1、蚌埠市高三年级数学(理)试卷第 1页(共 4 页)蚌 埠 市 2020 届 高 考 模 拟 考 试数学(理工类)本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的 A、B、C、D 的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)1 已知i2 iz ,则复数z在复平面内对应的点位于A.第
2、一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2 已知集合26,3,2,1,2,3,5,56,ABxxxx Z,则AB A.2,3,6B.3,2C.5,1D.5,3,2,13已知命题:0,sin2pxxx,则p为A.0,sin2xxx B.0,sin2xxx C.0000,sin2xxxD.0000,sin2xxx4已知3.03133,2log2,31logcba,则A.cbaB.bcaC.bacD.acb5.2019 年以来,世界经济和贸易增长放缓,中美经贸摩擦影响持续显现,我国对外贸易仍然表现出很强的韧性.今年以来,商务部会同各省市全面贯彻落实稳外贸决策部署,出台了一系列政策举措,全力营造法治
3、化、国际化、便利化的营商环境,不断提高贸易便利化水平,外贸稳规模、提质量、转动力取得阶段性成效,进出口保持稳中提质的发展势头,右图是某省近五年进出口情况统计图,下列描述错误的是A这五年,2015 年出口额最少B.这五年,出口总额比进口总额多C这五年,出口增速前四年逐年下降D.这五年,2019 年进口增速最快6.函数 tanlnfxxxx在2,00,2内的图象大致是第5题图蚌埠市高三年级数学(理)试卷第 2页(共 4 页)7已知双曲线222:10yC xbb右焦点为F,圆221xy与双曲线 C 的渐近线在第一象限内的交点为 M,OMF 面积为2,则双曲线C的渐近线方程为A.2 2yx B.2yx
4、 C.22yx D.24yx 8 在ABC中,D为BC上一点,E为线段AD的中点,若2BDDC,且BExAByAC ,则xyA.23B.12C.13D.139.北京 2022 年冬奥会和冬残奥会色彩系统的主色包括霞光红、迎春黄、天霁蓝、长城灰、瑞雪白;间色包括天青、梅红、竹绿、冰蓝、吉柿;辅助色包括墨、金、银.若各赛事纪念品的色彩设计要求:主色至少一种、至多两种,间色两种、辅助色一种,则某个纪念品的色彩搭配中包含有瑞雪白、冰蓝、银色这三种颜色的概率为A.8225B.245C.115D.21510.已知函数 3sincosRfxxx x,将 xfy 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的21倍(纵坐
5、标不变),再将得到的图象上所有点向右平行移动6个单位长度,得到 xgy 的图象,则以下关于函数 xgy 的结论正确的是A.若12,x x是 g x的零点,则12xx是2的整数倍B.函数 g x在区间,4 4上单调递增C.点3,04是函数 g x图象的对称中心D.3x 是函数 g x图象的对称轴11.已知正方体1111DCBAABCD 棱长为 4,P是1AA中点,过点1D作平面,满足CP平面,则平面与正方体1111DCBAABCD 的截面周长为A.4 56 2B.12 2C.8 28D.8 512.已知O为坐标原点,抛物线pxyC2:2上一点 A 到焦点 F 的距离为 4,若点M为抛物线C准线上
6、的动点,给出以下命题:当MAF为正三角形时,p的值为 2;存在M点,使得0MA MF;若3MFFA,则p等于 3;OMMA的最小值为2 13,则p等于 4 或 12.其中正确的是A.B.C.D.第 11 题图蚌埠市高三年级数学(理)试卷第 3页(共 4 页)213)(2iipxx二、填空题:本题共 4 4 小题,每小题 5 5 分,共 2020 分。13.若直线yxa是曲线ln 2yx的切线,则实数a=_.14.82020111xxx的展开式中,3x的系数为_.(用数字回答)15.已知定义在R上的偶函数 f x满足2fxfx,且在1,2上的表达式为 22xf x,则函数 f x与 2log,0
7、,0,x xg xxx的图象的交点的个数为_.16.在ABC中,设角,A B C的对边分别是,a b c,若sinsinsin2ACB,则11sinsinAC的最小值为_.三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共 6060 分。17.(12 分)已知数列 na和 nb,12a,111nnba,12nnab,(1)证明:12nb是等比数列;(2)若12nnnnb bc,求数列 nc的前 n 项和nS.18.(12 分)某省为迎接新高考,拟先对考生某选考学科的实
