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高等数学B教案—李惠 第九章 多元函数微分法及其应用
第九章 多元函数微分法及其应用
教学目的：
1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。
2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。
3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。
4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。
5、掌握多元复合函数偏导数的求法。
6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。
7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。
8、了解二元函数的二阶泰勒公式。
9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。
教学重点：
1、二元函数的极限与连续性；
2、函数的偏导数和全微分；
3、方向导数与梯度的概念及其计算；
4、多元复合函数偏导数；
5、隐函数的偏导数
6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线；
7、多元函数极值和条件极值的求法。
教学难点：
1、二元函数的极限与连续性的概念；
2、全微分形式的不变性；
3、复合函数偏导数的求法；
4、二元函数的二阶泰勒公式；
5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；
6、拉格郎日乘数法；
7、多元函数的最大值和最小值。

§9. 1 多元函数的基本概念
一、教学目的与要求：
1．理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。
2．了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。
二、重点（难点）：二元函数极限的定义与连续性
三、教学方式：讲授式教学结合多媒体

讲授内容：
一、平面点集n维空间
1．平面点集
由平面解析几何知道, 当在平面上引入了一个直角坐标系后, 平面上的点P与有序二元实数组(x, y)之间就建立了一一对应. 于是, 我们常把有序实数组(x, y)与平面上的点P视作是等同的. 这种建立了坐标系的平面称为坐标平面.
二元的序实数组(x, y)的全体, 即R2=R´R={(x, y)|x, yÎR}就表示坐标平面.
坐标平面上具有某种性质P的点的集合, 称为平面点集, 记作
E={(x, y)| (x, y)具有性质P}.
例如, 平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是
C={(x, y)| x2+y2<r2}.
如果我们以点P表示(x, y), 以|OP|表示点P到原点O的距离, 那么集合C可表成
C={P| |OP|<r}.
邻域:
设P0(x0, y0)是xOy平面上的一个点, d是某一正数. 与点P0(x0, y0)距离小于d的点P (x, y)的全体, 称为点P0的d邻域, 记为U (P0, d), 即
或.
邻域的几何意义: U (P0, d)表示xOy平面上以点P0(x0, y0)为中心、d >0为半径的圆的内部的点P (x, y)的全体.
点P0的去心d邻域, 记作, 即
.
注: 如果不需要强调邻域的半径d, 则用U (P0)表示点P0的某个邻域, 点P0的去心邻域记作.
点与点集之间的关系:
任意一点PÎR2与任意一个点集EÌR2之间必有以下三种关系中的一种:
(1)内点: 如果存在点P的某一邻域U(P), 使得U(P)ÌE, 则称P为E的内点;
(2)外点: 如果存在点P的某个邻域U(P), 使得U(P)ÇE=Æ, 则称P为E的外点;
(3)边界点: 如果点P的任一邻域内既有属于E的点, 也有不属于E的点, 则称P点为E的边点.
E的边界点的全体, 称为E的边界, 记作¶E.
E的内点必属于E; E的外点必定不属于E; 而E的边界点可能属于E, 也可能不属于E .
