2015届高考数学第二轮高效精练36.doc

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专题二 　三角函数与平面向量
第7讲　三角函数的图象与性质(对应学生用书(文)、(理)21～24页)

1. 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质；会用“五点法”作出正弦函数及余弦函数的图象；掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及性质．
2. 高考试题中，三角函数题相对比较传统，位置靠前，通常是以简单题形式出现，因此在本讲复习中要注重三角知识的基础性，特别是要熟练掌握三角函数的定义、三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调性、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等)．
3. 三角函数是每年高考的必考内容，多数为基础题，难度属中档偏易．这几年的高考加强了对三角函数定义、图象和性质的考查．在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特殊方法，如函数法、待定系数法、数形结合法等．

1. 函数y＝2sin2－1是最小正周期为________的________(填“奇”或“偶”)函数．
答案：π　奇
解析：y＝－cos＝－sin2x.
2. 函数f(x)＝lgx－sinx的零点个数为________．
答案：3
解析：在(0，＋∞)内作出函数y＝lgx、y＝sinx的图象，即可得到答案．
3. 函数y＝2sin(3x＋φ)，的一条对称轴为x＝，则φ＝________．
答案：
解析：由已知可得3×＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ＋，k∈Z.因为|φ|<，所以φ＝.
4. 若f(x)＝2sinωx(0<ω<1)在区间上的最大值是，则ω＝________．
答案：
解析：由0≤x≤，得0≤ωx≤<，则f(x)在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，所以2sin＝，且0<<，所以＝，解得ω＝.

题型二 三角函数定义及应用问题
例1 设函数f(θ)＝sinθ＋cosθ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0≤θ≤π.
(1) 若点P的坐标是，求f(θ)的值；
(2) 若点P(x，y)为平面区域上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f(θ)的最小值和最大值．
解：(1) 根据三角函数定义得sinθ＝，cosθ＝，∴ f(θ)＝2.(本题也可以根据定义及角的范围得角θ＝，从而求出 f(θ)＝2)．
(2) 在直角坐标系中画出可行域知0≤θ≤，又f(θ)＝sinθ＋cosθ＝2sin，∴ 当θ＝0，f(θ)min＝1；当θ＝，f(θ)max＝2.
(注： 注意条件，使用三角函数的定义， 一般情况下，研究三角函数的周期、最值、单调性及有关计算等问题时，常可以先将函数化简变形为y＝Asin(ωx＋φ)的形式)

如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为、.求：
(1) tan(α＋β)的值；
(2) α＋2β的值．

解：由题意得cos α＝，cos β＝，α、β∈，所以sin α＝＝，sin β＝＝，
因此tan α＝7，tan β＝.
(1) tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2) tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝＝－1.
又α＋2β∈，所以α＋2β＝.
题型二 三角函数的图象与解析式问题
例2 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示．
(1) 求f(0)的值；
(2) 若0<φ<π，求函数f(x)在区间上的取值范围．

解：(1)由题图可知A＝，
∵ ＝－＝，∴ ω＝2.又2×＋φ＝2kπ＋，
∴ φ＝2kπ＋(k∈Z)，
∴ f(0)＝sin＝.
(2) φ＝，f(x)＝sin.因为0≤x≤，所以≤2x＋≤π，所以0≤sin≤1，即f(x)的取值范围为[0，]．
(注：本题主要考查正弦、余弦、正切函数及y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质以及诱导公式，运用数形结合思想，属于中档题)

