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矩阵的合同变换
摘要：矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中，基本交换。在《高等代数》里，我们仅讨论简单而直接的变换，而矩阵的合同变换与矩阵相似变换,二次型等有着诸多相同性质和联系。
关键词：矩阵 秩 合同 对角化
定义1：如果矩阵A可以经过一系列初等变换变成B，则积A与B等价，记为
定义2:设A，B都是数域F上的n阶方阵，如果存在数域F上的n阶段可逆矩阵P使得，则称A和B相似
定义3：设A，B都是数域F上的n阶矩阵，如果存在数域F上的一个n阶可逆矩阵P，使得
那么就说，在数域F上B与A合同。
以上三个定义，都具有自反性、传逆性、对称性、 性。
定理1:合同变换与相似变换都是等价变换
证明：仅证合同变换，相似变换完全相似
因为P可逆，所以P存在一系列初等矩阵的乘积，即。
此时边为一系列初等矩阵的乘积
若 则B由A经过一系列初等变换得到。所以，从而知合同变换是等价变换。
定理2：合同变换与相似变换，不改变矩阵的秩
证明:由 知,合同变换与相似变换都是等价变换，所以不改变秩
定理3：相似矩阵有相同特征多项式
证明：共
又因为为对称矩阵
所以
注①合同不一定有相同特征多项式
定理4：如果A与B都是n阶实对称矩阵,且有相同特征根，则A与B相似且合同
论：设A，B为特征根均为,因为A与B实对称矩阵，所以则在n阶正 矩阵，使得
从而有
由
从而有
从而
又由于
为正交矩阵
所以且
定时5：两合同矩阵，若即，若A为对称矩阵,则B为对称阵，而两相似矩阵则不一定有些性质
证明：即，若对称阵，则
所以B边为对称阵
[注］：相似矩阵对此结论不具有一般性,它在什么情况下成立呢？
引理6:对称矩阵相似于对角阵A的每一个特征根有秩,S为的重数。
证明：任给对称的n阶矩阵A一个特征根，以其重数以秩，则
,线性无关的解向量个数为个，即5个
又因属不同特征根的特征向量线性无关
n阶对称阵A有n个线性无关的特征向量
n阶对称阵可对角化
从定理5，引理6中我们发现了合同在应用中的侧重点,
如对二次型应用
例 求一非线性替换,把二次型
二次型矩阵为
对A相同列与行初等变换，对矩阵E，施行列初等变换
可把二次型化为标准型
解法（2）
此时
此时非线性退化替换为
发现在注［1]:任意对称阵合同的对角阵及其变换阵不是唯一确定的
特性1:在合同变换中具有变换和结果的多样性
[注]：在对角阵上元素相等及其它元素元素边相等情况下又有哪些性质呢？
例3．用可逆性变换化二次型
解：
对二次型矩阵为
标准形，则
［注]当P改变两行的位置交换后，发现
定理2：在A为对角线上元素相等，其余元素也相等，则若有，则调整P的任意两行,对角阵形式不变。
证明：设初等变换的对调变换矩阵为J,显然于是有
而P与JP相比仅是行的排列顺序不同，
因此任意调整P的行，所得对角阵相同.
[注]以上为特殊条件下成立，如果在一般情况下呢?
例4．求实对称矩阵求可逆阵P使得为对角阵
我们得到
定理7：设 对称矩阵，B为对角矩阵,若要调换B对角线上任意两个元素的位置得到，则只要调控B中对左的两列，可得到P，使得，即P的列与B中元素的对应性.
证明：初等调换矩阵为J，显然
与相比,只是列的排列顺序发生了改变
的列与B的对角线上元素具有对应性
自己写例
定理8：如果对角线上的元素分别扩大得，则不要将P中对应的对应角线元素扩大,即可得到使得
证明：设初等变换的倍乘变换矩阵为（对角线上第J个元素）形，则有
中第J个元素为B的倍而，且其中对角线J个元素是P中对角线元素CJ倍。
例：已知对称矩阵求可逆矩阵P,使且对角形式
解
对单位阵E进行相应列初等变换得
则有
则此时有得
综上所述合同变换不仅与相似变换有着某千丝万缕的联系，而且其本身也有着变换矩阵多样多样，和结果的不确性，在对其特 性与性质的联系中带来许多解题更多思路与方法。
主要参考文献
［1]北大数学系,高等代数第二版
[2]上海交大线性代数编写。线性代数(第三版）[M]
[3］张禾瑞 高等代数［M]
[4］付立志《对称矩阵对角化相似变换模型》
[5]王晓玲《矩阵三种关系问联系》
［6］ Brickell EF A Few Results in message Autheutication congress Numerantium 1984 43 141－154
矩阵的合同变换及性质
定义：设A，B是数域F上两个阶矩阵，如果存在一个阶可逆矩阵P使得成立，那么 B与A合同
特性：合同变换具有模型化，程序化的简便性。
引理1：在矩阵中，任意对角矩阵与合同J对角阵
证明:①数学归纳法
当时,定理显然成立
设时，定理对阶对称阵成立,A上阶对称囝
若则A本身已为对角阵
不妨设
(1）讨论A的对角线上元素不全为0的情况，这都可通过三行或列初等变换，使得
这里是阶对称阵，由归纳假设，存在则有阶可逆阵，使现取
则
（2）若，由，可通过对应的行列初等变换，使问题归结到i的情怀
合同矩阵变换的应用，主要应用于二次型上,而二次型主要对积矩阵,而二次型化简，一般都归结为对称实矩阵A的合同变换在
特性1：合同变换具有模型化，程序化的简便性
定理1：若在对称矩阵A的下六并上一个单位矩阵，作列变换，则对的行与列分别六色以一系列的对称，初等变换使其式为对角阵时， 单位阵成为A的合同变换矩阵.
特性2:合同变换具有变换和结果的多样性，采取不同的合同变换，不仅可以得到不同的对角矩阵而且还可以得到相同的对角陈
例：已知实对称矩阵求可逆矩阵P，使为对角矩阵
解由于且，可见为使 为对角矩阵，实质上是使合同于对角矩阵
故可逆矩阵
(2）
定理3：设为对称矩阵，B为对角矩阵，若要调换B的对角线上任意两个元素的位置得到，则只要调换P中对应两列，可得到，使得，即P的列与的列与B具有对应性。
说明：没妆等变换的对调多换矩阵为J，显然，
与相比， 列的排列顺序不同，因此,P的列与B的对角线上元素具有对应性。
特性3：合同变换具有变换矩阵列但是与对角线元素的对应性.
定理4：若要将B的对角线上第j个元素扩大得到，则只要得P中对应第j列扩大c倍，即得到,使得
证明：设初等变换的倍乘变换矩阵为（的对角线上第j个元素为c,其余为1）显然
中的第j个元素B的
我们发现j合同变换在对角化中有简易行，凸现其方法(变换矩阵）和结果（对角阵）的
二、合同变换的本质
在n阶实对称阵A和B的正负惯性指标都一样,则有表示为A到B的合同变换矩车构成的集合。
引理1：假设实对称矩阵A和B的正负惯性指标都一样，则为群
证明：对于任意的，则存在，使得因此,因此，而,则所以亦即有，关于矩阵乘法封闭，易知关于矩阵乘法满足结合律,有单位矩阵,下设每个元素都有逆远，假设存在，使得,所以，因，则所以即，综上所述成群
注:为已知的实对称矩阵，c为可逆复矩阵，
引理2：假设实对称阵A和B正负惯性指标都一样，则有表示为
证明：
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