聚点:
如果对于任意给定的d>0, 点P的去心邻域内总有E中的点, 则称P是E的聚点.
由聚点的定义可知, 点集E的聚点P本身, 可以属于E, 也可能不属于E .
例如, 设平面点集
E={(x, y)|1<x2+y2£2}.
满足1<x2+y2<2的一切点(x, y)都是E的内点; 满足x2+y2=1的一切点(x, y)都是E的边界点, 它们都不属于E; 满足x2+y2=2的一切点(x, y)也是E的边界点, 它们都属于E; 点集E以及它的界边¶E上的一切点都是E的聚点.
开集: 如果点集E 的点都是内点, 则称E为开集.
闭集: 如果点集的余集E c为开集, 则称E为闭集.
开集的例子: E={(x, y)|1<x2+y2<2}.
闭集的例子: E={(x, y)|1£x2+y2£2}.
集合{(x, y)|1<x2+y2£2}既非开集, 也非闭集.
连通性: 如果点集E内任何两点, 都可用折线连结起来, 且该折线上的点都属于E, 则称E为连通集.
区域(或开区域): 连通的开集称为区域或开区域. 例如E={(x, y)|1<x2+y2<2}.
闭区域: 开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域. 例如E = {(x, y)|1£x2+y2£2}.
有界集: 对于平面点集E, 如果存在某一正数r, 使得 EÌU(O, r),
其中O是坐标原点, 则称E为有界点集.
无界集: 一个集合如果不是有界集, 就称这集合为无界集.
例如, 集合{(x, y)|1£x2+y2£2}是有界闭区域; 集合{(x, y)| x+y>1}是无界开区域;
集合{(x, y)| x+y³1}是无界闭区域.
2. n维空间
设n为取定的一个自然数, 我们用Rn表示n元有序数组(x1, x2, × × × , xn)的全体所构成的集合, 即
Rn=R´R´× × ×´R={(x1, x2, × × × , xn)| xiÎR, i=1, 2, × × ×, n}.
Rn中的元素(x1, x2, × × × , xn)有时也用单个字母x来表示, 即x=(x1, x2, × × × , xn). 当所有的xi (i=1, 2, × × ×, n)都为零时, 称这样的元素为Rn中的零元, 记为0或O . 在解析几何中, 通过直角坐标, R2(或R3)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应, 因而Rn中的元素x=(x1, x2, × × × , xn)也称为Rn中的一个点或一个n维向量, xi称为点x的第i个坐标或n维向量x的第i个分量. 特别地, Rn中的零元0称为Rn中的坐标原点或n维零向量.
为了在集合Rn中的元素之间建立联系, 在Rn中定义线性运算如下:
设x=(x1, x2, × × × , xn), y=(y1, y2, × × × , yn)为Rn中任意两个元素, lÎR, 规定
x+y=(x1+ y1, x2+ y2, × × × , xn+ yn), lx=(lx1, lx2, × × × , lxn).
这样定义了线性运算的集合Rn称为n维空间.
Rn中点x=(x1, x2, × × × , xn)和点 y=(y1, y2, × × × , yn)间的距离, 记作r(x, y), 规定
.
显然, n=1, 2, 3时, 上述规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间中两点间的距离一至.
Rn中元素x=(x1, x2, × × × , xn)与零元0之间的距离r(x, 0)记作||x||(在R1、R2、R3中, 通常将||x||记作|x|), 即
.
采用这一记号, 结合向量的线性运算, 便得
.
在n维空间Rn中定义了距离以后, 就可以定义Rn中变元的极限:
设x=(x1, x2, × × × , xn), a=(a1, a2, × × × , an)ÎRn.
如果
||x-a||®0,
则称变元x在Rn中趋于固定元a, 记作x®a .
显然,
x®a Û x1®a1, x2®a2, × × × , xn®an .
在Rn中线性运算和距离的引入, 使得前面讨论过的有关平面点集的一系列概念, 可以方便地引入到n(n³3)维空间中来, 例如,
