概率论与数理统计复习提纲.doc

第一章 随机事件及其概率
一、随机事件及其运算
1. 样本空间、随机事件
①样本点：随机试验的每一个可能结果，用表示；
②样本空间：样本点的全集，用表示；
注：样本空间不唯一.
③随机事件：样本点的某个集合或样本空间的某个子集，用A,B,C,…表示；
④必然事件就等于样本空间；不可能事件是不包含任何样本点的空集；
⑤基本事件就是仅包含单个样本点的子集。
2. 事件的四种关系
①包含关系：，事件A发生必有事件B发生；
②等价关系：， 事件A发生必有事件B发生，且事件B发生必有事件A 发生；
③互不相容（互斥）： ，事件A与事件B一定不会同时发生。
④对立关系（互逆）：，事件发生事件A 必不发生，反之也成立； 互逆满足
注：互不相容和对立的关系（对立事件一定是互不相容事件，但互不相容事件不一定是对立事件。）
3. 事件的三大运算
①事件的并：，事件A与事件B至少有一个发生。若，则；
②事件的交：，事件A与事件B都发生；
③事件的差：，事件A发生且事件B不发生。
4. 事件的运算规律
①交换律：
②结合律：
③分配律：
④德摩根（De Morgan）定律： 对于n个事件，有
二、随机事件的概率定义和性质
1．公理化定义：设试验的样本空间为，对于任一随机事件
都有确定的实值P(A)，满足下列性质：
(1) 非负性： (2) 规范性：
(3)有限可加性(概率加法公式)：对于k个互不相容事件，有.
则称P(A)为随机事件A的概率.
2．概率的性质

① ②
③若，则
④

注：性质的逆命题不一定成立的. 如若则。（×） 若，则。（×）
三、 古典概型的概率计算
古典概型：若随机试验满足两个条件：① 只有有限个样本点,
② 每个样本点发生的概率相同，则称该概率模型为古典概型,。
典型例题：设一批产品共N件，其中有M件次品，从这批产品中随机抽取n件样品，则
(1)在放回抽样的方式下, 取出的n件样品中恰好有m件次品（不妨设事件A1）的概率为

(2)在不放回抽样的方式下, 取出的n件样品中恰好有m件次品（不妨设事件A2）的概率为

四、条件概率及其三大公式
1.条件概率：
2.乘法公式：
3.全概率公式：若，则。
4.贝叶斯公式：若事件如全概率公式所述，且 .
五、事件的独立 1. 定义：.
推广：若相互独立，
2. 在四对事件中，只要有一对独立，则其余三对也独立。
3. 三个事件A, B, C两两独立：

注：n个事件的两两独立与相互独立的区别。（相互独立两两独立，反之不成立。）
4.伯努利概型：

1.事件的对立与互不相容是等价的。（X）
2.若 则。（X）
3.。 (X)
4.A,B,C三个事件恰有一个发生可表示为。(∨)
5. n个事件若满足，则n个事件相互独立。(X)
6. 当时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。（∨）
第二章 随机变量及其分布
一、随机变量的定义：设样本空间为，变量为定义在上的单值实值函数，则称为随机变量，通常用大写英文字母，用小写英文字母表示其取值。
二、分布函数及其性质
1. 定义：设随机变量，对于任意实数，函数称为随机变量的概率分布函数，简称分布函数。 注：当时，
(1)X是离散随机变量，并有概率函数则有
(2) X连续随机变量，并有概率密度f (x)，则.
2. 分布函数性质：
（1 F(x)是单调非减函数，即对于任意x1 <x2，有；
（2 ；且；
（3离散随机变量X，F (x)是右连续函数, 即；连续随机变量X，F(x)在（-∞，+∞）上处处连续。
注：一个函数若满足上述3个条件，则它必是某个随机变量的分布函数。
三、离散随机变量及其分布
1. 定义. 设随机变量X只能取得有限个数值，或可列无穷多个数值且，则称X为离散随机变量, pi (i=1,2,…)为X的概率分布，或概率函数 (分布律).
注：概率函数pi的性质:
2. 几种常见的离散随机变量的分布：