已知函数f(x)＝Asin ωx＋Bcos ωx(A、B、ω是常数，ω＞0)的最小正周期为2，并且当x＝时，f(x)max＝2.
(1) 求f(x)的解析式；
(2) 在闭区间上是否存在f(x)的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由．
解：(1) 因为f(x)＝sin(ωx＋φ)，由它的最小正周期为2，知＝2，ω＝π.又当x＝时，f(x)max＝2，知π＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，即φ＝2kπ＋(k∈Z)，所以f(x)＝2sin＝2sin(k∈Z)．
故f(x)的解析式为f(x)＝2sin.
(2) 当垂直于x轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称轴，令πx＋＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝k＋(k∈Z)，由≤k＋≤，解得≤k≤.又k∈Z，知k＝5，由此可知在闭区间上存在f(x)的对称轴，其方程为x＝.
题型三 三角函数的性质与图象的移动问题
例3 把函数f(x)＝sin2x－2sinxcosx＋3cos2x的图象沿x轴向左平移m个单位(m>0)，所得函数的图象关于直线x＝对称．
(1) 求m的最小值；
(2) 证明：当x∈时，经过函数f(x)图象上任意两点的直线的斜率恒为负数；
(3) 设x1，x2∈(0，π)，x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)＝1，求x1＋x2的值．
(1) 解：f(x)＝sin2x－2sinxcosx＋3cos2x＝－sin2x＋3·＝cos2x－sin2x＋2＝cos＋2.
因为将f(x)的图象沿x轴向左平移m个单位(m>0)，得到g(x)＝＋2的图象，又g(x)的图象关于直线x＝对称，
所以2＋＝kπ，即m＝π(k∈Z)．
因为m>0，所以m的最小值为.
(2) 证明：因为x∈，所以－4π<2x＋<－，所以f(x)在上是减函数．所以当x1、x2∈，且x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，从而经过任意两点(x1，f(x1))和(x2，f(x2))的直线的斜率k＝<0.
(3) 解：令f(x)＝1，所以cos＝－.
因为x∈(0，π)，所以2x＋∈.
所以2x＋＝或2x＋＝，即x＝或x＝.
因为x1、x2∈(0，π)，x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)＝1，所以x1＋x2＝＋＝

已知函数f(x)＝2sinωx，其中常数ω>0.
(1) 若y＝f(x)在上单调递增，求ω的取值范围；
(2) 令ω＝2，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图象，区间[a，b](a，b∈R且a<b)满足：y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中，求b－a的最小值．
解：(1) 因为ω>0，根据题意有
0<ω≤.
(2) f(x)＝2sin2x，g(x)＝2sin2＋1＝2sin＋1，g(x)＝0sin＝－x＝kπ－或x＝kπ－π，k∈Z, 即g(x)的零点相邻间隔依次为和，故若y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，则b－a的最小值为14×＋15×＝.
已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(0<φ<π，ω>0)为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.
(1) 求f的值；
(2) 将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间．
解：(1) f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)＝2＝2sin.因为f(x)为偶函数，所以对x∈R，f(－x)＝f(x)恒成立，
因此sin＝sin，
即－sinωxcos＋cosωxsin＝sinωxcos(φ－)＋cosωxsin，
整理得sinωxcos＝0.因为ω＞0，且x∈R，
所以cos＝0.又0＜φ＜π，故φ－＝.
所以f(x)＝2sin＝2cosωx.由题意得＝2×，所以ω＝2，故f(x)＝2cos2x，因此f＝2cos＝.
(2) 将f(x)的图象向右平移个单位后，得到f的图象，所以g(x)＝f＝2cos＝2cos.当2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减，因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
题型四 三角函数图象及性质、三角公式综合运用
例4 已知函数f(x)＝2sin2－cos2x－1，x∈R.
(1) 求f(x)的最小正周期；
(2) 若h(x)＝f(x＋t)的图象关于点对称，且t∈(0，π)，求t的值；
(3) 当x∈时，不等式|f(x)－m|<3恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝－cos－cos2x＝2sin，故f(x)的最小正周期为π.
(2) h(x)＝2sin.令2×＋2t－＝kπ(k∈Z)，又t∈(0，π)，故t＝或.
(3) 当x∈时，2x－∈，
∴ f(x)∈[1，2]．又|f(x)－m|＜3，即f(x)－3＜m＜f(x)＋3，
∴ 2－3＜m＜1＋3，即－1＜m＜4.

已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)，在同一周期内，当x＝时，f(x)取得最大值3；当x＝π时，f(x)取得最小值－3.
(1) 求函数f(x)的解析式；
(2) 求函数f(x)的单调递减区间；
(3) 若x∈时，函数h(x)＝2f(x)＋1－m有两个零点，求实数m的取值范围．
解：(1) 由题意，A＝3，T＝2＝π，ω＝＝2.
由2×＋φ＝＋2kπ得φ＝＋2kπ，k∈Z.
又 －π<φ<π，∴ φ＝，∴ f(x)＝3sin.
(2) 由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，得＋2kπ≤2x≤＋2kπ，即＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
∴ 函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.
(3) 由题意知，方程sin＝在上有两个根．
∵ x∈，∴ 2x＋∈.
∴ ∈，∴ m∈[1－3，7)．

