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公因数与公倍数

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公因数
问题1：用短除法求下列各组数的最大公因数。
①12和18 ②34和102 ③15和50 ④12、24和36
想：用短除法求两个数的最大公因数，一般用这两个数除以它们的公因数，一直除到所得的两个商只有公因数1为止,再把所有的除数连乘起来，所得积就是这两个数的最大公因数。两个数的最大公因数用（ ）表示。
同时除以公因数2
同时除以公因数2
同时除以公因数3
除到三个商只有公
因数1为止

（12、18）= 2×3＝6
解：
12
18
2
6
9
3
2
3
①①①
②①①
34Ⅴ①①
102①①
2
17
51
17
1
3
③①①
④①①
15Ⅵ
50Ⅵ
5Ⅵ
3Ⅵ
10Ⅵ
12Ⅵ
24Ⅵ
36Ⅵ
2Ⅵ
6Ⅵ
12Ⅵ
18Ⅵ
2Ⅵ
3Ⅵ
6Ⅵ
9Ⅵ
3Ⅵ
1Ⅵ
2Ⅵ

（34、102）= 2×17＝34
（15、50）= 5
（15、24、36）= 2×2×3=12
3Ⅵ

试一试：求下列各组数的最大公因数（用短除法）
①20和30 ②28和84 ③54和90 ④30、45和60

问题2：求24、60和132三个数，共有多少个公因数？其中最大的公因数是多少？
想：这道题可用列举法来解答，但比较麻烦。我们可以用短除法求出这三个数的最大公因数，然后根据几个自然数最大公因数的因数个数等于这几个自然数公因数的个数的规律，找到这三个数的公因数。
24Ⅵ
60Ⅵ
132
2Ⅵ
12Ⅵ
30Ⅵ
66Ⅵ
2Ⅵ
6Ⅵ
15Ⅵ
33Ⅵ
3Ⅵ
2Ⅵ
5Ⅵ
（24、60、132）= 2×2×3=12，因为24、60和132的最大公因数是12，而12=22×3，得（2+1）×（1+1）=6，所以，24、60和132共有6个公因数，最大公因数是12。
解：
11Ⅵ

试一试：先用短除法求出每一组数的最大公因数，再求出每组数中公因数的总个数。
①16和24 ②28和70 ③150和180 ④60、75和150

问题3：有三根木棒，分别长12厘米，44厘米，56厘米，把它们都截成同样长的小棒（整厘米），不许有剩余，每根小棒最长能有多少厘米？
想：把每根木棒截成同样长的小棒后不许有剩余，每根小棒的长度必须是各自木棒长度的因数；把三根小棒截成同样长的小棒，不许有剩余，每根小棒的长就是这三根小棒的公因数；每根小棒最长多少厘米，就是求这三根小棒的最大公因数。
12Ⅵ
44Ⅵ
56
2Ⅵ
6Ⅵ
22Ⅵ
28Ⅵ
2Ⅵ
3Ⅵ
11Ⅵ
14Ⅵ
（12、44、56）= 2×2=4
答：每根小棒的长度有4厘米。
解：
试一试：
1、 有三根钢筋，分别长12分米，18分米、30分米，把它们都截成同样长的小段（整分米），不许有剩余，每小段最长是多少分米？

2、 有50个梨、75个苹果和100个桔子，要把这些水果平均分给几个小组，并且每个小组分得的三种水果的个数也相同，最多可以分给几个小组？每组中每样水果各几个？

问题4：一张长方形纸，长7分米5厘米，宽6分米，把它截成一块块相同的正方形。而且正方形边长为整厘米数，有几种截法？如果要使截得的正方形面积最大，可以截多少块？
想：7分米5厘米=75厘米，6分米=60厘米。因为截成的小正方形的边长既是75厘米的因数又是60厘米的因数，也就是75厘米和60厘米的公因数，75和60的公因数是1、3、5、15，所以有4种截法。要使截成的正方形面积最大，那么边长也应该最大，应该取75和60的最大公因数15作为正方形的边长。
75Ⅵ
60
3Ⅵ
25Ⅵ
20Ⅵ
5Ⅵ
5Ⅵ
12Ⅵ
（75、60）= 3×5=15
（75÷15）×（60÷15）= 20（块）
因为15的因数有1、3、5、15四个。
答：共有4种截法，共可以截成20块。
解：

