+Y2X2=Y1Y27-57-5对称结构的计算对称结构的计算Y1=1Y2=1Y2=1FPMP图图Y1=1M1图图力法方程：力法方程：两个独立方两个独立方程程M2图图2 2）载荷分解）载荷分解 当对称结构承受一般非对称载荷时，除了可将当对称结构承受一般非对称载荷时，除了可将未知力分解外，还可将载荷分解为正，反对称的两未知力分解外，还可将载荷分解为正，反对称的两组，以实现简化计算的目的。组，以实现简化计算的目的。FP+=7-57-5对称结构的计算对称结构的计算 原结构原结构正对称正对称 反对称反对称FP/2FP/2FP/2FP/2（b b）正对称）正对称+=7-57-5对称结构的计算对称结构的计算qFP（a a）原结构）原结构LLEIEILLEIEIFP/2FP/2q/2LLFP/2FP/2q/2q/2（b b）反对称）反对称例：利用对称性计算图示结构。例：利用对称性计算图示结构。所有杆长均为所有杆长均为L，EI也均相同。也均相同。原结构原结构解：解：1、由于该结构的反力是静定的，、由于该结构的反力是静定的，求出后用反力代替约束。求出后用反力代替约束。2、该结构有两根对称轴，因此、该结构有两根对称轴，因此 把力变换成对称与反对称的。把力变换成对称与反对称的。=+原结构=对称+反对称7-57-5对称结构的计算对称结构的计算 对称情况，只是三根柱受轴力，对称情况，只是三根柱受轴力，由于忽略向变形，不会产生弯矩，由于忽略向变形，不会产生弯矩，因此不用计算。因此不用计算。反对称情况，在荷载作用下，反对称情况，在荷载作用下，梁会发生相对错动，因此会产生梁会发生相对错动，因此会产生弯矩。弯矩。该结构有两根对称轴，对于竖该结构有两根对称轴，对于竖向对称轴，荷载是对称的，对于向对称轴，荷载是对称的，对于水平对称轴荷载是反对称的。水平对称轴荷载是反对称的。+原原结结构构7-57-5对称结构的计算对称结构的计算7-57-5对称结构的计算对称结构的计算X1X1基本体系基本体系 反对称情况的基本体系反对称情况的基本体系如图所示。如图所示。该结构应是该结构应是6 6次超静定的，次超静定的，但由于荷载相对水平轴是反但由于荷载相对水平轴是反对称的，因此切开的截面处对称的，因此切开的截面处只有反对称的内力存在，即只有反对称的内力存在，即只有剪力。只有剪力。又由于荷载对于竖向对称又由于荷载对于竖向对称轴是对称的，因此两个多余未知力应该大小相等，方向轴是对称的，因此两个多余未知力应该大小相等，方向相反。相反。综上所述，该结构在所示荷载作用下是综上所述，该结构在所示荷载作用下是1 1次超静定的。次超静定的。7-57-5对称结构的计算对称结构的计算MP图图X1=1X1=1M1图图力法方程：力法方程：后续计算省略。后续计算省略。两铰拱为一次超静定结构，取简支曲梁为基本体系。两铰拱为一次超静定结构，取简支曲梁为基本体系。（2 2）建立力法典型方程）建立力法典型方程7-6 7-6 超静定拱超静定拱1 1、无拉杆两铰拱、无拉杆两铰拱 计算如图所示两铰拱。计算如图所示两铰拱。