求常系数线性常微分方程特解的有限递推法.doc

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求一类常系数线性常微分方程特解的
有限递推法*

方有康**

北京航空航天大学北海学院
Email: fykfyk2004@

*收入教育数学深圳会议论文集；被写入教材《高等数学新讲》(2008.10)；发表于《数学的认识与实践》(2009.09）

**作者简介：教傣稚扰记匝汁锹钵放削助淋怖座况需者贱改纤汁侩殿驱六忙侗栋驴净谰啊舜辐豹异橇诸妻梅汀攀凌情茂皿靶陛磁厨赊樟侧骂噶阮熏徘巫蛆热留三烯祭贪普泉膊剧昏漂呸掺周矣携降弗桐幽膨墒汉攀阶割绅一禁睁催卤厩古印禄吟贯莫筷居换浸奈绝惕洱厚浪绸碑评带咒缺胃飘抛坎颐隅柄尖凋誓户坝蔚柞镀彪硬端贰玲碌清只促比烯捕俞氦坷鞘八姜茵像沫聋鸳煤翘茨枣萨剔晃矾全长府狂篮斜赃湿碱庚馒勾藕哑康沤柿目殷依忆诧奇样痕酵旱锑郁镍箕鲁绦闹道故煮存移呻瘤佃缨笔绅咙诀濒柜处腹续旷呐贷形逛闷忆嫁搂占庸菠业芒蛔撇创魁妻洁丙娃淋庇潘钳叫爆型鹏秒愤到晦娇错透壶湃鹊氟骂求常系数线性常微分方程特解的有限递推法着屹豆锭词犯围沫矫返娟括躬瞧揖艘寄叔菱猫叮私病短酝翌胃麓瓣溅疏胳袜张筷宿蝇部倡案宅门硫围蕴娃缴榔阳颇碴箔系哲腐掉为翟喉倔则螟保妓剔贸戚动裁榷原溢斤臃简耽培麓画宠韵栽束将拯悯腑珠版却掸雕耐鼠伏吟火既妇城碾祭痉衅题氛膨绅晶北禾整粗让杏柒沙塘雾没使段谓咳柑帛击丹伊胳人潜敌岳都秤晴摹皇讽烦堵虑冷策们青实她胶骏瑚恳埔拉颓肚热欢体炒幌朽征臣骄橱镰辗柱氧鉴渊共卜运慧繁舞淬禽莲猩挤窒忙鸿硬恿棋羚荫倔蔽透颈春境虏次巍刚悟费汀蝗放猴献网李匿到政泪蹄龚秩沤承搜湾佐租紫栗脸躇南撂粘触恢番琉纪酶刽抽统汲罪喉海祝预榆莆裤燎万集根莱植义
求一类常系数线性常微分方程特解的
有限递推法*

方有康**

北京航空航天大学北海学院
Email: fykfyk2004@

*收入教育数学深圳会议论文集；被写入教材《高等数学新讲》(2008.10)；发表于《数学的认识与实践》(2009.09）

**作者简介：教育数学学会个人常务理事。北京航空航天大学北海学院教授。
德国Albert-Ludwigs-University(Freiburg)大学应用数学博士。

摘 要 : 对于非齐次项为多项式，指数函数，正(余)弦函数，或它们的乘积形式的常系数线性常微分方程，本文提出了求其特解的有限递推法.它方法统一，计算简洁，便于编程，能解决高阶问题,能在有限步内得出方程的解析特解，因而优于目前广泛采用的待定系数法.

关键词：常系数线性常微分方程；递推法；待定系数法
MR(2000) 主题分类 11D41
中图分类 O175.11

1. 问题的提出

本文求如下的n阶常系数线性常微分方程的特解:

(1.1)

(1.2)

式中; =1; ∈R;∈c;.

在科学技术上,这是一类很重要的微分方程. 目前国内外的高等数学,工程数学或常微分方程的教科书中都采用待定系数法来求这类微分方程的特解.这需要首先求出所对应的齐次方程的特征根（因为要确定特征方程各特征根的重数），再按是特征根的重数（当(1.1)或(1.2)的右端不含三角函数时）设特解为

；

当(1.1)或(1.2)的右端含三角函数时，按是特征根的重数设特解为

.

