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第四节 总体分布函数的假设检验
上两节中，我们在总体分布形式为已知的前提下，讨论了参数的检验问题.然而在实际问题中，有时不能确知总体服从什么类型的分布，此时就要根据样本来检验关于总体分布的假设.例如检验假设：“总体服从正态分布”等.本节仅介绍检验法.
所谓检验法是在总体的分布为未知时，根据样本值x1，x2，…，xn来检验关于总体分布的假设
H0：总体X的分布函数为F（x）；
H1：总体X的分布函数不是F（x） （8.22）
的一种方法（这里的备择假设H1可不必写出）.
注意，若总体X为离散型，则假设（8.22）相当于
H0：总体X的分布律为P{X=xi}=pi，i=1，2，…；（8.23）
若总体X为连续型，则假设（8.22）相当于
H0：总体X的概率密度为f（x）. （8.24）
在用检验法检验假设H0时，若在假设H0下F（x）的形式已知，而其参数值未知，此时需先用极大似然估计法估计参数，然后再作检验.
检验法的基本思想与方法如下：
(1) 将随机试验可能结果的全体Ω分为k个互不相容的事件A1，A2，…，Ak(=Ω，AiAj=Æ，i≠j；i,j=1,2,…,k）,于是在H0为真时，可以计算概率=P(Ai）（i=1，2，…，k）.
（2） 寻找用于检验的统计量及相应的分布，在n次试验中，事件Ai出现的频率与概率往往有差异，但由大数定律可以知道，如果样本容量n较大（一般要求n至少为50，最好在100以上），在H0成立条件下的值应该比较小，基于这种想法，皮尔逊使用
= (8.25)
作为检验H0的统计量,并证明了如下的定理.
定理8.1 若n充分大(n≥50),则当H0为真时(不论H0中的分布属什么分布),统计量(8.25)总是近似地服从自由度为k-r-1的分布,其中r是被估计的参数的个数.
（3） 对于给定的检验水平α，查表确定临界值使
P{＞）}=α，
从而得到H0的拒绝域为
＞）.
（4）由样本值x1，x2，…，xn计算的值，并与比较.
（5） 作结论：若＞，则拒绝H0，即不能认为总体分布函数为F（x）；否则接受H0.
例8.10 一本书的一页中印刷错误的个数X是一个随机变量，现检查了一本书的100页，记录每页中印刷错误的个数，其结果如表8-5所示.
表8-5
错误个数i
0
1
2
3
4
5
6
≥7
页数fi
36
40
19
2
0
2
1
0
Ai
A 0
A 1
A 2
A 3
A 4
A 5
A 6
A7
其中fi是观察到有i个错误的页数.问能否认为一页书中的错误个数X服从泊松分布(取α=0.05)?
解 由题意首先提出假设：
H0：总体X服从泊松分布.
P{X=i}=，i=0，1，2，…，
这里H0中参数λ为未知，所以需先来估计参数.由最大似然估计法得
=1.
将试验结果的全体分为A0，A1，…，A7两两不相容的事件.若H0为真，则P{X=i}有估计
，i=0，1，2，….
例如

………………

计算结果如表8-6所示.将其中有些npi＜5的组予以适当合并，使新的每一组内有npi≥5，如表8-6所示，此处并组后k=4，但因在计算概率时，估计了一个未知参数λ，故

计算结果为=1.460(表8-6).因为=5.991＞1.46，所以在显著性水平为0.05下接受H0，即认为总体服从泊松分布.
表8-6
Ai
fi

A0
36
e-1
36.788
-0.788
0.017
A1
40
e-1
36.788
3.212
0.280
A2
19
e-1/2
18.394
0.606
0.020
A3
A4
A5
A6
A7

2
0
2
1
0

e-1/6
e-1/24
e-1/120
e-1/720

6.131
1.533
0.307
0.051
0.008
-3.03
1.143

Σ
1.460
例8.11 研究混凝土抗压强度的分布.200件混凝土制件的抗压强度以分组形式列出（表8-7）.n==200.要求在给定的检验水平α=0.05下检验假设
H0：抗压强度X~N（μ，σ2）.
表8-7
压强区间(×98kPa)
频数fi
190~200
10
200~210
26
210~220
56
220~230
64
230~240
30
240~250
14
解 原假设所定的正态分布的参数是未知的，我们需先求μ与σ2的极大似然估计值.由第七章知，μ与σ2的极大似然估计值为
，
.
设为第i组的组中值，我们有
=221,
=152,
=12.33.
原假设H0改写成X是正态N（221，12.332)分布，计算每个区间的理论概率值
, i=1，2，…，6,
其中
,
.
为了计算出统计量之值，我们把需要进行的计算列表如下（表8-8）.
表8-8
压强区间X
频数fi
标准化区间［μi，μi+1］

190~200
10
（-∞，-1.70）
0.045
9
1
0.11
200~210
26
［-1.70,-0.89)
0.142
28.4
5.76
0.20
210~220
56
［-0.89,-0.08)
0.281
56.2
0.04
0.00
220~230
64
［-0.08,0.73)
0.299
59.8
17.64
0.29
230~240
30
［0.73,1.54)
0.171
34.2
17.64
0.52
240~250
14
［1.54,+∞)
0.062
12.4
2.56
0.23
Σ

1.000
200

1.35
从上面计算得出的观察值为1.35.在检验水平α=0.05下，查自由度m=6-2-1=3的分布表，得到临界值=7.815.由于=1.35＜7.815=，不能拒绝原假设，所以认为混凝土制件的抗压强度的分布是正态分布N（221，152）.
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