matlab插值计算.doc

插值方法
晚上做一个曲线拟合，结果才开始用最小二乘法拟合时，拟合出来的东西太难看了！
于是尝试用其他方法。
经过一番按图索骥，终于发现做曲线拟合的话，采用插值法是比较理想的方法。尤其是样条插值，插完后线条十分光滑。
方法付后，最关键的问题是求解时要积分，放这里想要的时候就可以直接过来拿，不用死去搜索啦。呵呵
插值方法的Matlab实现
一维数据插值
MATLAB中用函数interp1来拟合一维数据，语法是YI = INTERP1(X,Y,XI,方法)
其中（X， Y） 是已给的数据点， XI 是插值点，
 其中方法主要有
      'linear'   -线性插值，默认
      'pchip'   -逐段三次Hermite插值
      'spline'   -逐段三次样条函数插值
其中最后一种插值的曲线比较平滑
例：
x=0:.12:1; x1=0:.02:1;%（其中x=0:.12:1表示显示的插值点，x1=0:.02:1表示插值的步长）
y=(x.^2-3*x+5).*exp(-5*x).*sin(x);
plot(x,y,'o'); hold on;
y1=interp1(x,y,x1,'spline');
plot(x1,y1,':')

如果要根据样本点求函数的定积分，而函数又是比较光滑的，则可以用样条函数进行插值后再积分，在MATLAB中可以编写如下程序：
function y=quadspln(x0,y0,a,b)
f=inline('interp1(x0,y0,x,''spline'')','x','x0','y0');
y=quadl(f,a,b,1e-8,[],x0,y0); 
现求sin(x)在区间[0，pi]上的定积分，只取5点
x0=[0,0.4,1,2,pi];
y0=sin(x0);
I=quadspln(x0,y0,0,pi)
结果得到的值为 2.01905， 精确值为2
求一段matlab插值程序
悬赏分：20 - 解决时间：2009-12-26 19:57
已知5个数据点：x=[0.25 0.5 0.75 1] y=[0 0.3104 0.6177 0.7886 1] ，求一段matlab插值程序，求过这5个数据点的插值多项式，并在x-y坐标中画出y=f（x）图形，并且求出f（x）与x轴围成图形的面积（积分），不胜感激！
使用Lagrange 插值多项式的方法：

首先把下面的代码复制到M文件中，保存成lagran

function [C,L]=lagran(X,Y)
% input - X is a vector that contains a list of abscissas
% - Y is a vector that contains a list of ordinates
% output - C is a matrix that contains the coefficients of the lagrange interpolatory polynomial
%- L is a matrix that contains the lagrange coefficients polynomial
w=length(X);
n=w-1;
L=zeros(w,w);
for k=1:n+1
V=1;
for j=1:n+1
if k~=j
V=conv(V,poly(X(j)))/(X(k)-X(j));
end
end
L(k,:)=V;
end
C=Y*L;

然后在命令窗口中输入以下内容：

x=[0 0.25 0.5 0.75 1];
y=[0 0.3104 0.6177 0.7886 1];
lagran(x,y)

ans =

3.3088 -6.3851 3.3164 0.7599 0

得到的数据就是多项式各项的系数，注意最后一个是常数项，即x^0，
所以表达式为:f=3.3088*x.^4-6.3851*x.^3+3.3164*x.^2 +0.7599*x

求面积就是积分求解

>> f=@(x)3.3088*x.^4-6.3851*x.^3+3.3164*x.^2 +0.7599*x;
>> quad(f,0,1)