8、际得分进行等级赋分,再按赋分后的分数从高分到低分划 A,B,C,D,E 五个等级,考生实际得分经赋分后的分数在 30 分到 100 分之间.在等级赋分科学性论证时,对过去一年全省高考考生的该学科成绩重新赋分后进行分析,随机抽取 2000名学生的该学科赋分后的成绩,得到如下频率分布直方图.(不考虑缺考考生的试卷)附:若2(,)XN,则0.6826PX,220.9544PX,330.9974PX,21314.59,第 18 题图蚌埠市高三年级数学(理)试卷第 4页(共 4 页)(1)求这 2000 名考生赋分后该学科的平均分x(同一组中数据用该组区间中点作代表);(2)由频率分布直方图可以认为,学
9、生经过赋分以后的成绩X服从正态分布2(,)XN,其中近似为样本平均数x,2近似为样本方差2s.(i)利用正态分布,求(50.4179.59)PX,(ii)某市有 20000 名高三学生,记Y表示这 20000 名高三学生中赋分后该学科等级为 A 等(即得分大于79.59)的学生数,利用(i)的结果,求EY.19.(12 分)如图,等腰直角三角形ABC所在的平面与半圆弧AB所在的平面垂直,ACAB,P是弧AB上一点,且30PAB.(1)证明:平面BCP平面ACP;(2)若Q是弧AP上异于PA,的一个动点,当三棱锥APQC 体积最大时,求二面角CPQA的余弦值.20.(12 分)已知M是椭圆222
10、2:10 xyCabab()上一点,12,F F分别为椭圆C的左、右焦点,且122FF,123FMF,12FMF的面积为3.(1)求椭圆C的方程;(2)直线 l 过椭圆 C 右焦点2F,交该椭圆于 A,B 两点,AB 中点为Q,射线OQ交椭圆于P,记AOQ的面积为1S,BPQ的面积为2S,若213SS,求直线 l 的方程.21.(12 分)已知函数 e1sinxf xax(aR).(1)当0,x时,0f x 恒成立,求实数a的取值范围;(2)当1a 时,数列 na满足:01na,1nnaf a,求证:na是递减数列.(参考数据:sin10.84)(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、2
11、3 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。22.选修 44:坐标系与参数方程(10 分)在直角坐标系xOy中,四边形OABC是正方形,其中(2,0)A,(0,2)C,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线E的极坐标方程为2cos.(1)求曲线E的直角坐标方程和直线 AC 的极坐标方程;(2)点Q是曲线 E 上的动点,求22QCQA 的取值范围.23.选修 45:不等式选讲(10 分)已知函数()|21|2|f xxxa(1)若1a ,求()f x的最大值;(2)若()20f x 恒成立,求a的范围.第 19 题图蚌埠市高三年级数学(理)答案第 1页(共 4 页)蚌 埠
12、 市 2020 届 高 考 模 拟 考 试数学(理工类)参考答案及评分标准一、选择题:题号123456789101112答案CDDBCAABBDAC二、填空题:13.ln2 114.9815.616.4 33三、解答题:17.(本题满分 12 分)解:(1)111nnba,12nnab,212111nbbnn,2121211nnbb,2 分又21a,11111ab,解得2121,3211bb,3 分12nb是以21为首项,21为公比的等比数列.5 分(2)由(1)知nnnb212121211,则1221nnnb,6 分121121121222212111nnnnnnnnnbbc,1211211
13、21121121121214332nnnS121312n18.(本题满分 12 分)解:(1)依题意,35 0.0545 0.1075 55 0.1965 0.3 75 0.2x 85 0.102595 0.05 2 分654 分(2)(i)由(1)可知,(65,213)XN,6 分所以(50.4179.59)0.6826PXPX8 分8 分12 分蚌埠市高三年级数学(理)答案第 2页(共 4 页).31741587.020000人所以EY(ii)因为1(79.59)0.15872PXP X,10 分12 分19.(本题满分 12 分)解:(1)平面 ABC平面 ABP,ACAB,平面 ABC
