基础最全-张量分析tensor_analy.pdf

附A张量分析 A-1指标符号例如，三维空间任意一点P在笛卡儿坐 琢系用指标符 号表不为与 2=123整理ppt/数变量,指标符号i-指标 n一维数取值范围为小于或等于n的所有正整数整理ppt A-1指标符号-、求和约定和哑指标A张量分析指标重复 只能一次指标范围标的关 指用无 和所母 求与字 A-1指标符号一、求和约定和哑指标 3 3ZZ4/m 一双重求和0 7=1-A/jjZk代表2 7项 整理ppt的和式、自由指标 A-1指标符号4 西+4 22+4 33=44 txi+22+4 片=44 西+42+4 片=4止 Ajxj=bij哑指标i-自由指标,在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同 SWppt-,A-1指标符号三、Kroneckei司符号和置换符号（Ricci符号）Kronecker-b符 号定义当J=L2,即寸，有6 1=a2=怎3=142=电1=a3=既2=砥1=43=。整理ppt A-1指标符号三、Kronecker-5符号和置换符号（Ricci 符号）Kronecker-5 号定义中1高|=41 立13=0立2立2OO O1 0=1O 1立3整理ppt11a直角坐标系的/。i T j=8基矢量,整理I A-1指标符号三、Kronecker-3符号和置换符号（Ricci符号）Ricci符号定义/偶次置换华1 发/幻=G21）（2U3）（L32）o 若言M个或三个镐八G 23=e231=112=1 e213=ei32=e321=1,11=q12=，哂=一.=0奇次置换 A-1指标符号三、Kronecker-3符号和置换符号（Ricci符号）Ricci符号定义eijk=310321二 213调 22 b k 23222“11 123 2.3 3 k3方3323*13源=8il630二013/2 b k 2 3 j3 3 k30 11 0=-10 0整理ppt整理ppte ijk pqr品Biq%3k p 3k q4Bk r4=%七必臼1+%必a2一%必必生，2%3一,七丑32一%左%/4左一%01424k3Kronecker-3和Ricci符号的关系整理pptA张量分析A-2矢量的基本运算在三维空间中，任意矢 量都可以表示为三个基 矢量的线性组合q 9 4 9/%为矢量a在基矢量学下的分解系数，也称矢量 的分量、矢量点积令,弓=的整理pptA-2矢量的基本运算A张量分析、矢量点积二、矢量叉积整理pptA-2矢量的基本运算A张量分析*矢量叉积证明4=打eJ=3Jkek分今垢e xe=8 A 8 8i J J1 j2 j3=%*=%=eijkekA张量分析A-2矢量的基本运算二、矢量叉积axb=a xA.e=aib.ei xe.ck=气曲整理pptA张量分析A-2矢量的基本运算三、矢量的混合积axb-c=eiJkaibJek-crer=eijkaibJCAr=A张量分析A-2矢量的基本运算四、矢量的并乘（并矢）并乘整理pptA-3坐标变换与张量的定义 A张量分析jv=xco-rsin j=xsii-Fyco.r整理A-3坐标变换与张量的定义 A张量分析4=sinkco王co-rr sin=x dx 1/dx r dx=J-J-1J】dx1 dx：.O整理pptA-7曲线坐标下的张量分析二、局部基矢量在笛卡儿坐标系，空间任意向量（张量）都可以在基上分 解。这种做法可进行两种不同的解释：（1）空间里只有一个固定在原点的基ei,先将向 量（张量）平行移至原点，然后在这基上分解。（2）在定义区域内每点都有一个与%相同的基，即局部基，向量（张量）在本作用点的局部基上就 地分解。在曲线坐标系，如果只用一个固定基的做法，就 会使曲线坐标的引入成为无的放矢。我们采用第 二种做法，在空间每一直鄢建立局部基。A-7曲线坐标下的张量分析整理pptA-7曲线坐标下的张量分析二、局部基矢量取一点处坐标曲线的切向量自然基名 Sj=&度量张量整理pptA-7曲线坐标下的张量分析二、局部基矢量求圆柱坐标系的自然基gi和度量张量gijx-r cos 0.y-r sin 0.z-z r=r cos 0ex+r sin 0e2+e3gj=cos 0e1+sin 3e2 dr整理pptA-7曲线坐标下的张量分析二、局部基矢量求圆柱坐标系的自然基gi和度量张量gijdr _dr3&1rs in为+rcog g-10002r0001整理命A-7曲线坐标下的张量分析二、局部基矢量笛卡儿坐标系中关于张量的定义和张量的运算等，可以推广到曲线坐标系，区别只在于这时的基矢量 gi及变换系数%，i是空间点位置的函数。如张量A 在曲线坐标系可以写成,.由于在曲线坐标系并非所有坐标都具有长度量纲，例 如，圆柱坐标中的。因此，相对应的自然基矢量就不 是无量纲的单位矢量。具有一定物理意义的向量（张 量）在这样的基上的各分量并不具有物理量纲，从而 给直接的物理解释带来不籁t。A-7曲线坐标下的张量分析局部基矢量为了使张量在每个具体坐标系里能取得具有物 理量纲的分量，在正交曲线坐标系，取切于坐标曲 线的无量纲单位矢量作为基矢量，即在物理标架上分解的张 量，其相应的各分量能 取得相同的物理量纲 正交单位标架为物理标架，或称物理基整理ppt圆柱坐标下的张量分析 圆柱坐标系的物理基sinP co oo。眄1整理ppt圆柱坐标下的张量分析球坐标系的物理基sirfeo sirfeiap co=cobo cofcirap siuPsinp co O厂、q整理pptA-7曲线坐标下的张量分析三、张量对曲线坐标的导数标量场0沿s方向的方向导数为S。V7=V cp sdS整理pptA-7曲线坐标下的张量分析三、张量对曲线坐标的导数标量场中沿s方向的方向导数为=%“形式导数整理pptA-7曲线坐标下的张量分析1.克里斯多弗符号dfq）弓Sj显整理pptA-7曲线坐标下的张量分析1.克里斯多弗符号整理pptA-7曲线坐标下的张量分析整理ppt圆柱坐标下的张量分析圆柱坐标系的弓坛x-r cos 九丁二 r sin 9,z-z 空间任意点的向径为r-r cos 9e+r sin Oe2+ze 36 rg 1 二=c os Je+sin 0e2 dr0 r.?)-二一 r sin 3e+r c os de2 dod r3 二二 e3OZ整理ppt1 0gij=0 J0 0001圆柱坐标下的张量分析 圆柱坐标系的物理基sinP00(O-、O qO01整理ppt圆柱坐标下的张量分析圆柱坐标系的整理ppt圆柱坐标下的张量分析圆柱坐标系张量的导数 公式再=r.x2=O.x3=zTiiT 二 i，忘T 二八 7Hl1 a a 1 a 1 a1 1桃不为零的分量只有两个，即2】2=自22=-2r ri_a_a_向&3 z整理ppt圆柱坐标下的张量分析圆柱坐标系张量的导数公式整理ppt圆柱坐标下的张量分析圆柱坐标系张量的导数公式(3尸。=7。=(%+Q力a2dr1 r S3 v r S3+r212|-V（3k）a2 i_a i a2 a2 dr2 r dr r2 801 dz1夕整理ppt圆柱坐标下的张量分析圆柱坐标系张量的导数 公式V 屋/=e-1-1-1-dr r dO dz r)(1 j 4e /历Cn-1-1-1-y dr r d3 dz r)(以 1 dA.dAzz c l zz rze-1-1-1-dr r d3 dz r)整理ppt