设a=(a1, a2, × × × , an)ÎRn, d是某一正数, 则n维空间内的点集
U(a, d)={x| xÎ Rn, r(x, a)<d}
就定义为Rn中点a的d邻域. 以邻域为基础, 可以定义点集的内点、外点、边界点和聚点, 以及开集、闭集、区域等一系列概念.
二. 多元函数概念
例１ 圆柱体的体积V 和它的底半径r、高h之间具有关系
V =pr2h.
这里, 当r、h在集合{(r , h) | r>0, h>0}内取定一对值(r , h)时, V对应的值就随之确定.
例2 一定量的理想气体的压强p、体积V和绝对温度T之间具有关系
,
其中R为常数. 这里, 当V、T在集合{(V ,T) | V>0, T>0}内取定一对值(V, T)时, p的对应值就随之确定.
例3 设R 是电阻R1、R2并联后的总电阻, 由电学知道, 它们之间具有关系
.
这里, 当R1、R2在集合{( R1, R2) | R1>0, R2>0}内取定一对值( R1 , R2)时, R的对应值就随之确定.
定义1 设D是R2的一个非空子集, 称映射f : D®R为定义在D上的二元函数, 通常记为
z=f(x, y), (x, y)ÎD (或z=f(P), PÎD)
其中点集D称为该函数的定义域, x, y称为自变量, z称为因变量.
上述定义中, 与自变量x、y的一对值(x, y)相对应的因变量z的值, 也称为f在点(x, y)处的函数值, 记作f(x, y), 即z=f(x, y).
值域: f(D)={z| z=f(x, y), (x, y)ÎD}.
函数的其它符号: z=z(x, y), z=g(x, y)等.
类似地可定义三元函数u=f(x, y, z), (x, y, z)ÎD以及三元以上的函数.
一般地, 把定义1中的平面点集D换成n维空间Rn内的点集D, 映射f : D®R就称为定义在D上的n元函数, 通常记为
u=f(x1, x2, × × × , xn), (x1, x2, × × × , xn)ÎD,
或简记为
u=f(x), x=(x1, x2, × × × , xn)ÎD,
也可记为
u=f(P), P(x1, x2, × × × , xn)ÎD .
关于函数定义域的约定: 在一般地讨论用算式表达的多元函数u=f(x)时, 就以使这个算式有意义的变元x的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域. 因而, 对这类函数, 它的定义域不再特别标出. 例如,
函数z=ln(x+y)的定义域为{(x, y)|x+y>0}(无界开区域);
函数z=arcsin(x2+y2)的定义域为{(x, y)|x2+y2£1}(有界闭区域).
二元函数的图形: 点集{(x, y, z)|z=f(x, y), (x, y)ÎD}称为二元函数z=f(x, y)的图形, 二元函数的图形是一张曲面.
例如 z=ax+by+c是一张平面, 而函数z=x2+y2的图形是旋转抛物面.
三. 多元函数的极限
与一元函数的极限概念类似, 如果在P(x, y)®P0(x0, y0)的过程中, 对应的函数值f(x, y)无限接近于一个确定的常数A, 则称A是函数f(x, y)当(x, y)®(x0, y0)时的极限.
定义2
设二元函数f(P)=f(x, y)的定义域为D, P0(x0, y0)是D的聚点. 如果存在常数A, 对于任意给定的正数e总存在正数d, 使得当时, 都有
|f(P)-A|=|f(x, y)-A|<e
成立, 则称常数A为函数f(x, y)当(x, y)®(x0, y0)时的极限, 记为
, 或f(x, y)®A ((x, y)®(x0, y0)),
也记作
或f(P)®A(P®P0).
上述定义的极限也称为二重极限.
例4. 设, 求证.
证 因为
,
可见"e >0, 取, 则当
,
即时, 总有
|f(x, y)-0|<e,
因此.
必须注意:
(1)二重极限存在, 是指P以任何方式趋于P0时, 函数都无限接近于A.
(2)如果当P以两种不同方式趋于P0时, 函数趋于不同的值, 则函数的极限不存在.
讨论:
函数在点(0, 0)有无极限？
提示: 当点P(x, y)沿x轴趋于点(0, 0)时,
;
当点P(x, y)沿y轴趋于点(0, 0)时,
.
当点P (x, y)沿直线y=kx有
.
因此, 函数f(x, y)在(0, 0)处无极限.

