马尔可夫链理论与灰色GM%281%2C1%29组合模型预测地表变形.pdf

第25卷第1期2023年3月测绘技术装备Geo ma tic s Tec h n o l o gy a n d Eq u ipmen tVo e.25 No.1Ma e.2023马尔可夫链理论与灰色GM(1 1)组合 模型预测地表变形张西步，栾洲，王义昌(山东科技大学测绘与空间信息学院，山东青岛266000)摘要摘要：为了提高矿产开采过程中地表沉降变形的预测精度，本文结合灰色理论和马尔可夫链理 论,建立了一种组合预测模型。首先，以GM(1,1)预测模型为基础，采用马尔可夫链理论和残差修 正进行优化，结合工程验证，证明了组合模型精度可显著提高地表沉降变形预测精度；其次,将组合 模型应用于实际矿产生产的变形监测中，通过工程实例分析，组合模型预测值的平均相对误差仅为 3.26%，且模型精度达到1级。试验结果表明，组合模型的预测值与实际值的误差较传统的灰色预 测模型有明显减小，结果更接近于实际情况，证明了本文模型在矿区沉降分析与预测中的合理性#关键词关键词：GM(1，1)模型；马尔可夫链理论;组合模型；残差修正；沉降预测中图分类号中图分类号:TD325.2DOI：10.20006/j.c n k i.61-1363/P.2023.01.008PrePic t ion of surfac e deformat ion by Mark ov c hain t heory and grey GM(1,1)c ombiner modelZHANG Xibu,LUAN Zh ou,WANG Yic h ang(Sh a n d o n g Un iv er sity o f Sc ien c e a n d Tec h n o l o gy,Co l l eye o f Geo d esy a n d Geo ma tic s,Qin gd a o,Sh a n d o n g 266000,Ch in a)Abst rac t：In o Cer to impr o v e th e pr ed ic tio n a c c u c c y o f su r fa c e su bsd en c e d efo r ma tio n in th e pr o c ess o f min in g,a c o mbin ed pr ed ic tio n mo d el is esta bl ish ed by c o mbin in g gc y th er e a n d Ma r k o v c h a in th eo r e.FDstl y,th e Ma r k o v c h a in th eo r e a n d r esid u a l c o fec tio n wer e a d o pted Oo o ptimiza tio n a n d c o mbin ed with en gin eer in g v er ific a tio n ba sed o n GM(1,1)pr ed ic tio n mo d el,it wa s pr o v ed th a t th e a c c u c c y ol c o mbin ed mo d el c a n sien ific a n tl y impr o v e th e pr ed ic tio n a c c u r a c y o f su r fa c e su bsid en c e d efo r ma tio n.Sec o n d l y,th e c o mbin ed mo d el wa s u sed in th e d efo r ma tio n mo n ito r in g o f a c tu a l min in g pr o d u c tio n.Bya n a l yzin g th e en gin eer in g ex a mpl es,th e a v er a ge r el a tiv e er r o c o f th e pr ed ic ted v el u v o f th e c o mbin ed mo d el is o n l y 3.26%,a n d th e mo d el a c c u r a c y r ea c h es l ev el 1.Th e test r esu l ts sh o w th a t th e efOT between th e pr ed ic ted v el u v a n d th e a c tu a l v el u v o f th e