（1）超几何分布，X~H(N,M,n)，
（2）二项分布，X~B(n.,p)，
当n=1时称X服从参数为p的两点分布（或0－1分布）。
若Xi(i=1,2,…,n)服从同一两点分布且独立，则服从二项分布。
（3）泊松(Poisson)分布，，
四、连续随机变量及其分布
1.定义.若随机变量X的取值范围是某个实数区间I，且存在非负函数f(x)，使得对于任意区间，有
则称X为连续随机变量; 函数f (x)称为连续随机变量X的概率密度函数，简称概率密度。
注1：连续随机变量X任取某一确定值的概率等于0, 即
注2：
2. 概率密度f (x)的性质：性质1： 性质2：
注1：一个函数若满足上述2个条件，则它必是某个随机变量的概率密度函数。
注2：当时，
且在f(x)的连续点x处，有
3.几种常见的连续随机变量的分布：
(1) 均匀分布 ，

(2) 指数分布,
(3) 正态分布 ，
1. 概率函数与密度函数是同一个概念。（ X ）
2.当N充分大时，超几何分布H (n, M, N)可近似成泊松分布。( X )
3.设X是随机变量，有。( X )
4.若的密度函数为=，则 ( X )

第三章 随机变量的数字特征
一、期望（或均值）
1．定义：
2．期望的性质：
3. 随机变量函数的数学期望

4. 计算数学期望的方法
(1) 利用数学期望的定义； (2) 利用数学期望的性质；
常见的基本方法：
将一个比较复杂的随机变量X 拆成有限多个比较简单的随机变量Xi之和,再利用期望性质求得X的期望.
(3)利用常见分布的期望；
1．方差
注：D(X)=E[X-E(X)]2≥0；它反映了随机变量X取值分散的程度,如果D(X)值越大(小)，表示X取值越分散(集中)。
2．方差的性质

(4) 对于任意实数C∈R，有 E ( X-C )2≥D( X )
当且仅当C = E(X)时, E ( X-C )2取得最小值D(X).
(5) (切比雪夫不等式): 设X的数学期望 E(X) 与方差D(X) 存在,对于任意的正数有
或
3. 计算
(1) 利用方差定义；(2) 常用计算公式(3) 方差的性质；(4) 常见分布的方差.
注：常见分布的期望与方差
1. 若X～B(n, p), 则 E(X)=np, D(X) = npq; 2. 若

3. 若X～U(a, b), 则 4. 若
5. 若
三、原点矩与中心矩
（总体）X的k阶原点矩： （总体）X的k阶中心矩：
1.只要是随机变量，都能计算期望和方差。( X )
2.期望反映的是随机变量取值的中心位置，方差反映的是随机变量取值的分散程度。(√)
3.方差越小，随机变量取值越分散，方差越大越集中。( X )
4.方差的实质是随机变量函数的期望。(√)
5.对于任意的X,Y，都有成立。( X )
第四章 正态分布
一、正态分布的定义
1. 正态分布
⑴概率密度为其分布函数为
注：.
正态密度函数的几何特性：

2. 标准正态分布
当时，其密度函数为且其分布函数为
的性质：

3.正态分布与标准正态分布的关系
定理：若 则.
定理：设则

二、正态分布的数字特征
设 则1. 期望E(X)
2.方差D(X)
3.标准差
三、正态分布的性质
1．线性性. 设则；
2．可加性. 设且X和Y相互独立，则
3．线性组合性 设，且相互独立，则
四、中心极限定理
1.独立同分布的中心极限定理
设随机变量相互独立，服从相同的分布，且
则对于任何实数x，有

定理解释：若满足上述条件，有
（1）；；
（3）
2. 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理
设则