极限概念的推广: 多元函数的极限.
多元函数的极限运算法则: 与一元函数的情况类似.
例5 求.
解: =1´2=2.
四. 多元函数的连续性
定义3 设二元函数f(P)=f (x, y)的定义域为D, P0(x0, y0)为D的聚点, 且P0ÎD . 如果
,
则称函数f (x, y)在点P0(x0, y0)连续.
如果函数f (x, y)在D的每一点都连续, 那么就称函数f (x, y)在D上连续, 或者称f (x, y)是D上的连续函数.
二元函数的连续性概念可相应地推广到n元函数f(P)上去.
例6设f(x,y)=sin x, 证明f(x, y)是R2上的连续函数.
证 设P0(x0, y0)Î R2. "e>0, 由于sin x在x0处连续, 故$d>0, 当|x-x0|<d时, 有
|sin x-sin x0|<e.
以上述d作P0的d邻域U(P0, d), 则当P(x, y)ÎU(P0, d)时, 显然
|f(x, y)-f(x0, y0)|=|sin x-sin x0|<e,
即f(x, y)=sin x在点P0(x0, y0) 连续. 由P0的任意性知, sin x作为x, y的二元函数在R2上连续.
证 对于任意的P0(x0, y0)ÎR2. 因为
,
所以函数f(x,y)=sin x在点P0(x0, y0)连续. 由P0的任意性知, sin x作为x, y的二元函数在R2上连续.
类似的讨论可知, 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时, 它们在各自的定义域内都是连续的.
定义4设函数f(x, y)的定义域为D, P0(x0, y0)是D的聚点. 如果函数f(x, y)在点P0(x0, y0)不连续, 则称P0(x0, y0)为函数f(x, y)的间断点.
例如
函数,
其定义域D=R2, O(0, 0)是D的聚点. f(x, y)当(x, y)®(0, 0)时的极限不存在, 所以点O(0, 0)是该函数的一个间断点.
又如, 函数, 其定义域为D={(x, y)|x2+y2¹1}, 圆周C={(x, y)|x2+y2=1}上的点都是D的聚点, 而f(x, y)在C上没有定义, 当然f(x, y)在C上各点都不连续, 所以圆周C上各点都是该函数的间断点.
注: 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点.
可以证明, 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数; 连续函数的商在分母不为零处仍连续; 多元连续函数的复合函数也是连续函数.
多元初等函数: 与一元初等函数类似, 多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数, 这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的.
例如, sin(x+y), 都是多元初等函数.
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的. 所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.
由多元连续函数的连续性, 如果要求多元连续函数f(P)在点P0处的极限, 而该点又在此函数的定义区域内, 则
.
例7 求.
解: 函数是初等函数, 它的定义域为
D={(x, y)|x¹0, y¹0}.
P0(1, 2)为D的内点, 故存在P0的某一邻域U(P0)ÌD, 而任何邻域都是区域, 所以U(P0)是f(x, y)的一个定义区域, 因此
.
一般地, 求时, 如果f(P)是初等函数, 且P0是f(P)的定义域的内点, 则f(P)在点P0处连续, 于是
.
例8 求.
解: .
多元连续函数的性质:
性质1 (有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数, 必定在D上有界, 且能取得它的最大值和最小值.
性质1就是说, 若f(P)在有界闭区域D上连续, 则必定存在常数M>0, 使得对一切PÎD, 有|f(P)|£M; 且存在P1、P 2ÎD, 使得
f(P1)=max{f(P)|PÎD}, f(P2)=min{f(P)|PÎD},
性质2 (介值定理) 在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值.

