2022届高考数学(文科人教A版)大一轮课时作业：8.3-圆的方程-.docx

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课时提升作业(四十五)
圆 的 方 程
(25分钟　60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.已知一圆的圆心为点(2,-3),一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上,则此圆的方程是(　　)
A.(x-2)2+(y+3)2=13
B.(x+2)2+(y-3)2=13
C.(x-2)2+(y+3)2=52
D.(x+2)2+(y-3)2=52
【解析】选A.由于圆心(2,-3)是直径的中点,所以此直径的两个端点坐标分别为(4,0),(0,-6),
所以半径长r=
所以所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=13.
2.(2021·天津模拟)已知方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆有最大的面积,则取最大面积时,该圆的圆心的坐标为(　　)
A.(-1,1) B.(-1,0)
C.(1,-1) D.(0,-1)
【解析】选D.由x2+y2+kx+2y+k2=0知所表示圆的半径r=
当k=0时,rmax==1,
此时圆的方程为x2+y2+2y=0,
即x2+(y+1)2=1,所以圆心为(0,-1).
3.若圆x2+y2-2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形,则a-b的取值范围是
(　　)
A.(-∞,4) B.(-∞,0)
C.(-4,+∞) D.(4,+∞)
【解析】选A.将圆的方程变形为(x-1)2+(y+3)2=10-5a,可知,圆心为(1,-3),且10-5a>0,即a<2.
由于圆关于直线y=x+2b对称,所以圆心在直线y=x+2b上,即-3=1+2b,解得b=-2,所以a-b<4.
【方法技巧】两种对称问题的解决方法
(1)点(a,b)关于直线y=x+m的对称点坐标为(b-m,a+m).
(2)点(a,b)关于直线y=-x+m的对称点坐标为(-b+m,-a+m).
4.已知两定点A(-2,0),B(1,0),假如动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于(　　)
A.π B.4π C.8π D.9π
【解析】选B.设P(x,y),由题意有,(x+2)2+y2=4[(x-1)2+y2],整理得x2-4x+y2=0,配方得(x-2)2+y2=4.可知圆的面积为4π.
【加固训练】如图所示,已知P(4,0)是圆x2+y2=36内的一点,A,B是圆上两动点,且满足∠APB=90°,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.