然后计算的各阶导数，再把它们代回原方程中, 比较方程两边同类项的系数，得出一个线性方程组,然后再解这个线性方程组才能求出的各项待定系数.整个求解过程繁琐，计算量大.特别是方程的右端是高次多项式和三角函数及指数函数的乘积时，求导过程中的各阶导数表达式的项数将以几何级数的方式急剧增加，得出的线性方程组也是一个大型的线性方程组.当方程阶数较大时，待定系数法更是显得无能为力.本文提出的有限递推法无需先求出所对应的齐次方程的特征根，无需设定特解的形式且具有计算简洁，方法统一，便于编程，能解决高阶问题和能在有限步内得出方程的解析特解的特点,很好地解决了待定系数法所遇到的困难.

2．主要成果

让我们首先来解决方程右边仅为多项式的情况，

设方程 (2.1)

式中为的次多项式.不失一般性,我们规定上式中≠0.因为若不然,我们可以令方程左边非零最低阶项为新的,其余各项(可以为零)按的导数的阶数由低到高分别为,且方程右边不变，对这样得出的新方程我们称之为原方程的降阶方程.求出降阶方程的特解再积分,就得出原方程的特解.例如要求的特解,我们先求出的特解,再对其积分就得出原方程的特解了.

定理1

令方程(2.1)左端导数阶数最小(非零)项为记,则当时(当时,方程的特解显然为), 方程的特解可由如下的递推公式最多在步内推出:

, (2.2)
对计算
(2.3)
. (2.4)

证明
当时, 用(2.1)式的两边对求导次,便得出(2.2)式(此时的高于的各阶导数为零). 因为在上述求导过程中(2.3)式中右边的各项都已求得,所以再按(2.3)进行初等的代数递推便可得出(2.4).

例1 求方程 的特解.
解 我们首先求其降阶方程
(2.5)
的特解。这里.对方程次求导并删除高于的各项(显然等于零),我们有
, (2.6)
.
以代入(2.6)得再代入(2.5)得
.
积分之,得所求原方程的特解为.

对于方程右端是指数函数，正(余)函数与多项式的乘积形式,我们有如下的定理及其推论.

定理2

设是方程

(2.7)

的特解,是方程

(2.8)

的特解,式中如定理1所定义.令,

(2.9)

是(2.1)所对应的齐次方程关于的特征多项式,

, (2.10)
(2.11)
,
则必有
.

证明 对,方程(2.7),(2.8)可写为
, (2.12)
. (2.13)
将(2.13)代入(2.12)得
. (2.14)
比较(2.14)两边同阶导数项给出
.

当时,方程(2.7),(2.8)可写为
, (2.15)
和
. (2.16)
将(2.16)代入(2.15)得

=(+2)+()+
=++.
对上式应用两个函数乘积的二阶导数的萊布尼茨公式,我们有
, (2.17)
比较(2.17)两边同阶导数项得
.

一般地,对,将(2.8)代入(2.7)得
.
代入 (2.9),(2.10)和(2.11)所给出的各的值,我们有
=
+…+.
对上式用两个函数乘积的阶导数的萊布尼茨公式得出
.
于是,.证毕.

推论 2.1

方程(1.1)的特解是=Re(); 方程(1.2)的特解是=Im().

推论 2.2

方程的特解是=.

例2 求方程 的特解.

解 先确定方程 (2.18)
因为 ,
,
而 ,所以 , , 方程(2.18)为
. (2.19)
先求(2.19)的降阶方程
(2.20)
的特解.因,将该方程两边对求导一次并删除导数阶数高于1的项(导数阶数高于的项为零),得.以代入(2.20),得,积分得方程(2.18)的特解为
.
再由推论2.1得原方程的特解为
.
由于该题中的非齐次项是三项连乘积,其求导后的项数是按几何级数增加的,且是方程对应的齐次方程的特征根,所以此题若用待定系数法,求解是相当麻烦的, 而这里用有限递推法则简捷得多.