§9. 2 偏导数
一、教学目的与要求：
1．理解多元函数偏导数概念，偏导数的计算。
2．了解高阶偏导数的定义和算法。
二、重点（难点）：偏导数计算
三、教学方式：讲授式教学结合多媒体

讲授内容：
一、偏导数的定义及其计算法
对于二元函数z=f(x, y), 如果只有自变量x 变化, 而自变量y固定, 这时它就是x的一元函数, 这函数对x的导数, 就称为二元函数z=f(x, y)对于x的偏导数.　　
定义 设函数z=f(x, y)在点(x0, y0)的某一邻域内有定义, 当y固定在y0而x在x0处有增量Dx时, 相应地函数有增量
f(x0+Dx, y0)-f(x0, y0).
如果极限

存在, 则称此极限为函数z=f(x, y)在点(x0, y0)处对x的偏导数, 记作
, , , 或.　　
例如
.
类似地, 函数z=f(x, y)在点(x0, y0)处对y 的偏导数定义为
,
记作 , , , 或fy(x0, y0).
偏导函数: 如果函数z=f(x, y)在区域D内每一点(x, y)处对x的偏导数都存在, 那么这个偏导数就是x、y的函数, 它就称为函数z=f(x, y)对自变量的偏导函数, 记作
, , , 或.
偏导函数的定义式: .
类似地, 可定义函数z=f(x, y)对y的偏导函数, 记为
, , zy , 或.
偏导函数的定义式: .
求时, 只要把y暂时看作常量而对x求导数; 求时, 只要把x暂时看作常量而对y求导数.
讨论: 下列求偏导数的方法是否正确？
, .
, .
偏导数的概念还可推广到二元以上的函数. 例如三元函数u=f(x, y, z)在点(x, y, z)处对x的偏导数定义为
,
其中(x, y, z)是函数u=f(x, y, z)的定义域的内点. 它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题.
例1 求z=x2+3xy+y2在点(1, 2)处的偏导数.　　
解 , .　, .　　
例2 求z=x2sin 2y的偏导数.　　
解 , .　　
例3 设, 求证: .　　
证 , .
.　　
例4 求的偏导数.
解 ; .　　
例5 已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数),
求证: .
证 因为, ;
, ;
, ; 　
所以.　　
例5 说明的问题: 偏导数的记号是一个整体记号, 不能看作分子分母之商.　　
二元函数z=f(x, y)在点(x0, y0)的偏导数的几何意义:
fx(x0, y0)=[f(x, y0)]x¢是截线z=f(x, y0)在点M0处切线Tx对x轴的斜率.
fy(x0, y0) =[f(x0, y)]y¢是截线z=f(x0, y)在点M0处切线Ty对y轴的斜率.
偏导数与连续性: 对于多元函数来说, 即使各偏导数在某点都存在, 也不能保证函数在该点连续. 例如

在点(0, 0)有, fx(0, 0)=0, fy(0, 0)=0, 但函数在点(0, 0)并不连续.　　
提示:
, ;
, .
当点P(x, y)沿x轴趋于点(0, 0)时, 有
;
当点P(x, y)沿直线y=kx趋于点(0, 0)时, 有
.
因此, 不存在, 故函数f(x, y)在(0, 0)处不连续.
类似地, 可定义函数z=f(x, y)对y的偏导函数, 记为
, , zy , 或.
偏导函数的定义式: .
二. 高阶偏导数
设函数z=f(x, y)在区域D内具有偏导数
, ,
那么在D内fx(x, y)、fy(x, y)都是x, y 的函数. 如果这两个函数的偏导数也存在, 则称它们是函数z=f(x, y)的二偏导数. 按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数
如果函数z=f(x, y)在区域D内的偏导数fx(x, y)、fy(x, y)也具有偏导数,
则它们的偏导数称为函数z=f(x, y)的二阶偏导数. 按照对变量求导次序的
不同有下列四个二阶偏导数
, ,
, .　　

其中, 称为混合偏导数.　
, , , .　　
　同样可得三阶、四阶、以及n 阶偏导数.　
　二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.　　
例6 设z=x3y2-3xy3-xy+1, 求、、和. 　
解 , ;
, ;
, .
由例6观察到的问题:
定理 如果函数z=f(x, y)的两个二阶混合偏导数及在区域D内连续, 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.

类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数.　　
例7 验证函数满足方程.　　
证 因为, 所以
, ,
,
.　　
因此 .　　
例8．证明函数满足方程,
其中.　
证: ,
.　　
同理 , .　　
因此　　
.
提示: .　