【解析】设AB的中点为R,坐标为(x1,y1),连接OR,PR,则在Rt△ABP中,|AR|=|PR|.又R是弦AB的中点,所以在Rt△OAR中,|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-(x12+y12),
又|AR|=|PR|= ,
所以有(x1-4)2+y12=36-(x12+y12),
即x12+y12-4x1-10=0.
因此点R在一个圆上,而当R在此圆上运动时,点Q即在所求的轨迹上运动.
设Q(x,y),由于R是PQ的中点,
所以x1=,y1=,代入方程x12+y12-4x1-10=0,
得整理得:x2+y2=56,
即所求Q点的轨迹方程为x2+y2=56.
5.已知两点A(0,-3),B(4,0),若点P是圆C:x2+y2-2y=0上的动点,则△ABP面积的最小值为　(　　)
A.6 B.112 C.8 D.212
【解题提示】阅历证可知A,B两点均在圆C的外部,因此要使△ABP的面积最小,则P到直线AB的距离最小.
【解析】选B.如图,过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P,
这时△ABP的面积最小.直线AB的方程为x4+y-3=1,
即3x-4y-12=0,圆心C到直线AB的距离为d=|3×0-4×1-12|32+(-4)2=165,
所以△ABP的面积的最小值为12×5×(165-1)=112.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2021·泰州模拟)若过点P(a,a)可作圆x2+y2-2ax+a2+2a-3=0的两条切线,则实数a的取值范围是　　　　.
【解析】圆的方程可化为(x-a)2+y2=3-2a,由于过点P(a,a)能作圆的两条切线,所以点P在圆的外部,
即解之得a<-3或1<a<.
故a的取值范围为(-∞,-3)∪(1,).
答案:(-∞,-3)∪(1,）
7.(2021·青岛模拟)已知圆M的圆心在直线x-y-4=0上并且经过圆x2+y2+6x-4=0与圆x2+y2+6y-28=0的交点,则圆M的标准方程为　　　　.
【解析】设两圆交点为A,B,由方程组
求得
故点A(-1,3),B(-6,-2),因此AB的垂直平分线的方程为x+y+3=0.
再由
故圆心为
所以所求的圆的方程为(x-)2+(y+)2=.
答案:(x-)2+(y+)2=
【加固训练】若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是　　　　.
【解析】设圆心C(a,b)(a>0,b>0),由题意可得b=1.
又圆心C到直线4x-3y=0的距离d==1,
解得a=2或a=-(舍去).
所以该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.
答案:(x-2)2+(y-1)2=1
8.(2021·聊城模拟)已知x,y满足x2+y2=1,则的最小值为　　　　.
【解析】表示圆上的点P(x,y)与点Q(1,2)连线的斜率,所以的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率.设直线PQ的方程为y-2=k(x-1)即kx-y+2-k=0.由结合图形可知, ≥,故最小值为.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知以点P为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D,且|CD|=410.
(1)求直线CD的方程.
(2)求圆P的方程.
【解题提示】由于A,B为圆P上的两点,故直线CD过圆心.
【解析】(1)直线AB的斜率k=1,AB的中点坐标为(1,2).
则直线CD的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0.
(2)设圆心P(a,b),则由P在CD上得a+b-3=0.　①
又由于直径|CD|=410,
所以|PA|=210,所以(a+1)2+b2=40.　②
由①②解得a=-3,b=6或a=5,b=-2.
所以圆心P(-3,6)或P(5,-2).
所以圆P的方程为(x+3)2+(y-6)2=40
或(x-5)2+(y+2)2=40.
10.已知方程x2+y2-2x-4y+m=0.
(1)若此方程表示圆,求实数m的取值范围.
(2)若(1)中的圆与直线x+2y-4=0相交于M,N两点,且坐标原点O在以MN为直径的圆的外部,求实数m的取值范围.
【解析】(1)由于方程x2+y2-2x-4y+m=0表示圆,
所以(-2)2+(-4)2-4m>0,
解得m<5,
所以实数m的取值范围是(-∞,5).
(2)直线x+2y-4=0代入圆的方程,消去x可得5y2-16y+8+m=0,
由于Δ>0,所以m<245,
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则y1+y2=165,y1y2=8+m5,
所以x1x2=(4-2y1)(4-2y2)=16-8(y1+y2)+4y1y2=-16+4m5,
由于坐标原点O在以MN为直径的圆的外部,
所以OM→·ON→<0,
所以x1x2+y1y2<0,
所以-16+4m5+8+m5<0,
解得m<85.
【加固训练】1.(2021·湛江模拟)已知△ABC的顶点坐标分别为A(-1,5),B(-2,-1),C(4,3),M是BC的中点.
(1)求AB边所在直线的方程.
(2)求以线段AM为直径的圆的方程.
【解析】(1)由于A(-1,5),B(-2,-1),所以由两点式得AB的方程为y-5-1-5=x-(-1)-2-(-1),整理得y=6x+11.
(2)由于M是BC的中点,所以M（-2+42,-1+32）,
即M(1,1),
所以|AM|=(-1-1)2+(5-1)2=25,
所以圆的半径为5.
所以AM的中点为（-1+12,5+12）,即中点为(0,3),
所以以线段AM为直径的圆的方程为x2+(y-3)2=5.
2.(2021·新课标全国卷Ⅱ)在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为22,在y轴上截得线段长为23.
(1)求圆心P的轨迹方程.
(2)若P点到直线y=x的距离为22,求圆P的方程.
【解题提示】第(1)问紧紧抓住“圆心到直线的距离”这个关键量,利用垂径定理,消去参数r直接求得轨迹方程.第(2)问利用待定系数法,依据题设条件,利用方程思想,求待定系数.
【解析】(1)设P(x,y),圆P的半径为r.
由题设y2+2=r2,x2+3=r2.从而y2+2=x2+3.
故圆心P的轨迹方程为y2-x2=1.
(2)设P(x0,y0).由已知得|x0-y0|2=22.
又P点在双曲线y2-x2=1上,从而得

此时,圆P的半径r=3.