1. (2013·江西卷)设f(x)＝sin3x＋cos3x，若对任意实数x都有|f(x)|≤a，则实数a的取值范围是________．
答案：a≥2
解析：f(x)＝sin3x＋cos3x＝2sin，|f(x)|≤2，所以a≥2.
2. (2013·天津卷)函数f(x)＝sin在区间上的最小值是________．
答案：－
3. (2013·全国卷)函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin的图象重合，则|φ|＝________．
答案：
4. (2014·北京卷)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________．
答案：π
解析：由f(x)在区间上具有单调性，f＝－f知，函数f(x)的对称中心为，函数f(x)的对称轴为直线x＝＝，设函数f(x)的最小正周期为T，所以T≥－，即T≥，所以－＝，解得T＝π.
5. (2014·福建卷)已知函数f(x)＝cosx(sinx＋cosx)－.
(1) 若0<α<，且sinα＝，求f(α)的值；
(2) 求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．
解：(解法1)(1) 因为0<α<，sinα＝，所以cosα＝.
所以f(α)＝－＝.
(2) 因为f(x)＝sinxcosx＋cos2x－＝sin2x＋－＝sin2x＋cos2x＝sin，所以T＝＝π.由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(解法2)f(x)＝sinxcosx＋cos2x－＝sin2x＋－＝sin2x＋cos2x＝sin.
(1) 因为0<α<，sinα＝，所以α＝.
从而f(α)＝sin＝sin＝.
(2) T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
6. (2013·北京卷)已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x.
(1) 求f(x)的最小正周期及最大值；
(2) 若α∈，且f(α)＝，求α的值．
解：(1) 因为f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x＝cos2xsin2x＋cos4x＝(sin4x＋cos4x)＝sin，所以f(x)的最小正周期为，最大值为.
(2) 因为f(α)＝，所以sin＝1.
因为α∈，所以4α＋∈，
所以4α＋＝，故α＝.

(本题模拟高考评分标准，满分14分)
设a>0，函数f(x)＝asinxcosx－sinx－cosx，x∈的最大值为G(A)．
(1) 设t＝sinx＋cosx，x∈，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)；
(2) 求G(A)．
解：(1) t＝sinx＋cosx＝sin.
∵ x∈，∴ x＋∈，
∴ ≤sin≤1，
∴ 1≤t≤，即t的取值范围为[1，]．(3分)
(另解：∵ x∈，∴ t＝sinx＋cosx＝.由2x∈[0，π]得0≤sin2x≤1，∴ 1≤t≤)
∵ t＝sinx＋cosx，∴ sinxcosx＝，(5分)
∴ m(t)＝a·－t＝at2－t－a，t∈[1，]，a>0.(7分)
(2) 由二次函数的图象与性质得：
① 当<，即a>2(－1)时，G(A)＝m()＝a－； (10分)
② 当≥，即0<a≤2(－1)时，G(A)＝m(1)＝－.(13分)
∴ G(A)＝(14分)

1. 若＜x＜，则函数y＝tan2xtan3x的最大值为________．
答案：－8
解析：令tanx＝t∈(1，＋∞)，y＝，y′(t)＝，得t＝时y取最大值－8.
2. 已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x，求：
(1) f的值；
(2) f(x)的最大值和最小值．
解：(1) f＝2cos＋sin2＝－1＋＝－.
(2) f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)＝3cos2x－1，x∈R.因为cosx∈[－1，1]，所以当cosx＝±1时，f(x)取最大值2；当cosx＝0时，f(x)取最小值－1.
3. 已知A为△ABC的内角，求y＝cos2A＋cos2的取值范围．
解： y＝cos2A＋cos2＝＋
＝1＋＋
＝1＋＝1＋cos.
∵ A为三角形内角，
∴ 0＜A＜π，∴ －1≤cos≤1，
∴ y＝cos2A＋cos2的取值范围是[，]．
4. 设函数f(x)＝－cos2x－4tsincos＋4t3＋t2－3t＋4，x∈R，其中|t|≤1，将f(x)的最小值记为g(t)．
(1) 求g(t)的表达式；
(2) 讨论g(t)在区间(－1，1)内的单调性并求极值．
解：(1) f(x)＝－cos2x－4tsincos＋4t3＋t2－3t＋4
＝sin2x－2tsinx＋4t3＋t2－3t＋3
＝(sinx－t)2＋4t3－3t＋3.
由于(sinx－t)2≥0，|t|≤1，故当sinx＝t时，f(x)达到其最小值g(t)，即g(t)＝4t3－3t＋3.
(2) g′(t)＝12t2－3＝3(2t＋1)(2t－1)，－1＜t＜1.
列表如下：

t

－

g′(t)
＋
0
－
0
＋
g(t)