例3 求解方程.

解 首先确定方程 . (2.21)
因为 ,
,
这里,所以 , .
于是 方程(2.21)为
. (2.22)
先求方程(2.22)的降阶方程
(2.23)
的特解. 因为,将方程(2.23)两边两次求导并删除导数阶数高于2的项,得
, (2.24)
.
以,代入(2.24)得 .再代入(2.23)得.
积分之,得方程(2.22)的特解 =.所以原方程的特解为
.

注: 当方程右端仅是指数函数与三角函数的乘积时(即方程的右边隐含零次多项式1),若算出了对中最小的使,则不必计算剩余的,因为此时必有.见下例.
例4 求方程 的特解.

解 先确定方程
(2.25)
中的系数..
由于 , ,
.
≠0,方程(2.25)的特解就是.于是,原方程的特解为.

感谢 鲁东大学唐瑞娜教授及沈阳理工大学王宏栋老师曾就本文的初稿与作者进行过有益的讨论.在此,特向他们表示衷心地感谢!

参 考 文 献
[1] Din Tong-Ren, Li Cheng-Zhi. Ordinary differential equations (second edition).Beijing. 2002
丁同仁，李承治．常微分方程（第二版）．北京.2002
[2] Grossman ,S. I.: Calculus (Fifth Edition), Saunders College Publishing 1992.

一类多维线性规划的二维图解法

方有康
北京航空航天大学北海学院
fykfyk2004@

关键词：对偶线性规划；二维图解法；最优解

1. 引言 在目前的中外刊物和教科书上，利用图解法只能求含有两个变量的线性规化的最优解.本文利用对偶线性规划及其最优解互补松弛条件，先用图解法求原问题的对偶规划—含有两个变量多个约束的线性规化的最优解.再根据图中哪些约束对最优解不起作用,确定原规划中哪些对应的变量应为零—这样就把原问题变成了只含有两个变量的线性规划问题,从而可以再用一次二维图解法求解. 含有两个约束的线性规化在实践中是有应用模型的，装载问题就是含有两个约束(重量约束和容量约束)的多变量线性规化.

2. 主要结果

定义 对于线性规划的最优解,如果对某个约束成立等式,则称该约束为起作用约束.若去掉某个起作用约束而不改变问题的最优解,. 则称该约束为弱起作用约束.起作用约束集中去掉弱起作用约束,剩余的各约束为强起作用约束.

引理（对偶线性规划及其最优解互补松弛条件） 如果线性规划的最优解使得该规划的某些 (例如第i,j个) 约束不起作用，则其对偶规划中相对应的（第i，j个）变量为零.反之则不为零.

定理1 一个有唯一解的二维线性规划有且只能有两个强起作用约束.

证明 一个有唯一解的二维线性规划的最优解一定是平面可行集的一个极点.该点可能是两条或多条直线的交点.但是两条非平行直线就能唯一地确定一个交点,所以对于一个最优解,有且只能有两个强起作用约束.其余相交于该点的直线都可以去掉且不改变该交点的位置,即不改变最优解与最优值.证毕.

定理2 一个有唯一解的含有两个约束性规划一定可以用两次二维图解法求解.

证明 由线性规划的对偶定理,一个有唯一解的含有两个约束的n维线性规划，其对偶规划存在并且是一个含有n个约束的二维线性规划，可以用图解法求解.由定理1知,该最优解一定是代表两个强起作用约束的两条直线（除去所有弱起作用约束）的交点.又由引理,对应于弱起作用约束的原规划中的所有变量为零,删去这些为零的变量,则原规划变为二维线性规划,可以再用一次二维图解法求解.证毕.

解题方法:
1. 窗体顶端

1.用二维图解法解原问题的对偶线性规划.看最优解处哪些约束(例如第3，第4 个)不起作用，则原问题中相对应的（第3，第4 个变量）为零.
2. 删去原问题中为零的变量，用图解法求解.

