高等数学章节练习题及答案第五章.doc

高等数学章节练习题及答案第五章

1．指出下列点在空间直角坐标系的位置．
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6） ；
（7） ； （8） ．
解 （1）点在轴的正半轴上； （2）点在坐标面上；
（3）点在轴的负半轴上； （4）点在轴的正半轴上；
（5）点在第六卦限内； （6）点在第四卦限内；
（7）点在第五卦限内； （8）点在第七卦限内．

2．已知点。
（1）求出点在轴上的投影点坐标及点到轴的距离；
解 点在轴上的投影点坐标为，
点到轴的距离为 ；

（2）求点在坐标面上的投影点的坐标及点到坐标面的距离；
解 点在坐标面上的投影点的坐标为，
点到坐标面的距离为 ；

（3）求点到坐标原点的距离及点到点的距离．
解 点到坐标原点的距离为 ，
点到点的距离为 ．

3．已知，，求线段的中点的坐标．
解 段的中点的坐标为．

4．求空间内两个点与之间的距离.
解 .

5. 求空间内的点分别关于坐标平面、坐标平面、坐标平面对称的点的坐标，并且指出这些点分别在哪一个卦限.
解 点分别关于坐标平面对称的点的坐标为 ，在第二卦限；
点分别关于坐标平面对称的点的坐标为 ，在第七卦限；
点分别关于坐标平面对称的点的坐标为 ，在第六卦限．

1.填空题
（1）向量是 的量；
解 向量是具有大小和方向的量。
（2）表示起点为 ，终点为 的有向线段；
解 表示起点为，终点为的有向线段。
（3）已知点、，则
的坐标为 ，的坐标为 ；
解 的坐标为，的坐标为。
（4）向量的模 ，单位向量 ，其方向余弦 ， ， 。
解 ，
，
，，.

2.在下列三组数中，哪一组的三个数可以作为一个向量的方向余弦？
（1）； （2）； （3）.
解 第一组，因为.

3．设力的大小为，其方向角，，，求力在各坐标轴的投影．
解 ，，．

4．已知空间两点与，求向量的坐标、模、方向余弦及单位向量e.
解 ，，
，，，
.

1． 判断题
（1）；（ ）
（2）；（ ）
（3）；（ ）
（4）；（ ）
（5）若，则；（ ）
（6）若，，且，则；（ ）
（7）设为向量的三个方向角，则．（ ）
解 （1）（2）（6）错误，（3）（4）（5）（7）正确．

2．设点，，求
（1）； （2）；
（3）； （4）
解 ，，所以
（1）； （2）；
（3）；
（4）.

3．设向量，，，求
（1）； （2）；
（3）； （4）．
（5）．
解 （1）；（2）；
（3）；
（4）；
（5）e．

1． 判断题
（1）；（ ）
（2）若，则或；（ ）
（3）若，且，则；（ ）
（4）若，则必有；（ ）
（5）若，则必有；（ ）
（6）；（ ）
（7）若，且，则；（ ）
（8）；（ ）
（9）若，则；（ ）
解 （1）（2）（3）（4）（5）（6）错误，（7）（8）（9）正确．

2．设，，，求
（1）； （2）； （3）； （4）； （5）．
解 （1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．

3．已知三个顶点坐标分别为、、，求
（1）； （2）； （3）； （4）的面积；
（5）以、为邻边的平行四边形的面积．

解 （1）， ，， ；
（2）；
（3）
；
（4）；
（5）以、为邻边的平行四边形的面积为．

1．求满足下列条件的平面方程：
（1）过点，垂直于向量的平面；
解 （1），即 ；
（2）过点，① 与轴垂直的平面；
② 与轴垂直的平面；
③ 与轴垂直的平面。
解 ① 取 ，则平面方程为 ，即 ；
② 取 ，则平面方程为 ，即 ；
③ 取 ，则平面方程为 ，即 .

2．求满足下列条件的平面方程：
（1）过原点且与向量垂直的平面；
解 （1），即 ；
（2）过原点并与过两点、的向量垂直的平面；
解 取 ，则平面方程为，
即 。
（3）过原点且与平面平行的平面．
解 取 ，则平面方程为，
即 .

1．说出下列平面的特征
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）
解 （1）过原点； （2）平行于轴； （3）过轴；
（4）平行于坐标面； （5）平面； （6）平行于轴．

2．填空题
（1）点到平面的距离为 ；
（2）若平面与平面垂直，则 ________ ；
（3）平面与三个坐标平面围成的空间立体的体积为 ________ ．
解 （1）；
（2）由 ，有 ，所以 ；
（3）原方程可化为 ，于是 （立方单位）．

