度量G-空间中G-强跟踪性...G-强链回归点的动力学性质_冀占江.pdf

2 0 2 3年7月第4 7卷第4期安徽大学学报(自然科学版)J o u r n a l o fA n h u iU n i v e r s i t y(N a t u r a lS c i e n c eE d i t i o n)J u l y2 0 2 3V o l.4 7N o.4d o i:1 0.3 9 6 9/j.i s s n.1 0 0 0-2 1 6 2.2 0 2 3.0 4.0 0 2收稿日期:2 0 2 2-0 4-1 5基金项目:广西自然科学基金面上资助项目(2 0 2 0 J J A 1 1 0 0 2 1);梧州学院校级重点项目(2 0 2 0 B 0 0 7)作者简介:冀占江(1 9 8 5-),男,河南驻马店人,梧州学院副教授,硕士,E-m a i l:1 3 9 5 9 5 4 2 6 1q q.c o m.度量G-空间中G-强跟踪性和G-强链回归点的动力学性质冀占江(梧州学院 大数据与软件工程学院,广西机器视觉与智能控制重点实验室,广西 梧州5 4 3 0 0 2)摘 要:首先,在度量G-空间中引入G-强跟踪性和G-强链回归点的概念;其次,分别在拓扑G-共轭条件下和提升空间中研究了它们的动力学性质和拓扑特征,得到如下结论:在拓扑G-共轭下,h(S C RG(f1)=S C RG(f2);在拓扑G-共轭下,f1具有G-强跟踪性当且仅当f2具有G-强跟踪性;在提升空间中,f具有G-强跟踪性当且仅当f具有G-强跟踪性.这些结果推广了强跟踪性和强链回归点集的结论.关键词:度量G-空间;G-强链回归点;提升空间;G-强跟踪性中图分类号:O 1 8 9.1 1 文献标志码:A 文章编号:1 0 0 0-2 1 6 2(2 0 2 3)0 4-0 0 1 0-0 6D y n a m i c a l p r o p e r t i e so fG-s t r o n g t r a c k i n gp r o p e r t ya n dG-s t r o n gc h a i nr e c u r r e n tp o i n t i nm e t r i cG-s p a c e sJ IZ h a n j i a n g(S c h o o l o fD a t aS c i e n c ea n dS o f t w a r eE n g i n e e r i n g,G u a n g x iK e yL a b o r a t o r yo fM a c h i n eV i s i o na n dI n t e l l i g e n tC o n t r o l,W u z h o uU n i v e r s i t y,W u z h o u5 4 3 0 0 2,C h i n a)A b s t r a c t:F i r s t l y,t h ec o n c e p to fG-s t r o n gt r a c k i n gp r o p e r t ya n dG-s t r o n gc h a i nr e c u r r e n tp o i n tw a s i n t r o d u c e d i nm e t r i cG-s p a c e;s e c o n d l y,t h e i rd y n a m i c a l p r o p e r t i e s a n d t o p o l o g i c a lc h a r a c t e r i s t i c sw e r es t u d i e du n d e rt o p o l o g i c a lG-c o n j u g a t ec o n d i t i o n sa n di nt h el i f ts p a c e sr e s p e c t i v e l y.T h ec o n c l u s i o n sw e r ea s f o l l o w s:u n d e r t o p o l o g i c a lG-c o n j u g a t ec o n d i t i o n s,w eh a dh(S C RG(f1)=S C RG(f2);u n d e rt o p o l o g i c a lG-c o n j u g a t ec o n d i t i o n s,t h em a pf1h a dt h eG-s t r o n g t r a c k i n gp r o p e r t y i f a n do n l y i f t h em a pf2h a d t h eG-s t r o n g t r a c k i n gp r o p