原结构原结构x1基本体系（曲梁）基本体系（曲梁）（1 1）确定超静定次数）确定超静定次数LfFP2FP1FP2FP17-6 7-6 超静定拱超静定拱原结构原结构oyxX1=1yLfFP2FP1基本体系（曲梁）基本体系（曲梁）x（3 3）计算系数及自由项）计算系数及自由项 在在 X X1 1=1=1的作用下，曲梁的受力性能与拱相同，因此的作用下，曲梁的受力性能与拱相同，因此计算系数计算系数11时，应考虑弯矩和轴力的影响，计算公式：时，应考虑弯矩和轴力的影响，计算公式：X1=17-6 7-6 超静定拱超静定拱原结构原结构LfFP2FP1（3 3）计算系数及自由项）计算系数及自由项X1=1oyxy基本体系（曲梁）基本体系（曲梁）xFP2FP1 在在F FP P的作用下，曲梁的受力性能与简支梁相同，因此的作用下，曲梁的受力性能与简支梁相同，因此计算自由项计算自由项P时，只需考虑弯矩的影响，计算公式：时，只需考虑弯矩的影响，计算公式：（4 4）由力法典型方程求多余未知力（水平推力）由力法典型方程求多余未知力（水平推力）式中，式中，、分别表示相应简支梁的弯矩和剪力。分别表示相应简支梁的弯矩和剪力。（5 5）求内力）求内力 水平推力水平推力X1求得后，各截面内力计算与三铰拱内力求得后，各截面内力计算与三铰拱内力 计算相同。计算相同。7-6 7-6 超静定拱超静定拱2 2、有拉杆两铰拱、有拉杆两铰拱计算如图示有拉杆两铰拱。计算如图示有拉杆两铰拱。1）特点：可避免支座受推力；）特点：可避免支座受推力；2）解法：与无拉杆两铰拱相似，只是）解法：与无拉杆两铰拱相似，只是在计算在计算11时，要计入拉杆轴向变形的时，要计入拉杆轴向变形的影响，即影响，即:7-6 7-6 超静定拱超静定拱 原结构原结构FP2FP1Lf 基本体系基本体系FP2FP1X1EIEAE1A17-6 7-6 超静定拱超静定拱 原结构原结构FP2FP1Lf 基本体系基本体系FP2FP1X1EIEAE1A1由力法方程可得多余力计算公式：由力法方程可得多余力计算公式：任意点的内力计算公式：任意点的内力计算公式：7-6 7-6 超静定拱超静定拱有拉杆两铰拱有拉杆两铰拱FP2FP1LfEIEAE1A1 结论：结论：有拉杆两铰拱的推力要比相有拉杆两铰拱的推力要比相 应无拉杆两铰拱的推力小。当应无拉杆两铰拱的推力小。当 拉杆的拉杆的E1A1时，则有杆两时，则有杆两 铰拱的内力与无拉杆两铰拱趋铰拱的内力与无拉杆两铰拱趋 于相同；而当于相同；而当E1A10 0时，则时，则 X10 0，拉杆拱将成为简支曲，拉杆拱将成为简支曲 梁而丧失拱的作用与特征。梁而丧失拱的作用与特征。设计时应加大抗杆抗拉度，设计时应加大抗杆抗拉度，以减小拱的弯矩。以减小拱的弯矩。LfFP2FP1无拉杆两铰拱无拉杆两铰拱 7-7 7-7 支座移动、温度变化的计算支座移动、温度变化的计算AhB 原结构原结构 Lba 超静定结构有一个重要特点，就是在仅支座移动、温度超静定结构有一个重要特点，就是在仅支座移动、温度改变等所有使结构发生变形的因素，都能使结构产生内力。改变等所有使结构发生变形的因素，都能使结构产生内力。用力法求解支座移动、温度改变时的问题，其方法与荷载用力法求解支座移动、温度改变时的问题，其方法与荷载荷作用时相同，唯一的区别在于典型方程中自由项的计算不荷作用时相同，唯一的区别在于典型方程中自由项的计算不同。同。1 1、支座移动时的计算、支座移动时的计算 图示刚架，设支座图示刚架，设支座A发生了图示发生了图示位移。位移。（1 1）判定超静定次数，取基本体系。）判定超静定次数，取基本体系。为二次超静定问题为二次超静定问题基本体系如图所示。基本体系如图所示。（2 2）由位移条件，建立力法典型）由位移条件，建立力法典型 方程。方程。7-7 7-7 支座移动、温度变化的计算支座移动、温度变化的计算AhB 原结构原结构 Lba 基本体系基本体系 BhLbX2X1（3 3）计算系数与自由项）计算系数与自由项 系数系数 计算同前由图乘求得。