ans =

0.5509

这些点肯定是通过这个多项式的！
MATLAB插值与拟合

§1曲线拟合
实例：温度曲线问题
气象部门观测到一天某些时刻的温度变化数据为：
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
T
13
15
17
14
16
19
26
24
26
27
29
试描绘出温度变化曲线。
曲线拟合就是计算出两组数据之间的一种函数关系，由此可描绘其变化曲线及估计非采集数据对应的变量信息。
曲线拟合有多种方式，下面是一元函数采用最小二乘法对给定数据进行多项式曲线拟合，最后给出拟合的多项式系数。
1.线性拟合函数：regress()
调用格式：  b=regress(y,X)
                     [b,bint,r,rint,stats]= regress(y,X)
                     [b,bint,r,rint,stats]= regress(y,X,alpha)
说明：b=regress(y,X)返回X与y的最小二乘拟合值，及线性模型的参数值β、ε。该函数求解线性模型：
y=Xβ+ε
β是p´1的参数向量；ε是服从标准正态分布的随机干扰的n´1的向量；y为n´1的向量；X为n´p矩阵。
bint返回β的95%的置信区间。r中为形状残差，rint中返回每一个残差的95%置信区间。Stats向量包含R2统计量、回归的F值和p值。
例1：设y的值为给定的x的线性函数加服从标准正态分布的随机干扰值得到。即y=10+x+ε ；求线性拟合方程系数。
程序： x=[ones(10,1) (1:10)'];
      y=x*[10;1]+normrnd(0,0.1,10,1);
      [b,bint]=regress(y,x,0.05)
结果：  x =
     1     1
     1     2
     1     3
     1     4
     1     5
     1     6
     1     7
     1     8
     1     9
     1    10
y =
   10.9567
   11.8334
   13.0125
   14.0288
   14.8854
   16.1191
   17.1189
   17.9962
   19.0327
   20.0175
b =
              9.9213
              1.0143
bint =
            9.7889   10.0537
            0.9930    1.0357
即回归方程为：y=9.9213+1.0143x
2.多项式曲线拟合函数：polyfit( )
调用格式：  p=polyfit(x,y,n)
                     [p,s]= polyfit(x,y,n)
说明：x,y为数据点，n为多项式阶数，返回p为幂次从高到低的多项式系数向量p。矩阵s用于生成预测值的误差估计。(见下一函数polyval)
例2：由离散数据
x
0
.1
.2
.3
.4
.5
.6
.7
.8
.9
1
y
.3
.5
1
1.4
1.6
1.9
.6
.4
.8
1.5
2
拟合出多项式。
程序：
              x=0:.1:1;
            y=[.3 .5 1 1.4 1.6 1.9 .6 .4 .8 1.5 2];
            n=3;
            p=polyfit(x,y,n)
            xi=linspace(0,1,100);%linspace用于创建向量，如：x=linspace(a1,a2,a3);
a1为第一个元素，a2为最末一个元素，a3表示x共有a3个元素，每个元素间距相等。 z=polyval(p,xi); %多项式求值
            plot(x,y,'o',xi,z,'k:',x,y,'b')
            legend('原始数据','3阶曲线')
结果：
p =
   16.7832  -25.7459   10.9802   -0.0035
多项式为：16.7832x3-25.7459x2+10.9802x-0.0035
曲线拟合图形：

如果是n=6，则如下图：

也可由函数给出数据。
例3：x=1:20,y=x+3*sin(x)
程序：
       x=1:20;
       y=x+3*sin(x);
       p=polyfit(x,y,6)
       xi=linspace(1,20,100);
       z=polyval(p,xi);     %多项式求值函数
       plot(x,y,'o',xi,z,'k:',x,y,'b')
       legend('原始数据','6阶曲线')
结果：
p =
0.0000   -0.0021    0.0505   -0.5971    3.6472   -9.7295   11.3304

再用10阶多项式拟合
      程序：x=1:20;
y=x+3*sin(x);
p=polyfit(x,y,10)
xi=linspace(1,20,100);
z=polyval(p,xi);
plot(x,y,'o',xi,z,'k:',x,y,'b')
legend('原始数据','10阶多项式')
结果：p =
  Columns 1 through 7
    0.0000   -0.0000    0.0004   -0.0114    0.1814   -1.8065   11.2360
  Columns 8 through 11
  -42.0861   88.5907  -92.8155   40.2671