§9. 3 全微分及其应用
一、教学目的与要求：
1．理解多元函数全微分的概念，会求全微分。
2．了解全微分存在的必要条件和充分条件。
二、重点（难点）：多元函数连续、可偏导及可微分之间的关系
三、教学方式：讲授式教学结合多媒体

讲授内容：
一、全微分的定义
根据一元函数微分学中增量与微分的关系, 有
偏增量与偏微分:
f(x+Dx, y)-f(x, y)»fx(x, y)Dx,
f(x+Dx, y)-f(x, y)为函数对x的偏增量, f x(x, y)Dx为函数对x的偏微分;
f(x, y+Dy)-f(x, y)»fy(x, y)Dy,
f(x, y+Dy)-f(x, y)为函数)对y的偏增量, f y(x, y)Dy为函数对y的偏微分.
全增量: Dz= f(x+Dx, y+Dy)-f(x, y).
计算全增量比较复杂, 我们希望用Dx、Dy的线性函数来近似代替之.
定义 如果函数z=f(x, y)在点(x, y)的全增量
Dz= f(x+Dx, y+Dy)-f(x, y)
可表示为
,
其中A、B不依赖于Dx、Dy 而仅与x、y 有关, 则称函数z=f(x, y)在点(x, y)可微分, 而称ADx+BDy为函数z=f(x, y)在点(x, y)的全微分, 记作dz, 即
dz=ADx+BDy.
如果函数在区域D内各点处都可微分, 那么称这函数在D内可微分.
可微与连续: 可微必连续, 但偏导数存在不一定连续.
这是因为, 如果z=f(x, y)在点(x, y)可微, 则
Dz= f(x+Dx, y+Dy)-f(x, y)=ADx+BDy+o(r),
于是 ,
从而 .
因此函数z=f(x, y)在点(x, y)处连续.
可微条件:
定理1(必要条件)
如果函数z=f(x, y)在点(x, y)可微分, 则函数在该点的偏导数、必定存在, 且函数z=f(x, y)在点(x, y)的全微分为 .
证 设函数z=f(x, y)在点P(x, y)可微分. 于是, 对于点P的某个邻域内的任意一点P ¢(x+Dx, y+Dy), 有Dz=ADx+BDy+o(r). 特别当Dy=0时有
f (x+Dx, y)-f(x, y)=ADx+o(|Dx|).
上式两边各除以Dx, 再令Dx®0而取极限, 就得
,
从而偏导数存在, 且. 同理可证偏导数存在, 且. 所以
.
简要证明: 设函数z=f(x, y)在点(x, y)可微分. 于是有Dz=ADx+BDy+o(r). 特别当Dy=0时有
f (x+Dx, y)-f(x, y)=ADx+o(|Dx|).
上式两边各除以Dx, 再令Dx®0而取极限, 就得
,
从而存在, 且. 同理存在, 且. 所以.
偏导数、存在是可微分的必要条件, 但不是充分条件.
例如,
函数在点(0, 0)处虽然有f x(0, 0)=0及f y(0, 0)=0, 但函数在(0, 0)不可微分, 即Dz-[fx(0, 0)Dx+fy(0, 0)Dy]不是较r高阶的无穷小.
这是因为当(Dx, Dy)沿直线y=x趋于(0, 0)时,
.
定理2(充分条件)
如果函数z=f(x, y)的偏导数、在点(x, y)连续, 则函数在该点可微分.
定理1和定理2的结论可推广到三元及三元以上函数.
按着习惯, Dx、Dy分别记作dx、dy, 并分别称为自变量的微分, 则函数z=f(x, y)的全微分可写作
.
二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理. 叠加原理也适用于二元以上的函数, 例如函数u=f (x, y, z) 的全微分为
.
例1 计算函数z=x2y +y2的全微分.
解 因为, ,
所以dz=2xydx+(x2+2y)dy .
例2 计算函数z=exy在点(2, 1)处的全微分.
解 因为, ,
, ,
所以 dz=e2dx+2e2dy .
例3 计算函数的全微分.
解 因为, , ,
所以 .