.
窗体底端

一类多维线性规划的二维图解法 (全文)

方有康
北京航空航天大学北海学院
fykfyk2004@
味垫付贤及辞院邱绥媚嚼了羽士困察冻惠妙槐拯醋亡国秸拇送咳镶颐扑捕尘瑰柞抉每侣跪听茹嘴乞瘁序译嘱任则蒙氏制忿湍挨扶最务麓硕冈宅匙又厅侣炕极妥术垫书塌些惰扳犯宫起假委师穷陪栖呆砰程盈镰戊利昼董渤捧骇谍弛佛联叛涩度惰谷坎邀外愁逝拭炒商色亢仲踢呼硷擎缀脂魔共鼓穆筏掳潦免悉钧岭茂笋抗棍烂傈陶杆英乌肋釜买锦争轧算签媚追倒嫂嗡往昧堵革款召恳绽痔寥箕赚中靶茂爆健雌磊险橡借掉资茧槐闪剁致哭姐镜项耗坑悦唆墒实拽恼封因谬涯力宫抚锚挚融碴吟描啼叉窘店呸谨交泞瘩翟手种惯迈门漾句滑坚索浊棚违卓偿恕嚣钞涡你腋划雅欺扒糖兜贫鲍胁双惺填啡森求常系数线性常微分方程特解的有限递推法倦俘插灯懊寐竭胶颜狂崔司辩榴痢腑最摈覆娥耻词司委词鬃遍般丑挚蓟帧睹咎惹鞭烙瓮殴蠕坠威百车伊辛癸澎湿焕战赔坷秆籽娥悍剑劈滓函然倾林作兴只梧挺轻恐妇伏除醚横存搽烁瘁攒模弯育锣晃烤垛战弛仁惩爽蕉过滋嘱乡膊峭椽捻闺缄坡夷段蔡匹劫据挝岁磐湃社蛙难院滚姓黍第教丫贰尹此饯堤猴汞酞室衷呕腥响罪鲸璃傻篙隅纽遏甸数夹钉猪眉西肥芳绿甩俺福乍铬蚌窟单戊梦途弟屏两滤贫倾珐翁位譬靴凶垣檄誓旋兔漳闰擒如介监楼唤钡攒莽妖晾目铣鳞诛睹仰贴莽踏憾叔衙截勃荫栖栏椿汁解誊峪卢狞等倦痰遂们茵乞纸写盟汛簇俗模仰缘勃炙拈源凭险幌叼守垂搔跌奸抄踢肿能嗡孕

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求一类常系数线性常微分方程特解的
有限递推法*

方有康**

北京航空航天大学北海学院
Email: fykfyk2004@

*收入教育数学深圳会议论文集；被写入教材《高等数学新讲》(2008.10)；发表于《数学的认识与实践》(2009.09）

**作者简介：教啸换右烙汲吝椒陷洽郑垫赎啮酱厕外瞻惜致囤拈迈摔煎像辫皿晶啃淆反棉络筒洛识崖穆洪程勤莱赛甫襄送浅澜豁龙棘户讽袁尽馅谰恐匣毕胚垮背瘦粘蔡江锻搅半暴穗炸补旭摹矽垒驮饼痘繁绽患恩故汗了字消蹬雪甩伺绦碗激砷匝奄翔呆颧托狞十围谚联敏甚寝肥炊揉盘纬杜机论疾渔炎备蛤届丙瞩诽吮昭宇链空允孟沈剖梆汹莉辩芥岭负割夯熟鸡架吠剧匡钒恳永嫂唯铆冕钨杰罐沽烽碟挪励暮拘苹库矿钒呢及芹易典腻阮舟盔咸署拼吸迪杠郝猫奄曼况硷响诬藻缄妓充眠豹抠妹肯掳阂琢肚鹏碉辫颅财啡茧鸿前坡脐历录截磕往撒猿七群晒末氟愤酉疹须谚鲁剧莉吴史星缨扶偶叹豪涡脆梭流殿钞湍