3．求（1）过点及轴的平面；
解 设所求平面为 ，因为过点，
，即 ，于是所求平面为 ，即 ；

（2）过点且平行于平面的平面；
解 设所求平面为 ，因为过点，
所以 ，即 ，于是所求平面为 ；

（3）过点、和的平面；
解 设所求平面为 ，则有
，于是所求平面为 ；

（4）过点和，并与轴平行的平面；
解 取 ，
于是所求平面为 ．

（5）过点，且在轴上的截距相等的平面．
解 设所求平面为 ，因为过点，
所以 ，即 ，于是所求平面为 ．

1．填空题
（1）过点，与向量平行的直线方程为 ；
（2）若直线与平面垂直，则 ， ；
（3）若直线与平面平行，则 ；
（4）直线的一个方向向量为 ；
解 （1）所求直线方程为 ；
（2），，因为直线垂直于平面，所以，
于是有 ，故 ，；
（3），，因为直线平行于平面，所以，
于是有 ，故 ；
（4），，则
．

2．求满足下列条件的直线的方程：
（1）过点和的直线；
（2）过点并与平面垂直的直线；
（3）过点且与直线平行的直线；
（4）过点且与直线（为参数）平行的直线；
（5）过点且同时平行于两平面与的直线．
解 （1）取，则所求直线方程为 ；
（2）取，则所求直线方程为 ；
（3）取，则所求直线方程为 ；
（4）取， ；
（5），，取
，
故则所求直线方程为 ．

1．判别下列各对直线的位置关系：
（1）与；
（2）与；
（3）与．
解 （1），，
因为 ，所以 ；
（2）可化为 ，则 ，，
因为 ，所以 ；
（3），，
因为与既不平行也不垂直，但与过同一点，
所以与相交但不垂直。

2．判别直线与下列平面的位置关系：
（1）；
（2）．
解 （1），，
因为 ，即，所以；
（2），，
因为 ，所以．

1．求下列各对直线的夹角：
（1）与；
解 ，，因为
，
所以两条直线的夹角为 ．
（2）与．
解 ，，因为
，
所以两条直线的夹角为 ．

* 2．求直线与平面的夹角及交点。
解 ，，因为
，
所以该直线与该平面的夹角为 ；
设 ，即 代入平面方程，得
，
解得 ；
故交点为。

1．填空题
（1）球面的球心坐标为： ，
半径______；
（2）抛物柱面的准线方程为： ，母线平行于____轴；
（3）准线为母线平行于轴的柱面方程为_________________，
准线为母线平行于轴的柱面方程为_________________ ；
（4）旋转曲面是由曲线 或曲线 ，绕 轴旋转所得，此曲面称为 ；
（5）旋转曲面是由曲线 或曲线 ，绕 轴旋转所得，此曲面称为 ．
解 （1）原方程可化为 ，
所以该球面的球心坐标为，半径为；
（2）抛物柱面的准线方程为：，母线平行于轴；
（3）准线为母线平行于轴的柱面方程为：，
准线为母线平行于轴的柱面方程为：；
（4）旋转曲面是由曲线 或曲线 ，绕轴旋转所得，此曲面称为“单叶旋转双曲面”；
（5）旋转曲面是由曲线或曲线，绕轴旋转所得，此曲面称为“双叶旋转双曲面”．

2．说出下列方程表示的曲面名称，如果是柱面，请说明它们的特征；如果是旋转曲面，请说明它们是如何形成的．
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）；
（7）； （8）．
解 （1）曲面是平行于轴的圆柱面；
（2）曲面是平行于轴的抛物柱面；
（3）曲面是平行于轴的双曲柱面；
（4）曲面是椭球面；
（5）曲面是旋转抛物面，是由曲线或绕轴旋转而成；
（6）曲面是旋转双曲面（单叶），是由曲线或绕轴旋转而成；
（7）曲面是旋转椭球面，是由曲线或绕轴旋转而成；
（8）曲面是旋转双曲面（双叶），是由曲线或绕轴旋转而成．

1．填空题
（1）球面被平面截得的交线方程为___________________；
（2）椭球面，① 被平面截得的交线方程为___________________， ② 被平面截得的交线方程为_____________________， ③ 被平面截得的交线方程为___________________．
解 （1）球面被平面截得的交线方程为或；
（2） 椭球面，① 被平面截得的交线方程为，或 ；② 被平面截得的交线方程为，或；③ 被平面截得的交线方程为，或．

2．说明下列的方程组各表示什么曲线．
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）．
解 （1）该方程组表示平面上的双曲线 ，也是双曲抛物面与平面的交线；
（2）该方程组表示坐标面上的椭圆 ；
（3）该方程组表示平面上的圆 ；
（4）该方程组表示平面上的椭圆 ；
（5）该方程组表示平面上的双曲线 ．

3．化下列参数方程为普通方程．
（1）（为参数）； （2）（为参数）．
解 （1）原方程可化为 ，故为所求；
（3） 原方程可化为 ，故为所求．

4．求面上的椭圆分别绕轴和绕轴旋转所形成的曲面方程．
解 绕轴旋转一周，所得旋转面的方程为；
绕轴旋转一周，所得旋转面的方程为．