§9. 4 多元复合函数的求导法则
一、教学目的与要求：
1．掌握多元复合函数导数的求法。
2．了解全微分形式的不变性。
二、重点（难点）：多元复合函数导数的求法
三、教学方式：讲授式教学结合多媒体

讲授内容：
设z=f(u, v), 而u=j(t), v=y(t), 如何求？
设z=f(u, v), 而u=j(x, y), v=y(x, y), 如何求和？
1. 复合函数的中间变量均为一元函数的情形
定理1 如果函数u=j(t)及v=y(t)都在点t可导, 函数z=f(u, v)在对应点(u, v)具有连续偏导数, 则复合函数z=f[j(t), y(t)]在点t可导, 且有
.
简要证明1: 因为z=f(u, v)具有连续的偏导数, 所以它是可微的, 即有
.
又因为u=j(t)及v=y(t)都可导, 因而可微, 即有
, ,
代入上式得
,
从而 .
简要证明2: 当t取得增量Dt时, u、v及z相应地也取得增量Du、Dv及Dz . 由z=f(u, v)、u=j(t)及v=y(t)的可微性, 有

,
,
令Dt®0, 上式两边取极限, 即得
.
注:.
推广: 设z=f (u, v, w), u=j(t), v=y(t), w=w(t), 则z=f[j(t), y(t), w(t)]对t 的导数为:
.
上述称为全导数.

2. 复合函数的中间变量均为多元函数的情形
定理2 如果函数u=j(x, y), v=y(x, y)都在点(x, y)具有对x及y的偏导数, 函数z=f(u, v)在对应点(u, v)具有连续偏导数, 则复合函数z=f [j(x, y), y(x, y)]在点(x, y)的两个偏导数存在, 且有
, .
推广: 设z=f(u, v, w ), u=j(x, y), v=y(x, y), w=w(x, y), 则
, .
讨论:
(1)设z=f(u, v), u=j(x, y), v=y(y), 则？？
提示: , .
(2)设z=f(u, x, y), 且u=j(x, y), 则？？
提示: , .
这里与是不同的, 是把复合函数z=f[j(x, y), x, y]中的y看作不变而对x的偏导数, 是把f(u, x, y)中的u及y看作不变而 对x的偏导数. 与也朋类似的区别.
3．复合函数的中间变量既有一元函数, 又有多元函数的情形
定理3 如果函数u=j(x, y)在点(x, y)具有对x及对y的偏导数, 函数v=y(y)在点y可导, 函数z=f(u, v)在对应点(u, v)具有连续偏导数, 则复合函数z=f[j(x, y), y(y)]在点(x, y)的两个偏导数存在, 且有
, .
例1 设z=eusin v, u=xy, v=x+y, 求和.
解
=eusin v×y+eucos v×1
=ex y[y sin(x+y)+cos(x+y)],

=eusin v×x+eucos v×1
=exy[x sin(x+y)+cos(x+y)].
例2 设, 而. 求和.
解

.

.
例3 设z=uv+sin t , 而u=et, v=cos t. 求全导数.
解
=v×et+u×(-sin t)+cos t
=etcos t-e tsin t+cos t
=et(cos t-sin t)+cos t .
例4 设w=f(x+y+z, xyz), f具有二阶连续偏导数, 求及.
解 令u=x+y+z, v=xyz , 则w=f(u, v).
引入记号: , ; 同理有,,等.
,

.
注: , .
例5 设u=f(x, y)的所有二阶偏导数连续, 把下列表达式转换成极坐标系中的形式:
(1); (2).
解 由直角坐标与极坐标间的关系式得
u=f(x, y)=f(rcosθ, rsinθ)=F(r, θ),
其中x=rcosθ, y=rsinθ, , .
应用复合函数求导法则, 得
,
.
两式平方后相加, 得
.
再求二阶偏导数, 得

.
同理可得
.
两式相加, 得
.

全微分形式不变性: 设z=f(u,