高数一 9-10 多元函数微分学作业选解.pdf

多元函数微分学作业1选解1.求下列函数的定义域，并画出其图形:(1)z=ln(y-x2)+yjx-y+2；解：定义域D=(x,y)y-x2 0,x-y+20=(x,y)|x?y W x+2,其图形如图阴影部分所示.可用X型区域表示为 D=(x,)|-1 x 2,x2 x+2.多元函数微分学作业1选解1.求下列函数的定义域，并画出其图形:(2)z=_ 2,22 x+y-y+arcsm-；22 2解：定义域。：丁20 土土匕01,即 2D=(y)y2x2 0,y 0,x+6。，其图形如图阴影部分所示.可用丫型区域表示为D=(x,y)0 y4,-yfyx 一,(x 0k w 0)，k可见，当点(x,y)沿不同的直线y=日趋于点(0,0)时，函数趋 于不同的值，因此极限不存在.多元函数微分学作业1选解3.证明下列极限不存在：(2)lim 户 2.(x,y)f(0,0)X4+证明：当点(x,y)在曲线y=近2上时，%2 y Ax4 k，+y2-，+k2%4-1+k2，可见，当点(x,y)沿不同的曲线,=日2趋于点(o,o)时，函数趋 于不同的值，因此极限不存在.多元函数微分学作业2选解1.求下列函数的偏导数:(3)z=(1+xy)y.Az解：=y(l+xy)v-1-y=y2(l+xy)v-ox&=zln zf=(1+y ln(l+xy)foy=(1+xy)ln(l+xy)+l+多元函数微分学作业2选解4.设函数M=/(r)二阶可导,中 r=X2+/,求/(r).A21f 在且满足方程+型=4,其2解：包=_=工史=/，包=，dx+/r dx dx r 1%dr x dr y2 x2、)=(TT)/+一/(r)V=3/r)+/“).ox r r ox r ox r r分2 2 2由轮回对称性，可知 空=/)+=/).oy r r于是题设方程化为 r(r)+r-7Xr)=4.由通解公式得积分得/(r)=r2+C1lnr+C2.多元函数微分学作业3选解3.计算，(1.02)3+a%的近似值.解：考虑函数z=，?，则dz=产 d%T-户 dy.2商十 寸 23+/当=1,y=2,dx=Ax=0.02,dy=Ay=0.03时,1d z=5.0.02+2-(-0.03)=-0.05.所以_(1.02)3+(1.97)3=z(l+Ax,2+Ay)z(l,2)+dz=2.95.多元函数微分学作业3选解4.已矢口一=y2+2x,一=2xy+3,且z(0,0)=0,求2=/(x,y)dx dy的表达式.dz c)z解 1：dz=一dxH-dy=(y2+2%)dx+(2xy+3)dydx dy.所以=2xdx+3dy+(y2 dx+2q dy)=dx2+d(3y)+(y2dx+xdy2)=dx2+d(3y)+d(町 2)=d(x2+3y+xy2),z=x2+3y+xy2+C.由z(0,0)=0得。=0,所以 z=%2+3y+xy2.多元函数微分学作业3选解4.已矢口一=y2+2x,一=2xy+3,且z(0,0)=0,求2=/(x,y)dx dy的表达式.解 2：z=f-dx=(J CX Jy2+2x)dx=y2x+x2+C(y),=2yx+C(y)=2xy+3,Sy可知所以C(y)=3,C(y)=3y+C,z=x+3y+xy2+C.由z(0,0)=0得C=0,所以 z=x2+3y+xy2.多元函数微分学作业4选解2.求z=/(孙2,2%+3y)的一、二阶偏导数.分7 分7解：-=y2f；+2f；,-=2xyf；+3fox oy|4=yy2fn 2给+2%)oxf；+4y2 左+4%a2z-=2+y2(2x+3般+2(2x-治）=0上任一点处的切平面与直线L:土=上二z平行.a b多元函数微分学作业7选解2.某厂家生产两种产品I和n,出售单价分别为10元与9 元，生产X单位的产品I与生产y单位的产品n的总费用是:400+2x+3y+0.01(3x2+xy+3y2)(元)假定销售量等于生产量.求取得最大利润时，两种产品的产 量各多少？解：利润函数为L(x,y)=(10%+9y)-400+2x+3y+0.01(3x2+xy+3j2)=8x+6y-0.01(3x2+xy+3y2)-400.解方程组4=8-0.01(6%+y)=0Lv=6-0.01(x+6)；)=0，得唯一驻点(120,80).所以取得最大利润时，两种产品的产 量分别为x=120,y=80.多元函数微分学作业7选解4.在第一卦限内作椭球面4/+4y2+z2=4的切平面，使它 在三个坐标轴上的截距平方和最小，求该切平面的方程.解：设切点(,8c),则法向量为=(8,8/2c),切平面方程为 8a(x-a)+8b(y-b)+2c(z-c)=0,由4a2+46?+c2=4,化简得4ax+4Z?y+cz=4.切平面在三个 坐标轴上的截距平方和为了(。也。)=a2+b-2+16c-2.作拉格朗日辅助函数上=f(a,b,c)+4g2+4午2+M 一4),令La-2a 3+8X”0 Lb=-2b-3+8劝=0 Lc=-32c-3+2Ac=0L九=4tz2+4Z?2+c2 4=0解得唯一可能极值点a=匕=0.5,c=VL此时截距平方和最 小.所求切平面方程为2x+2y+gz=4.