e r t y;i nt h e l i f t s p a c e s,t h em a pfh a d t h eG-s t r o n g t r a c k i n gp r o p e r t y i f a n do n l y i f t h em a pfh a dt h eG-s t r o n gt r a c k i n gp r o p e r t y.T h e s er e s u l t se x t e n d e dt h ec o n c l u s i o no fs t r o n gt r a c k i n gp r o p e r t ya n ds t r o n gc h a i nr e c u r r e n tp o i n t s e t.K e y w o r d s:m e t r i cG-s p a c e;G-s t r o n g c h a i n r e c u r r e n t p o i n t;l i f t s p a c e;G-s t r o n gt r a c k i n gp r o p e r t y强跟踪性1和强链回归点2在动力系统中占有十分重要的地位,有关跟踪性、强跟踪性和强链回归点的研究成果非常丰富3-1 1.文献3 证明逆极限空间中移位映射具有强跟踪性当且仅当自映射f具有强跟踪性.文献4 证明,若f1拓扑G-共轭于f2,则f1具有强跟踪性当且仅当f2具有强跟踪性.文献5 指出f具有强跟综性当且仅当fn具有强跟踪性.文献6 在非自治动力系统的中研究了强跟踪性的动力学性质.然而以上研究成果是在整数加群作用下得到的,随着动力系统理论的发展,需要在拓扑群作用下的度量空间中研究它们的动力学特征和拓扑结构.论文在度量G-空间中研究了G-强跟踪性和G-强链回归点集的动力学特征,得到如下结论:若h:XY是f1和f2的拓扑G-共轭映射,则h(S C RG(f1)=S C RG(f2)(s t r o n gc h a i nr e c u r r e n t,简称S C R);若h:XY是f1和f2的拓扑G-共轭映射,则f1具有G-强跟踪性当且仅当f2具有G-强跟踪性;若f是f局部等距下的提升映射,则f具有G-强跟踪性当且仅当f具有G-强跟踪性.这些结论推广了文献7 中的结果,从而为强G-跟踪性和强G-链回归点集在实际中的应用提供了理论依据.1 基本概念定义11 2 设(X,d)是度量空间,G是拓扑群.若映射:GXX满足(1)xX,有(e,x)=x,其中e为G的单位元;(2)g1,g2G和xX,有(g1,(g2,x)=(g1g2,x),则称(X,G,)是度量G-空间,简称X是度量G-空间.为了书写方便,通常将(g,x)简写为g x.特别地,若(X,d)是紧致度量空间,则称(X,d)是紧致度量G-空间.定义21 3 设(X,d1)和(Y,d2)是度量空间,f:XY是一一映射,称f是等距映射,如果x,yX,有d2(f(x),f(y)=d1(x,y).定义31 3 设(X,d)和(X,d)是度量空间,:XX连续满射,称是局部等距覆盖映射,如果xX,x的开邻域U(x),使得-1(U(x)=U,UU=,并且对所有的,U:UUx是等距同胚映射.定义41 3 设(X,d)和(X,d)是度量空间,:XX是局部等距覆盖映射,f:XX连续,f:XX连续,若f=f,则称f是f局部等距下的提升映射,(X,f)是(X,f)局部等距下的提升空间.定义51 4 设(X,d)是度量G-空间,f:XX连续,称f是等价映射,如果gG,xX,有f(g x)=g f(x).定义61 5 设(X,d)是度量空间,f:XX连续.若L 0,对x,yX,都有d(f(x),f(y)L d(x,y),则称f是利普希茨映射,L为f的利普希茨常数.定义71 2 设(X,d1)和(Y,d2)是度量G-空间,f1:XX连续,f2:YY连续,称f1拓扑共G-轭于f2,如果存在同胚等价映射h:XY,使得hf1=f2h,此时称h是f1和f2的拓扑G-共轭映射.定义82 设(X,d)是 度 量 空 间,f:XX连 续,0,xini=0是X中 的 有 限 序 列.如 果n-1i=0d(f(xi),xi+1)0,f作用下从x到x的强-链,则称x是f的强链回归点.f所有强链回归点组成的集合记为S C R(f).注1 仿照强链回归点的定义,给出G-强链回归点的概念.定义1 0 设(X,d)是度量G-空间,f:XX连续,0,xini=0是X中的有限序列.如果giG,使得n-1i=0d(gif(xi),xi+1)0,存在f作用下从x到x的强(G,)-链,则称x是f的G-强链回归点.f所有G-强链回归点组成的集合记为S C RG(f).定义1 21 0 设(X,d)是度量G-空间,f:XX连续,0,xii0是X中的序列.