定理解释：若当n充分大时，有
（1）； （2）

1.若则（ X ）
2.若则 （ √ ）
3. 设随机变量X与Y均服从正态分布：

4.已知连续随机变量X的概率密度函数为 则X的数学期望为__1____; X的方差为__1/2____.
第五章 数理统计的基本知识
一、总体 个体 样本
1.总体：把研究对象的全体称为总体 (或母体).它是一个随机变量，记X.
2.个体：总体中每个研究对象称为个体.即每一个可能的观察值.
3.样本：从总体X中，随机地抽取n个个体, 称为总体X的容量为n的样本。
注：⑴ 样本是一个n维的随机变量；⑵ 本书中提到的样本都是指简单随机样本，其满足2个特性：
① 代表性：中每一个与总体X有相同的分布. ② 独立性：是相互独立的随机变量.
4.样本的联合分布
设总体X的分布函数为F(x)，则样本的联合分布函数为
(1) 设总体X的概率密度函数为f (x), 则样本的联合密度函数为
(2) 设总体X的概率函数为, 则样本的联合概率函数为
二、统计量
1. 定义
不含总体分布中任何未知参数的样本函数称为统计量,是的观测值.
注：（1）统计量是随机变量； （2）统计量不含总体分布中任何未知参数；
（3）统计量的分布称为抽样分布.
2. 常用统计量
（1）样本矩：①样本均值 ； 其观测值 . 可用于推断：总体均值 E(X).

②样本方差 ;
其观测值 可用于推断：总体方差D(X).
③样本标准差
其观测值
④样本k 阶原点矩 其观测值
⑤样本 k 阶中心矩 其观测值
注：比较样本矩与总体矩，如样本均值和总体均值E(X)；样本方差与总体方差D(X)；
样本k阶原点矩与总体k阶原点矩；样本k阶中心矩
与总体k阶原点矩. 前者是随机变量，后者是常数.
(2)样本矩的性质:
设总体X的数学期望和方差分别为，为样本均值、样本方差，则

3.抽样分布：统计量的分布称为抽样分布.
三、 3大抽样分布
： 定义.设相互独立，且，则
注：若则
（2）性质（可加性）
设相互独立，且则
2. t分布： 设X 与Y 相互独立,且则
注：t分布的密度图像关于t=0对称；当n充分大时，t分布趋向于标准正态分布N(0,1).
3. F分布: 定义. 设X与Y相互独立，且则
(2) 性质. 设则.

四、分位点
定义：对于总体X和给定的若存在，使得则称为X分布的分位点。
注：常见分布的分位点表示方法
（1）分布的分位点 （2）分布的分位点 其性质：
（3）分布的分位点其性质
（4）N(0,1)分布的分位点有
第六章 参数估计
一、点估计:设为来自总体X的样本，为X中的未知参数，为样本值，构造某个统计
量作为参数的估计，则称为的点估计量，为的估计值.
2.常用点估计的方法：矩估计法和最大似然估计法.
二、矩估计法
1.基本思想: 用样本矩（原点矩或中心矩）代替相应的总体矩.
2.求总体X的分布中包含的m个未知参数的矩估计步骤：
① 求出总体矩,即；② 用样本矩代替总体矩，列出矩估计方程：

③ 解上述方程（或方程组）得到的矩估计量为：
④ 的矩估计值为：
3. 矩估计法的优缺点：
优点：直观、简单; 只须知道总体的矩,不须知道总体的分布形式.
缺点：没有充分利用总体分布提供的信息；矩估计量不具有唯一性；可能估计结果的精度比其它估计法的低
三、最大似然估计法
1. 直观想法：在试验中，事件A的概率P(A)最大, 则A出现的可能性就大；如果事件A出现了，我们认为事件A的概率最大.
2. 定义 设总体X的概率函数或密度函数为（或），其中参数未知，则X的样本的联
合概率函数（或联合密度函数）（或
称为似然函数.
3. 求最大似然估计的步骤：
（1）求似然函数:X离散： X连续：

（2）求和似然方程：
（3）解似然方程，得到最大似然估计值：
（4）最后得到最大似然估计量：
4. 最大似然估计法是在各种参数估计方法中比较优良的方法，但是它需要知道总体X的分布形式.
四、 估计量的评价标准
1.无偏性:设是未知参数的估计量，若，则是的无偏估计量，是的无偏估计值。
有效性:设和是未知参数的无偏估计量，
若，则称比有效。
1.若是来自总体X的样本，则相互独立. （ √）
2.不含总体X的任何未知参数的样本函数就是统计量. ( √ )
3.样本矩与总体矩是等价的。（ X ）
4.矩估计法的基本思想是用总体矩代替样本矩，故矩估计量不唯一.( X )
设总体，则估计量分别是的无偏估计量.( X )

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