计算同前由图乘求得。自由项自由项基本结构由支座移基本结构由支座移 动引起的沿动引起的沿Xi方向的位移，即：方向的位移，即：X11B A b h AB bX21 1M1图图M2图图 7-7 7-7 支座移动、温度变化的计算支座移动、温度变化的计算 h/L 1/LX11B A b h AB bX21 1M1图图M2图图 7-7 7-7 支座移动、温度变化的计算支座移动、温度变化的计算 h/L 1/L（4 4）将）将 、代入力法方程，求得代入力法方程，求得X1、X2。（5 5）求弯矩）求弯矩2 2、温度变化时计算、温度变化时计算 图图示示刚刚架架各各杆杆内内侧侧温温度度升升高高10，外外侧侧温温度度不不变变，各各杆杆线线膨膨胀胀系系数数为为。EI和和截截面面高高度度h均均为为常数。常数。10（2 2）列力法方程：）列力法方程：7-7 7-7 支座移动、温度变化的计算支座移动、温度变化的计算B 原结构原结构 BALLC10基本体系基本体系X1BALLC1010（1 1）确定超静定次数）确定超静定次数 一次超静定一次超静定，取基本体系取基本体系如图所示。如图所示。（3 3）求系数与自由项）求系数与自由项X1=1BAC 7-7 7-7 支座移动、温度变化的计算支座移动、温度变化的计算CBAX1=1LM1图图1N1图图（4 4）解方程求）解方程求X1（5）求最后弯矩和轴力）求最后弯矩和轴力 7-7 7-7 支座移动、温度变化的计算支座移动、温度变化的计算BCAMM图图BCANN图图 图图示示梁梁具具有有弹弹性性支支座座，弹弹簧簧系系数数为为k k（单单位位伸伸长长所所需的力）。需的力）。（1 1）取基本结构）取基本结构 一次超静定，取基本体系如图一次超静定，取基本体系如图 所示。所示。（2 2）弹簧处的位移）弹簧处的位移负号表示负号表示1的方向与的方向与X1相反。相反。（3 3）建立力法方程）建立力法方程1 7-8 7-8 具有弹性支座的计算具有弹性支座的计算kFPABCL/2L/2原结构原结构基本体系基本体系L/2L/2FPABCX1（4 4）求系数与自由项）求系数与自由项 作作 图与图与 图，由图，由 图乘求得：图乘求得：（5 5）回代，由力法方程求得）回代，由力法方程求得X1：7-8 7-8 具有弹性支座的计算具有弹性支座的计算LABL/2L/2FPABCX1=1L M1图图FP/2MP图图7-97-9超静定结构的位移计算超静定结构的位移计算 先回顾一下静定结构位移计算的步骤（荷载作用下）：先回顾一下静定结构位移计算的步骤（荷载作用下）：画出荷载作用下的弯矩图；画出荷载作用下的弯矩图；虚设一个单位力，并画出它的弯矩图；虚设一个单位力，并画出它的弯矩图；对两个弯矩图进行图乘，就可得到的所要的位移。对两个弯矩图进行图乘，就可得到的所要的位移。对超静定结构完全可以按照上述步骤及方法进行，对超静定结构完全可以按照上述步骤及方法进行，但这样做要多次解超静定结构。但这样做要多次解超静定结构。如：求图示结构如：求图示结构B点的水平点的水平 位移。位移。FPBAC7-97-9超静定结构的位移计算超静定结构的位移计算 如：求图示结构如：求图示结构B点的水平移。点的水平移。第一步：第一步：画出画出M MP P图图要用力法解一次要用力法解一次超静定。超静定。若结构是若结构是多次超静多次超静的，工作的，工作量将更大。量将更大。第二步：第二步：画出画出M M图图又要用力法解一又要用力法解一次超静定。次超静定。