可用不同阶的多项式来拟合数据，但也不是阶数越高拟合的越好。
3.         多项式曲线求值函数：polyval( )
调用格式：  y=polyval(p,x)
                     [y,DELTA]=polyval(p,x,s)
说明：y=polyval(p,x)为返回对应自变量x在给定系数P的多项式的值。
[y,DELTA]=polyval(p,x,s) 使用polyfit函数的选项输出s得出误差估计Y DELTA。它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的，并且方差为常数。则Y DELTA将至少包含50%的预测值。
(未完)
4.         多项式曲线拟合的评价和置信区间函数：polyconf( )
调用格式：  [Y,DELTA]=polyconf(p,x,s)
                     [Y,DELTA]=polyconf(p,x,s,alpha)
说明：[Y,DELTA]=polyconf(p,x,s)使用polyfit函数的选项输出s给出Y的95%置信区间Y DELTA。它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的，并且方差为常数。1-alpha为置信度。
例4：给出上面例1的预测值及置信度为90%的置信区间。
程序：   x=0:.1:1;
        y=[.3 .5 1 1.4 1.6 1.9 .6 .4 .8 1.5 2]
        n=3;
        [p,s]=polyfit(x,y,n)
        alpha=0.05;
       [Y,DELTA]=polyconf(p,x,s,alpha)
       结果：  
 p =
   16.7832  -25.7459   10.9802   -0.0035

s =
   R: [4x4 double]
  df: 7
normr: 1.1406

Y =
  Columns 1 through 9
   -0.0035    0.8538    1.2970    1.4266    1.3434    1.1480    0.9413    0.8238    0.8963
  Columns 10 through 11
    1.2594    2.0140
5.         稳健回归函数：robust( )
稳健回归是指此回归方法相对于其他回归方法而言，受异常值的影响较小。
调用格式：  b=robustfit(x,y)
                     [b,stats]=robustfit(x,y)
                     [b,stats]=robustfit(x,y,’wfun’,tune,’const’)
说明：b返回系数估计向量；stats返回各种参数估计；’wfun’指定一个加权函数；tune为调协常数；’const’的值为’on’(默认值)时添加一个常数项；为’off ’时忽略常数项。
例5：演示一个异常数据点如何影响最小二乘拟合值与稳健拟合。首先利用函数y=10-2x加上一些随机干扰的项生成数据集，然后改变一个y的值形成异常值。调用不同的拟合函数，通过图形观查影响程度。
程序：x=(1:10)’;
y=10-2*x+randn(10,1);
y(10)=0;
bls=regress(y,[ones(10,1) x]) %线性拟合
brob=robustfit(x,y) %稳健拟合
scatter(x,y)
hold on
plot(x,bls(1)+bls(2)*x,’:’)
plot(x,brob(1)+brob(2)*x,’r’)
结果 ： bls =
                    8.4452
                   -1.4784
brob =
                   10.2934
                   -2.0006

分析：稳健拟合(实线)对数据的拟合程度好些，忽略了异常值。最小二乘拟合(点线)则受到异常值的影响，向异常值偏移。
6.         向自定义函数拟合
对于给定的数据，根据经验拟合为带有待定常数的自定义函数。
所用函数：nlinfit( )
调用格式：  [beta,r,J]=nlinfit(X,y,’fun’,beta0)
说明：beta返回函数’fun’中的待定常数；r表示残差；J表示雅可比矩阵。X,y为数据；‘fun’自定义函数；beta0待定常数初值。
例6：在化工生产中获得的氯气的级分y随生产时间x下降，假定在x≥8时，y与x之间有如下形式的非线性模型：