若存在giG,11第4期冀占江:度量G-空间中G-强跟踪性和G-强链回归点的动力学性质使得i=0d(gif(xi),xi+1)0,0,yX,xii0是X中的序列.若giG,使得i=0d(fi(y),gixi)0,0,使得当xii0是X中f的强(G,)-伪轨时,存在yX,y(G,)强跟踪xii0,则称f具有G-强跟踪性.2 引 理引理1 设(X,d)和(X,d)是紧致度量空间,:XX是局部等距覆盖映射,f:XX连续,f:XX连续,若f是f局部等距下的提升映射,则00,xX,00,使得 B(x,):B(x,)B(x),)是等距同胚映射.证明 由:XX是局部等距覆盖映射知,xX,x的开邻域U(x),使得-1(U(x)=U,UU=,并且对所有的,U:UUx是等距同胚.取=U:U-1(U(y),yX,则是X的开覆盖.由X的紧致性知,开覆盖存在勒贝格数.取0=2.由勒贝格数引理知,xX,00,f1作用下的强(G,L1)-链zimi=0(z0=zm=z).因此0im,giG,使得m-1i=0d1(gif1(zi),zi+1)L1.易知hf1=f2h.由于h:XY是利普希茨常数为L1的利普希茨映射,故u,vX,有d2(h(u),h(v)L1d1(u,v).由h是等价映射知m-1i=0d2(gif2(h(zi),h(zi+1)=m-1i=0d2(h(gif1(zi),h(zi+1)m-1i=0L1d1(gif1(zi),zi+1)0,f2作用下的强(G,L2)-链xini=0(x0=xn=x).故0in,tiG,使得n-1i=0d2(tif2(xi),xi+1)L2.易知h-1f2=f1h-1.由h-1是利普希茨常数为L2的映射,故u,vY,有d1(h-1(u),h-1(v)L2d2(u,v).又h是等价映射,故21安徽大学学报(自然科学版)第4 7卷n-1i=0d1(tif1(h-1(xi),h-1(xi+1)=n-1i=0d1(h-1(tif2(xi),h-1(xi+1)n-1i=0L2d2(tif2(xi),xi+1)0,10,使得当zii=0是f1的强(G,1)-伪轨时,存在zX,z(G,L1)-强跟踪zii=0.设yii=0是f2的强(G,1L2)-伪轨,则i0,giG,使得i=0d2(gif2(yi),yi+1)1L2.由于映射h-1的利普希茨常数是L2和h是拓扑共G-轭映射,有i=0d1(gif1(h-1(yi),h-1(yi+1)=i=0d1(h-1(gif2(yi),h-1(yi+1)L2i=0d2(gif2(yi),yi+1)1,故h-1(yi)i=0是f1的强(G,)-伪轨.因此yY,tiG,使得i=0d1(fi1(y),tih-1(yi)L1.又h利普希茨常数是L1和h是拓扑共G-轭映射,故i=0d2(fi2(h(y),tiyi)=i=0d2(h(fi1(y),h(h-1(tiyi)L1i=0d1(fi(y),tih-1(yi)0,20,使得当zii=0是f2的强(G,2)-伪轨时,存在zY,z(G,L2)-强跟踪zii=0.设xii=0是f1的强(G,2L1)-伪轨,则i0,piG,使得i=0d1(pif1(xi),xi+1)2L1.根据h是利普希茨常数、L1和h是拓扑G-共轭映射,可得i=0d2(pif2(h(xi),h(xi+1)=i=0d2(h(pif1(xi),h(xi+1)L1i=0d1(pif(xi),xi+1)2,故h(xi)i=0是f2的(G,2)-强伪轨.因此xY,kiG,使得i=0d2(fi2(x),kih(xi)L2.又h-1利普希茨常数是L2和h是拓扑G-共轭映射,故i=0d1(fi1(h-1(x),kixi)=i=0d1(h-1(fi2(x),h-1(h(kixi)L2i=0d2(fi2(x),kih(xi)0,10,当yii=0是f的强(G,1)-伪轨时,31第4期冀占江:度量G-空间中G-强跟踪性和G-强链回归点的动力学性质yX,y(G,)强跟踪yii=0.设yii=0是f的(G,1)-强伪轨,则i0,piG,使得i=0d(pif(yi),yi+1)1.由:XX满射知,可取y1X,使得(y1)=y1.由f是f的提升映射,知f=f,故 f(y1)=f(y1).由引理1,知 B(p1f(y1),):B(p1f(y1),)B(p1f(y1),)是等距同胚映射,故存在唯一的y2B(p1f(y1),),满足(y2)=y2,则d(p1f(y1),y2)=d(p1f(y1),(y2)=d(p1f(y1),(y2)=d(g1f(y1),y2),即d(p1f(y1),y2)=d(p1f(y1),y2),如此继续下去,可得到序列yii=0,满足(yi)=yi和d(pif(yi),yi+1)=d(pif(yi),yi+1),有i=0d(pif(yi),yi+1)1,则yii=0是f的(G,1)-强伪轨.故yX,liG,使得i=0d(fi(y),liyi).