试一试1、一块长45厘米，宽30厘米的长方形木板，把它锯成若干块相同的正方形而没有剩余，所锯成的正方形的边长（整厘米数）最长是多少厘米？共能锯成多少块？
2、 把一张长1米5厘米，宽7分米的长方形纸，截成同样的小正方形纸（边长为整厘米），而没有剩余，至少能截成多少块？

问题5：一个数除150余6，除250余10，除350余14，这 个数最大是多少？
想：一个数除150余6，可以转化为144（150—6），同时除250余10也可以转化成240（250—10），除350余14可以转化为336（350—14），转化后的三个数都有某数这个因数。求这个数最大是多少，也就是求144、240和336的最大公因数是多少。
144Ⅵ
240
2Ⅵ
72Ⅵ
120Ⅵ
2Ⅵ
36Ⅵ
60Ⅵ
（144、240、336）= 2×2×2×2×3=48
答：这个数最大是48。
解：
336
168Ⅵ
84Ⅵ
2Ⅵ
18Ⅵ
30Ⅵ
42Ⅵ
2Ⅵ
9Ⅵ
15Ⅵ
21Ⅵ
3Ⅵ
3Ⅵ
5Ⅵ
7Ⅵ

试一试：1、一个数除200余4，除300余6，除500余10。这个数最大是多少？

1、 如果把110块糖平均分给五（2）班同学，则多5块；如果把210块糖平均分给这个班正好分完；如果把240块糖平均分给这个班同学，还少5块。五（2）班最多有多少个同学？

综合练习：1用短除法求下列各组数的最大公因数。
①39和91 ②74和111 ③30、45和105 ④28、42和84

2、42、70和84三个数的公因数，共有多少个？其中最大的一个是多少？

2、 有A、B、C三根金属条，长度分别是4.8分米，6.4分米，8分米，把它们截成同样的小段，每段为整厘米，不许剩余，每段最长是多少厘米？共可以截成多少段？

3、 将一块长60米、宽40米的长方形土地划分成面积相等的小正方形（边长为整米）。小正方形的面积最大是多少？共可以划分成多少块这样的正方形？

4、 把160枝铅笔，128本练习本，96册故事书，最多可以分成多少份同样的奖品？在每份奖品中，铅笔、练习本、故事书各是多少？

5、 有一个大于1的整数，除300、262、205，得到相同的余数，问这个整数是多少？

6、 幼儿园老师把100块饼干平均分给大（1）班的小朋友，则多10块；如果把120块饼干平均分给这个班的小朋友正好分完；如果把85块饼干，平分给这个班的小朋友还少5块。大（1）班小朋友最多有多少人？

7、 工人加工了三批零件，每加工一批零件，除了张师傅比其他工人多加工若干个外，其他工人加工的都同样多。已知他们第一批共加工2100个，其中张师傅比每个工人多加工7个；第二批加工1800个，其中张师傅比每个工人多加工6个；第三批加工1600个，其中张师傅比每个工人多加工13个。这批工人最多有多少个？

四 公倍数
问题1：用短除法求下列各组数的最小公倍数。
①12和18 ②30和75 ③6、12和30 ④28、42和84
想：用短除法求几个数的最小公倍数，一般用这几个数的公因数去除这几个数（从最小的公因数开始），一直除到任意两个商的公因数只有1为止。再把所有的除数和商连乘起来，所得的积就是这几个数的最小公倍数。几个数的最小公倍数用[ ]表示。
12
18
2
6
9
3
2
3
①①①
②①①
30Ⅴ①①
75①①
3
10
25
5
2
5
③①①
④①①
6Ⅵ
12Ⅵ
2Ⅵ
3Ⅵ
6Ⅵ
28Ⅵ
42Ⅵ
84Ⅵ
2Ⅵ
14Ⅵ
21Ⅵ
42Ⅵ
7Ⅵ
2Ⅵ
3Ⅵ
6Ⅵ
2Ⅵ
1Ⅵ
3Ⅵ
3
[30、75]= 3×5×2×5＝150
[6、12、30]= 2×3×1×2×5=60
[28、42、84）= 2×7×2×3×1×1×1=84
30Ⅵ
15Ⅵ
3Ⅵ
2
1
5
3
1
1
1
解：
[12、18]=2×3×2×3=36