现收集了44组数据，利用该数据通过拟合确定非线性模型中的待定常数。
x            y                   x            y                   x            y
8            0.49               16           0.43               28           0.41
8            0.49               18           0.46               28           0.40
10           0.48               18           0.45               30           0.40
10           0.47               20           0.42               30           0.40
10           0.48               20           0.42               30           0.38
10           0.47               20           0.43               32           0.41
12           0.46               20           0.41               32           0.40
12           0.46               22           0.41               34           0.40
12           0.45               22           0.40               36           0.41
12           0.43               24           0.42               36           0.36
14           0.45               24           0.40               38           0.40
14           0.43               24           0.40               38           0.40
14           0.43               26           0.41               40           0.36
16           0.44               26           0.40               42           0.39
16           0.43               26           0.41
       首先定义非线性函数的m文件：fff6.m
function yy=model(beta0,x)
  a=beta0(1);
  b=beta0(2);
  yy=a+(0.49-a)*exp(-b*(x-8));
       程序：
x=[8.00 8.00 10.00 10.00 10.00 10.00 12.00 12.00 12.00 14.00 14.00 14.00... 
     16.00 16.00 16.00 18.00 18.00 20.00 20.00 20.00 20.00 22.00 22.00 24.00...  
     24.00 24.00 26.00 26.00 26.00 28.00 28.00 30.00 30.00 30.00 32.00 32.00...
     34.00 36.00 36.00 38.00 38.00 40.00 42.00]';
   y=[0.49 0.49 0.48 0.47 0.48 0.47 0.46 0.46 0.45 0.43 0.45 0.43 0.43 0.44 0.43...
     0.43 0.46 0.42 0.42 0.43 0.41 0.41 0.40 0.42 0.40 0.40 0.41 0.40 0.41 0.41...
     0.40 0.40 0.40 0.38 0.41 0.40 0.40 0.41 0.38 0.40 0.40 0.39 0.39]';
     beta0=[0.30 0.02];
betafit = nlinfit(x,y,@model ,beta0)
结果：betafit =
                0.3896
0.1011
       即：a=0.3896 ，b=0.1011 拟合函数为：
yy=0.3896+0.1004*exp(-0.1011*(x-8))
excell数据调入matlab中的方法：import data→data→x=data(:,所调出数据的列数)
如果想调出某列数据中间隔相等的数据则：x=data(1:2:10,colume2)则调用原始数据的第二列中前十个数据中1、3、5、7、9行数据。
§2 插值问题
在应用领域中，由有限个已知数据点，构造一个解析表达式，由此计算数据点之间的函数值，称之为插值。
实例：海底探测问题
某公司用声纳对海底进行测试，在5×5海里的坐标点上测得海底深度的值，希望通过这些有限的数据了解更多处的海底情况。并绘出较细致的海底曲面图。
一、一元插值
一元插值是对一元数据点(xi,yi)进行插值。
1．  线性插值：由已知数据点连成一条折线，认为相临两个数据点之间的函数值就在这两点之间的连线上。一般来说，数据点数越多，线性插值就越精确。
调用格式：yi=interp1(x,y,xi,’linear’)  %线性插值
zi=interp1(x,y,xi,’spline’)  %三次样条插值
wi=interp1(x,y,xi,’cubic’)  %三次多项式插值
说明：yi、zi、wi为对应xi的不同类型的插值。x、y为已知数据点。
例1：已知数据：
x
0
.1
.2
.3
.4
.5
.6
.7
.8
.9
1
y
.3
.5
1
1.4
1.6
1.9
.6
.4
.8
1.5
2
求当xi=0.25时的yi的值。
程序：
x=0:.1:1;
y=[.3 .5 1 1.4 1.6 1 .6 .4 .8 1.5 2];
yi0=interp1(x,y,0.025,'linear')
xi=0:.02:1;
yi=interp1(x,y,xi,'linear');
zi=interp1(x,y,xi,'spline');
wi=interp1(x,y,xi,'cubic');
plot(x,y,'o',xi,yi,'r+',xi,zi,'g*',xi,wi,'k.-')
legend('原始点','线性点','三次样条','三次多项式')
结果：yi0 =  0.3500