取y=(y).由引理1,知 B(fi(y),):B(fi(y),)B(fi(y),)是等距映射,故d(fi(y),liyi)=d(fi(y),li(yi)=d(fi(y),(liyi)=d(fi(y),liyi),故i=0d(fi(y),liyi)0,02,当xii=0是f的强(G,2)-伪轨时,xX,x(G,)-强跟踪xii=0.设xii=0是f的强(G,2)-伪轨,则i0,giG,使得i=0d(gif(xi),xi+1)2,i0,取xi=(xi).由引理1,知 B(gif(xi),):B(gif(xi),)B(gif(xi),)是等距同胚映射,故d(gif(xi),xi+1)=d(gi(f(xi),(xi+1)=d(gif(xi),(xi+1)=d(gif(xi),xi+1),则i=0d(gif(xi),xi+1)2,因此xii=0是f的强(G,2)-伪轨,故xX,tiG,使得i=0d(fi(x),tixi).取x-1(x).由引理1,知 B(fi(x),):B(fi(x),)B(fi(x),)是等距同胚映射,故d(fi(x),tixi)=d(fi(x),ti(xi)=d(fi(x),(tixi)=d(fi(x),tixi),则i=0d(fi(x),tixi),故f具有G-强跟踪性.41安徽大学学报(自然科学版)第4 7卷4 结束语论文在度量G-空间引入G-强跟踪性和G-强链回归点的概念,然后研究了它们动力学性质和特征.在拓扑G-共轭条件下得到:h(S C RG(f1)=S C RG(f2);f1具有G-强跟踪性当且仅当f2具有G-强跟踪性;在局部等距提升空间中得到,f具有G-强跟踪性当且仅当f具有G-强跟踪性.这些结果推广了文献1 0 中的结论,从而为G-强跟踪性和G-强链回归点集在实际中的应用提供了理论依据.参考文献:1 P I L YN G I NS.S h a d o w i n g i nd y n a m i c a l s y s t e m sM.B e r l i n:S p r i n g e r-V e r l a g,1 9 9 9.2 赵俊玲.强链回归集与跟踪性J.数学研究,2 0 0 4,3 7(3):2 8 6-2 9 1.3 晏炳刚,吴泽刚.关于强跟踪性的注记J.成都大学学报(自然科学版),2 0 0 7,2 6(4):2 9 2-2 9 4.4 冀占江,张更容,涂井先.强跟踪性和强链回归点集的研究J.河南大学学报(自然科学版),2 0 1 9,4 9(6):7 3 9-7 4 4.5 韩英豪,刑春娜,金元峰.提升系统的强跟踪性J.延边大学学报(自然科学版),2 0 0 6,3 2(2):9 3-9 6.6 孟鑫,刘岩.非自治离散动力系统的强跟踪性J.吉林师范大学学报(自然科学版),2 0 1 6,3 7(3):9 3-9 6.7 冀占江.度量空间中强链回归点集的研究J.西南师范大学学报(自然科学版),2 0 1 9,4 4(2):2 9-3 5.8 顾荣宝,盛业青.关于渐近的伪轨跟踪性质J.安徽大学学报(自然科学版),2 0 0 3,2 7(2 3):1-5.9 李晓婷.紧致度量空间上连续自映射的一些链回归性质D.南宁:广西大学,2 0 1 5.1 0 冀占江.乘积空间与拓扑群作用下逆极限空间的动力学性质D.南宁:广西大学,2 0 1 4.1 1 郑婷婷,顾荣宝.平均跟踪性质与完全传递J.安徽大学学报(自然科学版),2 0 0 5,2 9(1):7-9.1 2 AHMA D ISA.I n v a r i a n t so f t o p o l o g i c a lG-c o n j u g a c yo nG-s p a c e sJ.M a t h e m a t i c aM o r a v i c a,2 0 1 4,1 8(1):6 7-7 5.1 3 刑春娜.动力系统中的强跟踪性和强反跟踪性D.大连:辽宁师范大学,2 0 0 7.1 4 R U CH ID,T A RUND.O np r o p e r t i e so fG-e x p a n s i v eh o m e o m o r p h i s m sJ.M a t h e m a t i c aS l o v a c a,2 0 1 2,6 2(3):5 3 1-5 3 8.1 5 SAKA IK.V a r i o u ss h a d o w p r o p e r t i e sf o rp o s i t i v e l ye x p a n s i v e m a psJ.T o p o l o g ya n di t sA p p l i c a t i o n s,2 0 0 3,1 3 1(3):1 5-3 1.(责任编辑 朱夜明)51第4期冀占江:度量G-空间中G-强跟踪性和G-强链回归点的动力学性质