一阶线性微分方程省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

一、线性方程二、伯努利方程12.4 一阶线性微分方程上页下页铃结束返回首页第1页上页下页铃结束返回首页一、线性方程 形如yP(x)yQ(x)方程称为一阶线性微分方程 而且当Q(x)恒为零时称为齐次线性方程 Q(x)不恒为零时称为非齐次线性方程 v一阶线性微分方程 考查以下方程是否是(或能否化为)线性方程？是非齐次线性方程 y3x25x 是非齐次线性方程 (2)3x25x5y0 (3)yycos xesin x 下页第2页上页下页铃结束返回首页一、线性方程 形如yP(x)yQ(x)方程称为一阶线性微分方程 而且当Q(x)恒为零时称为齐次线性方程 Q(x)不恒为零时称为非齐次线性方程 v一阶线性微分方程v齐次线性方程通解 齐次线性方程yP(x)y0是变量可分离方程 其通解为提醒 第3页上页下页铃结束返回首页v齐次线性方程通解 解 原方程可变为 这是齐次线性方程 由通解公式得原方程通解为 即 yC(x2)第4页上页下页铃结束返回首页提醒 这里所用方法称为常数变易法 这种方法就是把齐次线性方程通解中任意常数C换成末知函数u(x)然后代入非齐次线性方程并确定出函数u(x)提醒 代入后得到v非齐次线性方程通解代入非齐次线性方程求得 下页v齐次线性方程通解 设非齐次线性方程yP(x)yQ(x)通解为第5页上页下页铃结束返回首页于是非齐次线性方程通解为 下页v非齐次线性方程通解代入非齐次线性方程求得 v齐次线性方程通解 设非齐次线性方程yP(x)yQ(x)通解为积分得 第6页上页下页铃结束返回首页注 非齐次线性方程通解也可为 上式表明 非齐次线性方程通解等于对应齐次线性方程通解与非齐次线性方程一个特解之和 下页v非齐次线性方程通解v齐次线性方程通解 非齐次线性方程yP(x)yQ(x)通解为 第7页上页下页铃结束返回首页 解 下页 由通解公式得 非齐次线性方程yP(x)yQ(x)通解为 第8页上页下页铃结束返回首页 例3 有一个电路如图所表示 其中电源电动势为EEmsinwt(Em、w都是常数)电阻R和电感L都是常量 求电流i(t)依据电学原理 得微分方程 解 由通解公式 得 初始条件为i|t00 所以首页第9页上页下页铃结束返回首页二、伯努利方程v伯努利方程下页 形如yP(x)yQ(x)yn(n0 1)方程叫做伯努利方程 考查以下方程是否是(或能否化为)伯努利方程？第10页上页下页铃结束返回首页二、伯努利方程v伯努利方程 形如yP(x)yQ(x)yn(n0 1)方程叫做伯努利方程 伯努利方程yP(x)yQ(x)yn可化为线性方程 v伯努利方程解法第11页上页下页铃结束返回首页 解 下页原方程可化为 由非齐次线性方程通解公式 得 即原方程通解为 第12页上页下页铃结束返回首页说明 所给方程可变形为一阶线性方程 即使按一阶线性方程解法可求得通解 但这里用变量代换来解所给方程 下页 经过变量代换 一些方程能够化为变量可分离方程 或化为已知其求解方法方程 解 第13页上页下页铃结束返回首页令xyu 则原方程化为 以uxy代入上式 得原方程通解 结束 解 经过变量代换 一些方程能够化为变量可分离方程 或化为已知其求解方法方程 两端积分得 uln|u1|xln|C|yln|xy1|ln|C|或xCeyy1 第14页