要得到给定的几个点的对应函数值，可用：
xi =[ 0.2500  0.3500  0.4500]
yi=interp1(x,y,xi,'spline')
结果：
yi =1.2088  1.5802  1.3454
(二) 二元插值
二元插值与一元插值的基本思想一致，对原始数据点(x,y,z)构造见世面函数求出插值点数据(xi,yi,zi)。
一、单调节点插值函数，即x,y向量是单调的。
调用格式1：zi=interp2(x,y,z,xi,yi,’linear’)
‘liner’ 是双线性插值 (缺省)
调用格式2：zi=interp2(x,y,z,xi,yi,’nearest’)
’nearest’ 是最近邻域插值
调用格式3：zi=interp2(x,y,z,xi,yi,’spline’)
‘spline’是三次样条插值
说明：这里x和y是两个独立的向量，它们必须是单调的。z是矩阵，是由x和y确定的点上的值。z和x,y之间的关系是z(i,:)=f(x,y(i)) z(:,j)=f(x(j),y) 即：当x变化时，z的第i行与y的第i个元素相关，当y变化时z的第j列与x的第j个元素相关。如果没有对x,y赋值，则默认x=1:n, y=1:m。n和m分别是矩阵z的行数和列数。
例2：已知某处山区地形选点测量坐标数据为：
x=0  0.5  1  1.5  2  2.5  3  3.5  4  4.5  5
y=0  0.5  1  1.5  2  2.5  3  3.5  4  4.5  5  5.5  6
海拔高度数据为：
z=89 90 87 85 92 91 96 93 90 87 82
   92 96 98 99 95 91 89 86 84 82 84
   96 98 95 92 90 88 85 84 83 81 85
   80 81 82 89 95 96 93 92 89 86 86
   82 85 87 98 99 96 97 88 85 82 83
   82 85 89 94 95 93 92 91 86 84 88
   88 92 93 94 95 89 87 86 83 81 92
   92 96 97 98 96 93 95 84 82 81 84
   85 85 81 82 80 80 81 85 90 93 95
   84 86 81 98 99 98 97 96 95 84 87
   80 81 85 82 83 84 87 90 95 86 88
   80 82 81 84 85 86 83 82 81 80 82
   87 88 89 98 99 97 96 98 94 92 87
其地貌图为：

对数据插值加密形成地貌图。
程序：
x=0:.5:5;
y=0:.5:6;
z=[89 90 87 85 92 91 96 93 90 87 82
   92 96 98 99 95 91 89 86 84 82 84
   96 98 95 92 90 88 85 84 83 81 85
   80 81 82 89 95 96 93 92 89 86 86
   82 85 87 98 99 96 97 88 85 82 83
   82 85 89 94 95 93 92 91 86 84 88
   88 92 93 94 95 89 87 86 83 81 92
   92 96 97 98 96 93 95 84 82 81 84
   85 85 81 82 80 80 81 85 90 93 95
   84 86 81 98 99 98 97 96 95 84 87
   80 81 85 82 83 84 87 90 95 86 88
   80 82 81 84 85 86 83 82 81 80 82
   87 88 89 98 99 97 96 98 94 92 87];
mesh(x,y,z)  %绘原始数据图
xi=linspace(0,5,50);  %加密横坐标数据到50个
yi=linspace(0,6,80);  %加密纵坐标数据到60个
[xii,yii]=meshgrid(xi,yi);  %生成网格数据
zii=interp2(x,y,z,xii,yii,'cubic');  %插值
mesh(xii,yii,zii)  %加密后的地貌图
hold on     % 保持图形
[xx,yy]=meshgrid(x,y);  %生成网格数据
plot3(xx,yy,z+0.1,'ob')  %原始数据用‘O’绘出

2、二元非等距插值
调用格式：zi=griddata(x,y,z,xi,yi,’指定插值方法’)
插值方法有： linear          % 线性插值   (默认)
             bilinear     % 双线性插值
             cubic        % 三次插值
             bicubic      % 双三次插值
             nearest      % 最近邻域插值
例：用随机数据生成地貌图再进行插值
程序：
x=rand(100,1)*4-2;
y=rand(100,1)*4-2;
z=x.*exp(-x.^2-y.^2);
ti=-2:.25:2;
[xi,yi]=meshgrid(ti,ti); % 加密数据
zi=griddata(x,y,z,xi,yi);% 线性插值
mesh(xi,yi,zi)
hold on
plot3(x,y,z,’o’)