14、平面 ABP=AB,,ABCAC平面,ABPAC平面2 分又,BPACABPBP 平面3 分,BPAPAB为直径又,AAPACBPAC,ACPBP平面5 分又.,ACPBCPBCPBP平面平面平面6 分(2),ACPACAPQAC平面平面平面 ACP平面 AQP当三棱锥 C-APQ 体积最大时,Q 为AP的中点.7 分PABAQ QP BP,6,且3QAB设ABAC4,则2 3AQBPAP2,故以A为原点,ABAC,分别为 x 轴,y 轴正方向,建立空间直角坐标系xyzA则0,0,0,4,0,0,0,1,3,0,3,3ACQP,4,0,04,3,30,2,0ACPCPQ ,9 分设平面PQC的
15、法向量为,x y zm,则00PCPQmm,即33020 xyzy4,可得平面PQC的一个法向量3,0 4m,易知AC为平面 APQ 的一个法向量,4 357cos,194 30 16ACACACmmm,11 分APQC二面角 的余弦值为5719.12 分20.(本题满分 12 分)解:(1)由122FF 可知1c.设,21nMFmMF则2mna.由123FMF与123FMFS,可得1sin323mn,即4mn,2 分又在12FMF中结合余弦定理得,2242cos3mnmn,即24()3mnmn,得4mn,4 分所以2a,故23b,所以椭圆C的方程为22143xy.6 分蚌埠市高三年级数学(理
16、)答案第 3页(共 4 页)(2)213,SS11|sin3|sin22PQ QBBQPOQ QAAQO|3|PQOQ即|4|4,PQOPOQxx,从而8分当AB斜率不存在时,12SS,不符合题意;当AB斜率存在时,设直线AB的方程为1yk x,设点1122(,),(,)A x yB xy,则22112222143143xyxy,两式作差可得1212121234yyyyxxxx,即34ABOPkk,即34OPkk.故直线OP的方程为34yxk.10 分联立2234143yxkxy,解得2221634Pkxk;联立134yk xyxk,解得22434Qkxk;因为4,PQxx所以22243444
17、34kkkk,解得12k ,直线AB方程为112yx.12 分21.(本题满分 12 分)解:(1)因为0,x,ecos,esinxxfxaxfxax.当0a 时,即0a,sin0,sin0 xax,又e10 x,e1sin0 xax,即 0f x 恒成立,符合题意;2 分 当01a时,esin0 xfxax fx在区间0,单调递增,010,(0)0fafxf,f x在区间0,单调递增,00,(0)0ff xf,符合题意;4 分 当1a 时,esin0 xfxax fx在区间0,单调递增,2010,=e02faf,000,0 xfx使,且 00,0,xxfxf x当时单调递减,0,0,xxfx
18、f x当时单调递增,000f xf,不符合题意;综上所述,a的范围是,1.6 分(2)由题意,1a,e1 sin,0,1xf xx x,令 e1 sinxg xf xxxx,ecos1xgxx,蚌埠市高三年级数学(理)答案第 4页(共 4 页)esin0 xgxx,gx在区间0,1单调递增,8 分011cos)1(,01)0(egg,110,1,0 xgx使,10,0,xx gxg x单调递减,11,0,xxgxg x单调递增,00,1e 1 sin1 1e20.840gg ,0g x,即当 0,1,xf xx,10 分由(1)知 e1 sin,0,1xf xx x 单调递增,01na,10(
19、0)()(1)1 sin1 1nnfaf afe 而,0)(1nnnnaafaa即1nnaa,故 na是递减数列.12 分22.(本题满分 10 分)解:(1)由2cos,得22 cos从而222xyx,故曲线E的直角方程为1)1(22yx.3 分(注:不化为标准形式不扣分)而直线 AC 的普通方程为2xy,所以其极坐标方程为cossin2.5 分(2)因为点 Q 在曲线E上,所以可设其坐标为(1 cos,sin),6 分则22|QAQC22(cos1)(sin)22(1 cos)(sin2)84sin.8 分因为1sin1,所以224|12QAQC,所以22|QAQC的取值范围是4,12.10 分23.(本题满分 10 分)解:(1)当1a 时,()|21|2|1|f xxx,1 分所以,当1x 时,()21 223f xxx ;2 分当112x 时,()21 22413f xxxx ;3 分当12x 时,()21 223f xxx .4 分所以()f x的最大值为3.5分(2)因为()|21|2|21|22|f xxxaxxa|(22)(1 2)|1 2|xaxa,7 分当 x=a 时等号成立.依题意|1 2|2a,所以1 3,2 2a.10 分(以上答案仅供参考,其它解法请参考以上评分标准酌情赋分)