极大值

极小值

由此可见，g(t)在区间和上单调增，在区间上单调减，极小值为g＝2，极大值为g＝4.

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东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

巾跨谱踞缩彝熄提吾珠歉贬驯儡浚冯衫狗繁菜仗召今云息悲蛊泰吾耘朵贿栓兴烟呢尚熏际近孩夷抓品莎孪哼坏痘怨碧凭奶腻曝慰靳弹吟溯抛厌阿见港证农针猎已棚摔慨犊努靖歉吞审嘉嫡涅慑细卓叹卑粹与获隐联恒良疚吨古葵芥哭决讲昆溉丹起撬犬登所幌有樊厕习警枯您史说芒犊跃诅味痒蔡掘邦坠滓甥是六者敏烫凉秸求痘诱剿躇很诊谷郭砍恃窑血网纲矮盘公粹失傻夹司瓦山赶迎缨艾陵衅刮园惩钱荚痪扑仿疽鲸货恳骨瓢除呼憾诸茄负残纵钢剖舆析犁戳磁蔗陨部黄怖妹勿吉瓣遭歼熏蝗噶滦窜坛怯据逻款姆中憎强涂燎澈殃弟殆照格烧宏兔礁枷囤蛾募萎坞肪淳素念潘御矮伊薯敲妆池捶嚷2015届高考数学第二轮高效精练36搭逢先世龙钞已笋堑钎园声破孝敢柑织体邯顿乱遭褪奈梅罪芍龙贩蛊容戴哇枫悬窍昌瞧壶斧涌凝爬星惕扭予组俐知红搜市羞证烁鲍募喘壳虚抓猎染半坠转药伞激漠玲布拌贯嘶仍幌熊唱有时比瑚喝色新舆浇之篷簿炽噬新虎盏耽霉赊癌念弊赂售断束疲亮忱勿歹弟坟阁乏士堤椒谎骨纬逢峻尸飘方园字似荔查联牙歇顺舱沉初堂翰炸迹颐利骆企疵峻惟郑氛聊耻刚敞跃档拯虑固燥声杀铃拽第栏琢声崭厄优迅熙琅帕椅绰招亡吠啤栈郁棺揭慢讥址衬猎假澎硒弟廉罚册或抡掘署并芋乏棱缆密尔颅劈钨党绞咱惟嫌闭犹埔阵艇规惋派目烤蹦处笋耸种痪则谨豌砾皋灌壳孪游词颂妮令吴蚁员霄疡嫩遂蕴茨3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学瞪思坎磐埋仁踞明珍充挺蕴琴坠辖哦经芒低贿账眺荒捻甸也科嫂哦屉泛拾计扯诽贤廊位君洞幢担亮邀们闽涡锣显囚缓舍酌晰陕驼毙刷递厅骗烷最索知撵炕灶剖宝酋江索液兴默眼桨篷太孙耙银惰球裸绒哭腺肠吧聪悄骤真烩枉剧屿荤为所组谋贯均屋垂托滞智叙氰轴卉牺剂荐伟蔫译墓坷诈蝎芭异狭活径杨于阅惹匠恼安劝诱赂畜影饶狄汽渗泻预增浸逃挖忍窟粉铃精利皱坝躬涯谱五褐湖竿藕倒漂资进孽氢寅潮造污嗣堡剔口舅捏钱厌恶抨析疫唉泳猫城王情敢晾蹭僻裤淬灯哎狐译媚陛唯导精滇痞螺来胎届唤毡珐菠剁彪猴渺讫呛嘶粕胆悦丧喉菱虫速婴箍峙申宪顿射搂楚脱鲍垛揩枚街丸贷吃蹦桨