此时,圆P的半径r=3.
故圆P的方程为x2+(y+1)2=3或x2+(y-1)2=3.
3.已知直角三角形ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0),求:
(1)直角顶点C的轨迹方程.
(2)直角边BC中点M的轨迹方程.
【解析】(1)设顶点C(x,y),由于AC⊥BC,且A,B,C三点不共线,所以x≠3且x≠-1.
又kAC=yx+1,kBC=yx-3,且kAC·kBC=-1,
所以yx+1·yx-3=-1,化简得x2+y2-2x-3=0.
因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(x≠3且x≠-1).
(2)设点M(x,y),点C(x0,y0),由于B(3,0),M是线段BC的中点,由中点坐标公式得x=x0+32(x≠3且x≠1),y=y0+02,于是有x0=2x-3,y0=2y.
由(1)知,点C在圆(x-1)2+y2=4(x≠3且x≠-1)上运动,将x0,y0代入该方程得(2x-4)2+(2y)2=4,即(x-2)2+y2=1.
因此直角边BC中点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(x≠3且x≠1).
(20分钟　40分)
1.(5分)(2021·滨州模拟)已知圆M方程:x2+(y+1)2=4,圆N的圆心(2,1),若圆M与圆N交于A,B两点,且|AB|=22,则圆N方程为(　　)
A.(x-2)2+(y-1)2=4
B.(x-2)2+(y-1)2=20
C.(x-2)2+(y-1)2=12
D.(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20
【解析】选D.设圆N(x-2)2+(y-1)2=R2,则圆M与圆N的公共弦方程为:4x+4y-8+R2=0,得2=|-4-8+R2|42,因此R2=20或R2=4.
2.(5分)在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上,则圆C的方程为　　　　.
【解析】曲线y=x2-6x+1与y轴的交点为(0,1),与x轴的交点是(3+22,0),(3-22,0),
设圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则有
解得故圆的方程是x2+y2-6x-2y+1=0.
答案:x2+y2-6x-2y+1=0
【一题多解】本题还可以按如下方法求解
曲线y=x2-6x+1与y轴的交点为(0,1),与x轴的交点为(3+22,0),(3-22,0).
故可设C的圆心为(3,t),则有32+(t-1)2=(22)2+t2,
解得t=1,则圆C的半径为32+(t-1)2=3,
所以圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.
答案:(x-3)2+(y-1)2=9
3.(5分)(2021·宁德模拟)已知直线l:x+y-2=0和圆C:x2+y2-12x-12y+54=0,则与直线l和圆C都相切且半径最小的圆的标准方程是　　　　.
【解析】圆:x2+y2-12x-12y+54=0的圆心C(6,6),半径r=32,圆心C(6,6)到x+y-2=0的距离:d=|6+6-2|2=52,与直线x+y-2=0和圆x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的圆心在过C与x+y-2=0垂直的直线l1上,所求圆的半径R=12(52-32)=2,直线l1:y-6=x-6,即y=x,设所求圆的方程为:(x-a)2+(y-a)2=2,解方程组得x+y-2=0与l1的交点(1,1),解方程:(a-1)2+(a-1)2=2,得a=2,或a=0不符合已知条件,舍去,所以所求圆的方程为:(x-2)2+(y-2)2=2.
答案:(x-2)2+(y-2)2=2
【加固训练】已知点P(2,2),点M是圆O1:x2+(y-1)2=14上的动点,点N是圆O2:(x-2)2+y2=14上的动点,则|PN|-|PM|的最大值是　(　　)
A.5-1 B.5-2
C.2-5 D.3-5
【解析】选D.|PN|-|PM|的最大值是|PO2|+12-(|PO1|-12)=|PO2|-|PO1|+1
=2-5+1=3-5.
4.(12分)已知点A(-3,0),B(3,0),动点P满足|PA|=2|PB|.
(1)若点P的轨迹为曲线C,求此曲线的方程.
(2)若点Q在直线l1:x+y+3=0上,直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M,求|QM|的最小值.
【解析】(1)设点P的坐标为(x,y),
则(x+3)2+y2=2(x-3)2+y2.
化简可得(x-5)2+y2=16,此即为所求.
(2)曲线C是以点(5,0)为圆心,4为半径的圆,如图,

由直线l2是此圆的切线,连接CQ,CM,
则|QM|=|CQ|2-|CM|2=|CQ|2-16,
当CQ⊥l1时,|CQ|取最小值,
|CQ|=|5+3|2=42,
此时|QM|的最小值为32-16=4.
【方法技巧】解决有关圆的最值问题一般要“数”与“形”结合,依据圆的学问探求最值时的位置关系.解析几何中数形结合思想主要表现在以下两方面:
(1)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型争辩最值问题.
(2)争辩图形的外形、位置关系、性质等.
5.(13分)(力气挑战题)如图,经过B(1,2)作两条相互垂直的直线l1和l2,l1交y轴正半轴于点A,l2交x轴正半轴于点C.

(1)若A(0,1),求点C的坐标.
(2)试问是否总存在经过O,A,B,C四点的圆?若存在,求出半径最小的圆的方程;若不存在,请说明理由.
【解题提示】(1)先求l1的方程,进而可求l2的方程,即可得到点C的坐标.
(2)由于AB⊥BC,OA⊥OC,所以总存在经过O,A,B,C四点的圆,且该圆以AC为直径,分类争辩,确定A,C的坐标,表示出AC,即可求得结论.
【解析】(1)由直线l1经过两点A(0,1),B(1,2),得l1的方程为x-y+1=0.
由直线l2⊥l1,且直线l2经过点B,得l2的方程为x+y-3=0.
所以,点C的坐标为(3,0).
(2)由于AB⊥BC,OA⊥OC,所以总存在经过O,A,B,C四点的圆,且该圆以AC为直径.
①若l1⊥y轴,则l2∥y轴,此时四边形OABC为矩形,|AC|=5.
②若l1与y轴不垂直,则两条直线斜率都存在.不妨设直线l1的斜率为k,则直线l2的斜率为-1k.
所以直线l1的方程为y-2=k(x-1),从而A(0,2-k);
直线l2的方程为y-2=-1k(x-1),从而C(2k+1,0).
令解得k∈(-12,2),留意到k≠0,
所以k∈(-12,0)∪(0,2).
此时|AC|2=(2-k)2+(2k+1)2=5k2+5>5,|AC|>5,所以半径的最小值为52.
此时圆的方程为+(y-1)2=54.
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