c o mbin ed mo d el is sign iDc a n tl y r ed u c ed c o mpa r ed with th a t o f th e tr a d itio n a l gr ey pr ed ic tio n mo d el,a n d th e r esu l ts a r e mo r e c o n sisten t to th e a c tu a l situ a tio n,wh ic h pr o v es th e r a tio n a l ity o f th e pr o po sed mo d el in su bsid en c e a n a l ysis a n d pc d ic tio n in mo n o n ga eea.Keywords:GM(1,1)mo d el;Ma r k o v c h a in th eo c&c o mbin ed mo d el;r esid u a l c efec tio n；su bsid en c e peed o c io o n收稿日期收稿日期：2022-03-07基金项目基金项目：山东省自然科学基金面上项目（编号:ZR2020MD024）%第一作者简介第一作者简介:张西步,硕士研究生,研究方向为精密工程与工业测量%42测绘技术装备第25卷1引言近年来,我国工业化的高速发展,对各种矿产资 源的消耗日益增多，矿产资源的开挖引起上覆岩层 与地表的移动与变形，影响地表建筑物和人民的生 命财产安全，因此，沉降变形监测13是矿产开采过 程中的必需环节。通过在开采工作面地表布设沿走向和倾向的沉 降观测点，实时监测地表沉降情况,可及时、有效地 发现矿产开采过程中的问题。为保证矿产资源开采 过程中的安全，中外学者对沉降预测方法进行了研 究，目前常用的有双曲线法、Asa o k a法、神经网 络法6_8,灰色理论法9_10等。其中，灰色理论法 只需较少的数据样本即可对沉降进行有效的预测，在沉降变形预测中得到了较为广泛的应用。容静 等(11)引入卡尔曼滤波，以消除变形监测数据的随机 扰动误差，将灰色理论与时间序列分析法相结合构 建非线性组合模型。试验结果表明，基于卡尔曼滤 波的GM(1，1)-AR组合模型具有较高的精度及稳 定性。石晓宇等12将D-In s a r技术和灰色理论相 结合，建立了改进GM(1，1)的补偿最小二乘法估计 半参数模型，实现了沉降值的拟合与预计。陈鹏 宇13将幕函数变换与GM(1，1)模型相结合，建立 了无偏GM(1，1)幕模型和非等间隔无偏GM(1，1)幕模型通过实例分析显示，两种方法拟合效果相当，均 可用于沉降预测。为了进一步提高预测精度，本文 将灰色理论模型和马尔可夫链理论1415相结合，建 立马尔可夫链理论与灰色GM(1，1)的组合预测模 型，并以山东某地铁矿地表沉降数据为实例进行实 验验证2 GM(1,1)预测模型GM(1，1)测 是 理 中应用广泛的一种，主要用于解决不等间距时间序列、小样 本的问题，其基本思想是首先对原始数据进行依次 累加，然后采用累加后的数据进行建模计算,最后将 计算值累减后得到预测值。把非等时的原始数据记为X(0)=/X(0)(1)，X(0)(2)，X(0)(n)1，n为数列的长度，依次累加被输入 的原始数据X(0)，得到的新数列如式所示:X=X(1)，X(2)，X(1)(n)1(1)式中：X(V)=X(0)(V=1，2,3，n)%i=1GM(1,1)的微分方程利用新数列构建，白化微分方 程 式(2)所:d t+o X(2)式中：X(1)为依次累加生成数,t为时间序列，屮为 待定参数。在得到系数矩阵B和常数项Y后，微分方程的 待定系数、“就可以被解算出来-+K+K(2)-K(0)2Y_ k(0)(3)b_-；K(3)+k(1)(4)微分方程系数可以利用小二乘法求解，则 式(3)：_(BtB)-1(BtY)(3)将、“带入微分方程中，得到式(4)：X(1)(V+1)=(X T)y-(4)将式(4)计算得到的结果累减，即可求得 GM(1,1)预测模型的预测值，如式(5)所示：X(0)(V+1)=(1-o)(X(0)(1)-()o-(5)a3 马尔可夫链理论与灰色GM(1,1)组合模型以传统GM(1,1)模型预测值与真实值的相对 误差建立残差数列，先对残差数列进行正值化处理)(0)(V _ e(0)(V0)|,然后进行累加,将累加后生 成的数据序列创建灰色模型，得到残差GM(1,1)预 测模型，其时间响应式如式(6)所示:$(1)(V)(6)$1将式(6)的结果累减 求 残第1期张西步，等:马尔可夫链理论与灰色GM(1,1)组合模型预测地表变形43GM(1,1)预测模型的预测值，如式(7)所示:S(0)(V+1)=(1-e)($(0)(1)-生)e-$(7)在计算建立残差数列$(0)(V)的GM(1,1)模型 时使用的是正值化后的残差数值，而最终预测值需 确定残差预测值的正负，如式(8)所示:-(0)(V)+x$(0)(V)(8)残差GM(1,1)模型建立时将残差进行了正值 化处理，预测结果只是残差的数值大小。