试一试：用短除法求下列各组数的最小公倍数。
①40和60 ②26和65 ③8、24和36 ④35、105和140

问题2：两个数的最大公因数是12，最小公倍数是72，这两个数分别是多少？
想：根据“两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积”，可先求出这两个数的乘积，再把这个积分解成两个数。
AⅥ
B
12Ⅵ
A1
B1Ⅵ
A1B1=72÷12=6=1×6=2×3
解：
当A1、B1分别是1和6时，A、B分别为12×1=12，12×6=72；
当A1、B1分别是2和3时，A、B分别为12×2=24，12×3=36
答：这两个数是12和72或者是24和36。

试一试：1、甲、乙两数的最大公因数是9，最小公倍数是90，甲数是18，乙数是多少？

1、 甲、乙两数的最大公因数是9，最小公倍数是90，甲数是18，乙数是多少？

2、 两个数的最大公因数为21，最小公倍数为126，这两个数分别是多少？

3、 两个数的最大公因数是12，最小公倍数是60，求这两个数的和。

问题3：两个自然数的积是360，最小公倍数是120，这两个数各是多少？
想：我们把这两个数设为A、B，因为这两个数的积，等于这两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积。根据这一规律，我们可以求出这两个数的最大公因数是360÷120=3。
又因为
AⅥ
B
3Ⅵ
A1
B1Ⅵ
3A1B1=120，A1B1的公因数是1，A1和B1可以是1和40，
也可以是5和8。当A1、B1分别是1和40时，所求的两数为3×1=3和3×40=120；当A1、B1分别是5和8时，所求的两数是3×5=15，3×8=24。
答：这两个数是3和120或者是15和24。
。

试一试：1、求18和24的最大公因数和最小公倍数的乘积。

2、 已知两个自然数的积是240，最小公倍数是60，求这两个数。

3、 两个不同自然数的最小公倍数是36，求这两个数？（写出所有的答案）

问题4：某市1路、2路和8路公交车都从南站出发，1路车每隔10分钟发出一辆车，2路车每隔12分钟发出一辆车，8路车每隔15分钟发出一辆车，当这三种路线的车同时发车后，至少要经过多少分钟又同时发车？
想：从第一次三种线路的车同时发车，到下一次再次同时发车，相隔的时间应该是10、12、15的最小公倍数。
解：因为10、12、15的最小公倍数是60，所以至少再经过60分钟后又同时发车。
答：至少再经过60分钟后又同时发车。
试一试：
1、 A、B、C三人是朋友，他们每隔不同的天数到图书馆去一次，A 3天去一次，B 4天去一次，C 6天去一次。7月3日他们三人恰好在图书馆相会，至少在几月几号再次在图书馆相会？

问题5：从运动场一边的一端起到另一端全长96米，每隔3米插一面小旗。现在改成每隔4米插一面小旗，可以不必拔出的小旗有多少面？
想：从运动场的一端开始，是3和4的公倍数处的那一面就不必移动。因为3和4的最小公倍数是12，所以，从第一面开始，每隔12米就有一面小旗不必移，96÷12=8，就是有8面小旗不必移动，再加上第一面小旗共有9面小旗不必移动。
解：[3、4]=12，96÷12+1=9（面） 答：共有9面小旗不必移动。

试一试：
1、 在一条长120米的直路的一边植树（两头都栽）原来每4米挖一个树坑，树坑已挖好，现改为每隔6米挖一个树坑，问共有多少个树坑可以不必重挖？

综合练习：1、用短除法求下列各组数的最小公倍数：
①48和72 ②70和105 ③18、24和36 ④30、75和135

2、 两个数的最大公因数是14，最小公倍数是84，这两个数分别是多少

3、 两个自然数的和是52，它们的最大公因数是4，最小公倍数是144，这两个数分别是多少？

4、两个自然数的的积是320，它们的最小公倍数是40，这两个数分别是多少？

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