当t n 时,将无法确定残差预测值的正负，预测仍存在一定 的误差。马尔可夫链理论的原理是状态空间中从一 个状态到另一个状态变化的随机过程，因此，可以使 用马尔可夫链理论来确定残差的正负变化。在对矿 区地表沉降变形进行预测分析时，将残差预测值的 正负变化看作一个随机过程，通过马尔可夫链来确 定当t n时的相对误差的正负，因此，可以建立马 尔可夫链理论与灰色GM(1，1)组合模型来提高预 测精度。若第t时刻残差值为正数,则记为S1；若为负 数,则记为S2。根据相对误差序列与状态空间关 系，确定状态转移概率矩阵P如式(9)所示:P1112-P1Dp 一F1P22 P2d!9)-pn1Pn2-八 Pmn式中:P%为由状态S转移到状态=的概率，其计算 公式如式(10)所示:NP%R N(10)式中：N为状态S出现的次数，N为状态S%转移到 状态=的次数。状态转移概率矩阵p表示的是系统中各状态 转移到下一状态的概率。假设初始状态向量为#,则在经过n步转移后的状态向量S”如式(11)所:s”=s。p(11)根据状态向量S”中元素的大小即可确定n步转移后相对误差符号最有可能处于的状态区间，如 式(12)所示：!n)厂!12)综上所述，马尔可夫优化残差GM(1,1)模型的 测值 式!13)所:?0)(V)R J(0)(V)+0-(V)x$(0)(V)(13)4工程实例分析为了验证马尔可夫链理论与灰色GM(1,1)组合 模型精度，对工作面地表沉降观测数据进行模拟预 测，并对不同模型的预测效果进行对比分析。该工作 面地表布设走向两条、彳顷向5条观测方向线及辅助线 3条,共埋设了 240个测点。采用倾向观测线中F14 点2020年1月一2020年12月的观测数据，累计 12期数据，将前1 8期数据作为模型的拟合数据,912期数据作为预测检验数据，以此建立传统 GM(1,1)模型、残差修正GM(1,1)模型和马尔可夫 优化残差GM(1,1)模型，并对工作面地表周边建筑 物沉降变形进行预测分析。观测数据如表1所示%表表1 F14点沉降观测数据点沉降观测数据Tab.1 Subsidenc e observat ion dat a of point F14期数时间累计沉降/mm12020-01-011922020-02-213732020-03-194342020-04-175252020-05-196562020-06-207672020-07-208182020-08-158792020-09-1492102020-10-0996112020-11-2397122020-12-2199利用式(1)(5)对实测数据序列进行预测，得 到模型参数-0.0814一 45.2168,代入式(4)得到传统GM(1,1)模型方法预测计算公式，如式44测绘技术装备第25卷(14)所示：X(V+1)=574.488 9o0-0814V+555.488 9(14)由此可确定残差GM(1,1)模型预测相对误差 所处的状态区间。根据表2中各状态间的转换关 系，确定状态转移矩阵。根据表2中状态区间的 分布情况确定各状态出现的次数及各状态间转移的 次数，如表3所示根据模型定义可知，模型预测的第一个数值为 真实值，不计入状态区间。表2残差GM(1,1)模型预测值与实测值对比Tab.2 Residual GM(1,1)modeS c omparison of preeic t ee and measure val ues序号 实测值/mm残差GM模型预测值/mm状态区间1 1919.002 3740.03=23 4344.55=24 5249.39=15 6569.80=26 7674.74=17 8180.15=18 8786.05=1Tab.表3状态转移结果统计Seaeneenc eofeeaeueeraneferreeul ee状态=1=2合计=1213213合计426根据 3 的 结果,用式(12)各状转移概率，确定状态转移矩阵如式(15)所示:=-2 1-T T2 1-T T-(15)根据马尔可夫链理论，第n步的状态概率向量 可根据式(13)进行计算。由于第8期数据时处于 S1状态,因此确定初始状态概率向量S。如式(16)所：S=l 0 (16)将初始状态向量代入式(13)中，可计算得到一 步转移后的状态概率向量S1，如式(17)所示:S1=S0 =T+(17)由此可以得出，第9期模型预测的相对误差最 大，可能处于S1状态，此时采用式(15)对预测结果 进行修正。采用马尔可夫链理论对残差GM(1,1)模型预 测结果进行优化时，只需根据上述步骤对残差 GM(1,1)模型预测的相对误差不断进行修正即可。精度检验等级如表4所示，各模型预测结果对比如 表5所示,预测曲线如图1所示%表4精度检验等级Tab.4 Ac c urac y t est grades模型精度(等级)小误差概率P后验差比C1级(好)P$0.95C#0.352级(合格)0.80#P0.950.35 C#0.503级(勉强)0.70#P0.800.50C#0.654 级(格)P 0.65表5模型预测结果对比Tab.5 Comparison of model preeic t ed ksuUs期数实测值/mmGM(1,1)模型组合模型预测值/mm相对误差/%预测值/mm对误差/%11919.00019.00023748.7234.6840.038.2034352.8522.9244.553.6045257.3410.2649.39-5.0156562.20-4.3169.807.3867667.48-11.2174.74-1.6678173.20-9.6380.15-1.0588779.41-8.7286.05-1.0999286.15-6.3692.500.54109693.48-2.6599.533.681197101.34.5295.58-1.471299109.9911.10104.435.49值10.533.26第1期张西步,等:马尔可夫链理论与灰色GM(1,1)组合模型预测地表变形45从表5可以看出，在对监测点F14的沉降变形 进行预测时，传统GM(1,1)模型预测的平均相对误 差为10.53%，而组合模型的平均相对误差仅为 3.26%，且组合模型预测结果的小误差概率P=1,后验差比C=0.10,模型精度达到1级，与传统 GM(1,1),理GM(1,1)组合模型的预测值与实测值最为接近,证Fig.1 Subsidenc e prepic t ion resul t s of point F144结束语本文以山东某地铁矿沉降监测数据为例,研究 和建立了马尔可夫链理论与灰色GM(1,1)组合模 型，并运用后验差比、小概率误差和平均相对误差对 预测结果进行了精度分析,得出以下结论：1)为了对矿产开采过程中地表沉降变形进行 预测，基于灰色理论建立了灰色GM(1,1)模型并进 行模拟预测。试验结果证明，灰色GM(1,1)模型可 以应用于矿区地表沉降变形预测。2)采用马尔可夫链理论和残差修正,根据残差 预测值的正负变化,确定状态区间并确立状态转移 概率矩阵,对灰色GM(1,1)模型进行优化并建立了 组合模型。3)通过工程实例对组合模型的预测值进行对 比分析。结果表明，组合模型预测值的精度明显提 高，且预测值误差最小，平均相对误差仅为3.26%,模型精度达到1级。试验说明，马尔可夫链理论与 灰色GM(1,1)组合模型提高预测精度是可行的，并 能在矿区的实际生产中进行应用。参考文献:1 王军保，刘新荣，李鹏，等 MMF模型在采空区地表沉降 预测中的应用J煤炭学报,2012,37(3)：411-415.(2王宁，吴侃，刘锦,等.基于Bo l tzma n n函数的开采沉陷 预测模型:J 煤炭学报,2013,38(8)：1352-1356.:3 张兵，崔希民,胡青峰开采沉陷动态预计的正态分布 时间函数模型研究】J)煤炭科学技术,2016,44(4)：140-145.:4 王海英，常肖，阮祺，等基于三点修正双曲线法的建 筑垃圾填筑路基沉降预测(J.长安大学学报(自然科 学版)，2017(2)：1-8.:5 潘翔地基沉降预测的两种灰色模型与Asc k y法(J.地下空间与工程学报,2013,9(6)：1443-1448.:6王培宇，曹日红,闫放，等基于修正优化综合预测模 型的软土地基沉降研究:J 建筑科学,2021,37(1)：30-35.:7 施龙青，曲兴明,韩进，等多模型融合评价煤层底板 灰岩岩溶突水危险性(J煤炭学报,2019,44(8)：2484-2493.:8 潘红宇,赵云红，张卫东,等基于Ad a bo o st的改进BP 神经网络地表沉陷预测:J 煤炭科学技术,2019,47(2)：161-167.:9邓聚龙灰色理论基础M 武汉:华中科技大学岀版 社,2002.:10李小刚，张廷会.GM(1,1)灰色预测模型在道路软基 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